Functions of Several Variables MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Functions of Several Variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है \( f(x, y) = \begin{cases} (x^2 + y^2)[ln(x^2 + y^2) + 1], & \text {जब }(x, y) \neq (0,0) \\ α, & \text {जब }(x,y) = (0,0) \end{cases} \)

मान लीजिये \( x^2 + y^2 = r^2 \)

तब, \(f(x, y) = r^2 ln(r^2) + r^2 \)

\(lim_{(x, y) → (0,0)} f(x, y) = lim_{r→ 0} (2r^2 ln(r) + r^2) \)

\(= 2 lim_{r → 0} r^2 ln(r) + lim_{r → 0} r^2 = 0 + 0 = 0 \)

इसलिए, फलन f(x, y) (0,0) पर सतत है क्योंकि

\(lim_{(x, y) → (0,0)} f(x, y) = f(0,0) \)

\(lim_{(x, y) → (0,0)} f(x, y) = \alpha \implies 0 = \alpha \)

इसलिए, \( \alpha = 0 \)

इसलिए विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

कथन P:

दिया गया है: \(4 \cdot lim_{(x, y) → (2, -2)} \frac{ \sqrt {(x-y)} - 2}{x-y-4} \)

\(lim_{(x,y) \to (2,-2)} \frac{(\sqrt{ (x-y)} - 2) }{ (x - y - 4) } \)

अंश और हर में \((\sqrt{(x-y)} + 2) \) से गुणा करने पर:

⇒ \(lim_{(x,y) \to (2,-2)} \frac {((x-y) - 4) }{((x-y - 4) (\sqrt{(x-y)} + 2))} \)

⇒ \(lim_{(x,y) \to (2,-2)} \frac{1 }{ (\sqrt{(x-y)} + 2) } \)

(x, y) = (2,-2) प्रतिस्थापित करने पर:

\(\frac{1 }{(\sqrt{(2-(-2)) }+ 2) }= 1 / 4 \)

इसलिए, \(lim_{(x,y) \to (2,-2)} \frac{1 }{ (\sqrt{(x-y)} + 2) } = \frac{1}{4} \)

इसलिए, \(4 \cdot lim_{(x, y) → (2, -2)} \frac{ \sqrt {(x-y)} - 2}{x-y-4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\)

⇒ कथन P असत्य है। 

कथन Q:

दिया गया है \( f: \mathbb{R}^2 → \mathbb{R}^2 \) इस प्रकार परिभाषित है \( f(x, y) = \begin{cases} \frac{ x y}{|x|} , & \text{if } x ≠ 0 \\ 0 , & \text{if } x = 0 \\ \end{cases} \)

⇒ \( f(x, y) = \begin{cases} y , & \text{if } x > 0 \\ -y , & \text{if } x < 0 \\ 0 , & \text{if } x=0 \\ \end{cases} \)

⇒ f (0, 0) पर संतत है (LHL और RHL दोनों 0 के बराबर हैं)

⇒ दोनों आंशिक अवकलजों का अस्तित्व हैं।

⇒ कथन Q सही है। 

⇒ P असत्य है लेकिन Q सत्य है। 

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

संप्रत्यय:

समांतर माध्य \(\geq \) गुणोत्तर माध्य

A.M \(\geq \) G.M

व्याख्या:

विकल्प(1): \(\frac{(x+y)^k}{2^k} \leq max{(x^k , y^k) } \) सभी x, y>0 और सभी k \(\geq \)1 के लिए।

k=1 के लिए,

\(\frac{(x+y)}{2} < max{(x , y) } \)

माना कि k=t के लिए,

\(\frac{(x+y)^t}{2^t} \leq max{(x^t , y^t) } \) सत्य है।

k = t+1 के लिए

वाम हस्त पक्ष: \(\frac{(x+y) ^{t+1}}{2 ^{t+1}} \) = \(\frac{(x+y)^t}{2^t} \) \(\cdot \)\(\frac{(x+y)}{2} \) \(\leq max{(x^t , y^t) } \)\(\cdot \)\(max(x,y) \) \(\leq \) \(max{(x^{t +1}, y^{t+1} )} \) =दक्षिण हस्त पक्ष

