Uniform Convergence MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Uniform Convergence - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 3, 2025
Latest Uniform Convergence MCQ Objective Questions
Uniform Convergence Question 1:
फलन fn : [0, 1] → ℝ को निम्नत: व्यक्त किया जाता है:
fn(t) = (n + 2) ( n+ 1)tn (1 - t), [0, 1] में t के सभी मानों के लिए।
निम्न में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 1 Detailed Solution
Uniform Convergence Question 2:
निम्नलिखित श्रेणी <2x\(1 + n2x2)> पर विचार कीजिए और जाँच कीजिए कि क्या श्रेणी [0, 1] पर समान रूप से अभिसारित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 2 Detailed Solution
अवधारणा -
श्रेणी \(\sum _{n=0}^ {\infty} \frac{1}{n^p} \) के लिए p-परीक्षण
जहाँ p> 1It अभिसारी है अन्यथा यह अपसारी है।
व्याख्या-
इसे सिद्ध करने के लिए हम वीयरस्ट्रैस M-परीक्षण का उपयोग करते हैं।
दिया गया है, श्रेणी \(< \frac{2x}{1+n^2x^2}>\) जो \(\leq \frac{1}{n^2}\) है।
अतः p परीक्षण द्वारा यह अभिसारी है।
अतः यह समान रूप से अभिसारी है।
इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।
Uniform Convergence Question 3:
किसी अंतराल पर प्रत्येक एकसमान सतत फलन उस अंतराल पर ______ होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 3 Detailed Solution
अवधारणा-
प्रत्येक एकसमान सतत फलन किसी भी प्रांत पर सतत होता है।
व्याख्या:
किसी अंतराल पर प्रत्येक एकसमान सतत फलन उस अंतराल पर सतत होता है।
(1) सत्य है
Uniform Convergence Question 4:
दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि-
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 4 Detailed Solution
व्याख्या -
दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि A में सभी x, y के लिए, यदि x और y के बीच की दूरी δ [d(x, y) < δ] से कम होती है। (अर्थात, यदि ρ(x, y) < δ है जहाँ ρ A पर दूरीक है) तो f(x) और f(y) के बीच की दूरी ε से कम होती है (अर्थात, τ( f(x), f(y)) < ε है, जहाँ τ B पर दूरीक है।)
एकसमान संतत, संतता से अधिक मजबूत स्थिति होती है। इसका अर्थ यह है कि फलन संपूर्ण समष्टि A में समान तरीके से व्यवहार करता है, न कि केवल व्यक्तिगत बिंदुओं पर।
अतः विकल्प (iii) सही है।
Uniform Convergence Question 5:
निम्न में से कौन से फलन (0, 1) पर एकसमानत: संतत हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 5 Detailed Solution
Top Uniform Convergence MCQ Objective Questions
श्रेणी
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin n x}{n^{\log _e n}}, \quad x ∈ \mathbb{R}\)
अभिसरित होती है
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
Mn परीक्षण:
मान लीजिए an वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तब
\(\sum_{n=1}^{\infty} |an| \leq\)| Mn |
यदि Mn अभिसारी है, तो an अभिसारी है।
गणना:
यहाँ
|an | = \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sin n x}{n^{\log _e n}} \leq \) \(\frac{1}{n^{\log _e n}}\)
| an | \(\leq\) \(\frac{1}{n^2}\)
सभी x ∈ R के लिए अभिसारी है।
इसलिए विकल्प (4) सही है।
Uniform Convergence Question 7:
फलन fn : [0, 1] → ℝ को निम्नत: व्यक्त किया जाता है:
fn(t) = (n + 2) ( n+ 1)tn (1 - t), [0, 1] में t के सभी मानों के लिए।
निम्न में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 7 Detailed Solution
Uniform Convergence Question 8:
निम्नलिखित श्रेणी <2x\(1 + n2x2)> पर विचार कीजिए और जाँच कीजिए कि क्या श्रेणी [0, 1] पर समान रूप से अभिसारित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 8 Detailed Solution
अवधारणा -
श्रेणी \(\sum _{n=0