इसलिए : \(\frac{(x+y)^k}{2^k} \leq max{(x^k , y^k) } \) सभी x, y>0 के लिए गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सत्य है।

इसलिए, विकल्प(1) सही है।

विकल्प(2):

\(\sin{ \frac{x+y}{2}} \leq \frac{(\sin x+\sin y)}{2} \) सभी x, y>0 के लिए।

यह x= \(\frac{\pi}{6} \) और y= \(\frac{\pi}{3} \) के लिए सत्य नहीं है।

वाम पक्ष: sin \(\pi \) = 0 और दक्षिण पक्ष: \(\sqrt{3} +1 \)

इसलिए, विकल्प (2) सही नहीं है।

विकल्प(3):

समांतर माध्य \(e^{x} \) और \(e^y \) के लिए= \(\frac{e^x + e^y }{2} \)

गुणोत्तर माध्य \(e^{x} \) और \(e^y \) के लिए= \(\sqrt {e^x \cdot e^y } \)

चूँकि A.M \(\geq \) G.M

इसलिए, \(\frac{e^x + e^y }{2} \)\(\geq \)\(\sqrt {e^x \cdot e^y } \)

विकल्प(3) सही है।

विकल्प(4):

समांतर माध्य \(\log x \) और \(\log y\) के लिए = \(\frac{​​​​\log x+\log y}{2} \)

गुणोत्तर माध्य \(\log x \) और \(\log y\) के लिए = \(​​​​\sqrt{\log x \cdot \log y} \) = \(​​​​\frac{1}{2} {\log( x + y)} \)

चूँकि A.M \(\geq \) G.M

\(\frac{​​​​\log x+\log y}{2} \)\(\geq \)\(​​​​\frac{1}{2} {\log( x + y)} \)

विकल्प(4) सही नहीं है।

इसलिए, विकल्प(2) और विकल्प(4) उत्तर हैं।

व्याख्या:

\(f(x, y)= \begin{cases}(x+y)^2 \cos \frac{1}{x+y} & \text { if } x \neq y \\ 0 & \text { if } x=y.\end{cases}\)

(1): fx(0, 0) = \(\lim_{h\to0}{f(h,0)-f(0,0)\over h}\) = \(\lim_{h\to0}{h^2\cos\frac 1h-0\over h}\) = \(\lim_{h\to0}h\cos\frac 1h\) = 0

इसलिए, आंशिक अवकलज fx (0, 0) पर विद्यमान है।

(1) सत्य है। 

(3): fy(0, 0) = \(\lim_{k\to0}{f(0,k)-f(0,0)\over k}\) = \(\lim_{k\to0}{k^2\cos\frac 1k-0\over k}\) = \(\lim_{k\to0}k\cos\frac 1k\) = 0

इसलिए, आंशिक अवकलज fy (0, 0) पर विद्यमान है।

(3) सत्य है।

(3): fx(x, y) = \(\begin{cases}2(x+y) \cos \frac{1}{x+y} -(x+y)^2\sin{1\over x+y}\left(-1\over(x+y)^2\right)& \text { if } x \neq y \\ 0 & \text { if } x=y.\end{cases}\)

= \(\begin{cases}2(x+y) \cos \frac{1}{x+y} +\sin{1\over x+y}& \text { if } x \neq y \\ 0 & \text { if } x=y.\end{cases}\)

अब, \(\lim_{(x, y)\to(0, 0)}f_x(x, y)\) = \(\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\left(2(x+y) \cos \frac{1}{x+y} +\sin{1\over x+y}\right)\) विद्यमान नहीं है क्योंकि \(\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\sin{1\over x+y}\) विद्यमान नहीं है। 

इसलिए आंशिक अवकलज fx (0, 0) पर संतत नहीं है।

(2) असत्य है। 

(4): fy(x, y) = \(\begin{cases}2(x+y) \cos \frac{1}{x+y} -(x+y)^2\sin{1\over x+y}\left(-1\over(x+y)^2\right)& \text { if } x \neq y \\ 0 & \text { if } x=y.\end{cases}\)

= \(\begin{cases}2(x+y) \cos \frac{1}{x+y} +\sin{1\over x+y}& \text { if } x \neq y \\ 0 & \text { if } x=y.\end{cases}\)

अब, \(\lim_{(x, y)\to(0, 0)}f_y(x, y)\) = \(\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\left(2(x+y) \cos \frac{1}{x+y} +\sin{1\over x+y}\right)\) विद्यमान नहीं है क्योंकि \(\lim_{(x, y)\to(0, 0)}\sin{1\over x+y}\) विद्यमान नहीं है

इसलिए आंशिक अवकलज fy (0, 0) पर संतत नहीं है।

(4) असत्य है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(u = \log (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) \)

मान लीजिए, \(f = e^u = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz\)

चूँकि u = log f

\(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{f} \cdot \frac{\partial f}{\partial x} \)

और , \(\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3yz \) , \(\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3zx, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2 - 3xy \)

तीनों को जोड़ने पर:

\(\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} = 3(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \)

चूँकि f = \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \)

\(\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} = 3(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \) = 3 [f/(x+ y+ z)]

चूँकि \(f = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx) \) , हमें मिलता है:

\(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3(x+y+z)}{x+y+z} = 3 \)

\(m = 3 \Rightarrow m^2 = 9\)

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

संकल्पना:

(x, y) = (a, b) के लिए परिभाषित एक फलन f(x, y) को (x, y) = (a, b) पर निरंतर कहा जाता है यदि:

i) f(a, b) = (x, y) = (a, b) पर f(x, y) का मान परिमित है।

ii) फलन f(x, y) की सीमा मौजूद है जैसे (x, y) → (a, b) और (x, y) = (a, b) पर f(x, y) के मान के बराबर है

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\)

ध्यान दें:

किसी फलन को किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए, यह उस बिंदु पर भी निरंतर होना चाहिए।

गणना:

दिया हुआ:

\(f\left( {x,y} \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\;\;\;{x^2} + {y^2} \ne 0}\\ {0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = y = 0} \end{array}} \right.\)

फलन f(x, y) निरंतर होने के लिए:

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\) और परिमित।

f(a,b) = f(0,0) ⇒ 0 (दिया गया)

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {r,\theta } \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {r,\theta} \right) =\frac{ r^2cos\theta rsin\theta }{r} \)

fx(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {h,0 } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(h, 0) - f(0, 0)} / h = 0 

fy(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {0,k } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(0, k) - f(0, 0)} / k = 0 

∵ the limit value is defined and function value is 0 at (x,y) = (0,0), ∴ the function f(x,y) is continuous.

Hence, Option 2, 3 & 4 all are correct 

Hence, Option 1 is not correct 

Hence, The Correct Answer is option 1.

व्याख्या:

\(\lim_{(x, y)\to(\sqrt2, \sqrt2)}\) f(x, y)

= \(\lim_{(x, y)\to(\sqrt2, \sqrt2)}\) \(\frac{xy^2}{x^2+y^4}\)

\(\frac{\sqrt2(\sqrt2)^2}{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^4}\)

= \(\frac{2\sqrt2}{2+4}\)

= 2 √2/6 = √2/3

(2) सही है। 

हल:

दिया गया फलन है:

F(x, y) = x3 + y3 – 3xy – 4 = 0

और x = 2 और g(2) = 2

अब,

F(2, 2) = (2)3 + (2)3 – 3(2)(2) – 4

= 8 + 8 – 12 – 4

= 0

इसलिए, F(2, 2) = 0

∂F/∂x = ∂/∂x (x3 + y3 – 3xy – 4) = 3x2 – 3y

∂F/∂y = ∂/∂y (x3 + y3 – 3xy – 4) = 3y2 – 3x

आइए हम (2, 2) पर ∂F/∂y के मान की गणना करते हैं।

इसका अर्थ, ∂F(2, 2)/∂y = 3(2)2 – 3(2) = 12 – 6 = 6 ≠ 0

इस प्रकार, ∂F/∂y हर जगह संतत है।

इसलिए, अस्पष्ट फलन प्रमेय द्वारा, हम कह सकते हैं कि x = 2 के निकट में g(x) = y द्वारा परिभाषित एक अद्वितीय फलन g उपस्थित है, जहाँ F(x, y) = 0 इस प्रकार है कि g(2) = 2 है। 

साथ ही, हम जानते हैं कि ∂F/∂x संतत है।

अब, अस्पष्ट फलन प्रमेय द्वारा, हम प्राप्त करते हैं;

g’(x) = -[∂F(x, y)/∂x]/ [∂F(x, y)/ ∂y]

= -(3x2 – 3y)/(3y2 – 3x)

= -3(x2 – y)/ 3(y2 – x)

= -(x2 – y)/(y2 – x)

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

दिया गया​ है:

f(x, y) = \(\frac{siny}{x}\) (x, y) → (0, 0)

प्रयुक्त संकल्पना:

फलन में y = mx रखकर जांच कीजिये कि फलन m से मुक्त है या नहीं, तो सीमा अस्तित्व होगी यदि नहीं तो सीमा(लिमिट) अस्तित्व में नहीं होगी।

हल:

हमें प्राप्त है,

f(x, y) = \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) (x, y) → (0, 0)

y = mx रखने पर 

अतः, 

lim (x, y) → (0, 0) \(\frac{siny}{x}\)

⇒ lim x → 0 \(\frac{sin mx}{x}\)
 

हम उपरोक्त फलन से m को विलुप्त नहीं सकते हैं।

अतः ऐसी सीमा(लिमिट) अस्तित्व में नहीं है।

\(\therefore\)  विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

(x, y) = (a, b) के लिए परिभाषित एक फलन f(x, y) को (x, y) = (a, b) पर निरंतर कहा जाता है यदि:

i) f(a, b) = (x, y) = (a, b) पर f(x, y) का मान परिमित है।

ii) फलन f(x, y) की सीमा मौजूद है जैसे (x, y) → (a, b) और (x, y) = (a, b) पर f(x, y) के मान के बराबर है

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\)

ध्यान दें:

किसी फलन को किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए, यह उस बिंदु पर भी निरंतर होना चाहिए।

गणना:

दिया हुआ:

\(f\left( {x,y} \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\;\;\;{x^2} + {y^2} \ne 0}\\ {0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = y = 0} \end{array}} \right.\)

फलन f(x, y) निरंतर होने के लिए:

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\) और परिमित।

f(a,b) = f(0,0) ⇒ 0 (दिया गया)

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {r,\theta } \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {r,\theta} \right) =\frac{ r^2cos\theta rsin\theta }{r} \)

fx(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {h,0 } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(h, 0) - f(0, 0)} / h = 0 

fy(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {0,k } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(0, k) - f(0, 0)} / k = 0 

∵ the limit value is defined and function value is 0 at (x,y) = (0,0), ∴ the function f(x,y) is continuous.

Hence, Option 2, 3 & 4 all are correct 

Hence, Option 1 is not correct 

Hence, The Correct Answer is option 1.

अवधारणा:

यदि f(x,y) एक फलन है, जहाँ f आंशिक रूप से x और y पर आश्रित है और यदि हम x और y के सापेक्ष f का अवकलन करते हैं, तब अवकलज को f का आंशिक अवकलज कहा जाता है। y को अचर मानकर x के सापेक्ष f के आंशिक अवकलज का सूत्र निम्नानुसार दिया गया है;

\(f_x =\frac{df}{dx}= \lim_{h=0}\frac{f(x+ h, y)-f(x,y)}{h}\)

⇒ \(f_y =\frac{df}{dy}= \lim_{h=0}\frac{f(x,y +h)-f(x,y)}{h}\)

दिया गया है: \(\rm{ f(x, y) = { \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & यदि (x, y) \ne (0, 0) \\\ 0 & यदि (x, y) = (0, 0) \end{matrix} \right.}}\)

गणना:

आंशिक अवकलज की परिभाषा से,

⇒ f_x(0, 0) = \(\lim_{h=0}\frac{f(0 + h, 0)-f(0,0)}{h}=0\)

⇒ f_y(0, 0) \(\lim_{k=0}\frac{f(0 + k, 0)-f(0,0)}{k}=0\)

यदि हम वक्र v = mx² के अनुदिश बढ़ते हैं। 

⇒ \(\lim_{(x, y)=(0,0)}m\frac{x^4}{x^4+ x^4m^2}=\frac{1}{2}\frac{m}{(1+m^2)}\)

⇒ f(x, y) सतत नही है।

f के दोनों आंशिक अवकलज (0, 0) पर अस्तित्व में हैं और f, (0, 0) पर सतत नहीं है। 

स्पष्टीकरण:

\( α=\lim _{(x, y) →(0,0)} \frac{\sin \left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2} \)

x² + y² = t रखिए, ∴ (x, y) → (0, 0) ⇒ t → 0

\( =\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} \)

= 1

∴ α अस्तित्व में हैं। 

अब,

\( β=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \)

आइए हम y = mx के अनुदिश आगे बढ़ते हैं , जो (0, 0) है इसलिए,

\( β =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-m^2 \cdot x^2}{x^2+m^2 \cdot x^2} \)

\(=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-m^2}{1+m^2} \)

जो m पर निर्भर करता है। 

इसलिए β अस्तित्व में नहीं है। 

∴ α अस्तित्व में है लेकिन β अस्तित्व में नहीं है। 

संकल्पना :

यदि f, n चरों का एक फलन है, तो इसके आंशिक अवकलज फलन \(f_{x_{i's}}\)हैं जो इस प्रकार परिभाषित है:- 

\(f_{x_{i}}(x_{1},x_{2},..,x_{n})=lim_{h\rightarrow0}{ f(x_{1},x_{2},..,x_{i+h},..,x_{n})-f(x_{1},x_{2},..,x_{n})\over h} \)

गणना:

यहां f दो चरों का एक फलन है, इसलिए चर y के सापेक्ष में f का आंशिक अवकलज इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\(f_{y}(x,y)=lim_{h\rightarrow0}{ f(x,y+h)-f(x,y)\over h}\)

\(f_{y}(x,y)=lim_{h\rightarrow0}{ x^{(y+h)}-x^y\over h}\)

\(f_{y}(e,0)=lim_{h\rightarrow0}{ e^{(0+h)}-e^0\over h}\)

\({f_{y}(e,0)=lim_{h\rightarrow0}{ e^{h}-1\over h}\space}({\frac{0}{0}} form)\)

L हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर, हम निम्न प्राप्त करते हैं

\(f_{y}(e,0)=lim_{h\rightarrow0}{ e^{h}}=1 \)

इस प्रकार, विकल्प 2 सही है।

संकल्पना :

\(\vec{u}\) दिशा में \(D_{u}f(x,y)\) द्वारा निरूपित फलन f का दिशात्मक अवकलज  निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है,

\(D_{u}[f(x,y)]={\nabla f .\vec{u} \over|\vec{u}|}\)

गणना :

\(f(x,y)={x^{2}\over y^{2}}\)

\(\vec{u}=\hat{i}+\hat{j}\)

\(\nabla f={\partial f \over \partial x}\hat{i}+{\partial f \over \partial y}\hat{j}\)

\(={2x\over y^{2}}\hat{i}+{-2x^{2}\over y^{3}}\hat{j} \)

\(D_{u}[f(x,y)]={({2x\over y^{2}}\hat{i}+{-2x^{2}\over y^{3}}\hat{j}).(\hat{i}+\hat{j})\over |(\hat{i}+\hat{j})|} \)

=\({{2x\over y^{2}}-{2x^{2}\over y^{3}}\over \sqrt[]{2}} \)

अब x = y = 1 प्रतिस्थापित कीजिए,

\(D_{u}[f(1,1)]={2-2\over\sqrt[]{2}}=0\)

इस प्रकार विकल्प 1 सही है।​

संकल्पना:

ध्रुवीय निर्देशांक: त्रिज्य सममिति वाले फलनों के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित करना और x के 0 के समीप पहुँचने पर सीमा ज्ञात करना गणना को सरल बना सकता है।

स्पष्टीकरण:

\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right) \)

यदि x = rcosθ , y = rsinθ 

⇒ \(\lim _{r \rightarrow0}\left(\frac{r^2cos^2\theta-r^2sin^2\theta}{r^2}\right) \)

⇒ \(\lim _{r \rightarrow0}(cos^2\theta-sin^2\theta) = cos^2\theta-sin^2\theta\) ≠ 0

⇒ सीमा विद्यमान नही है।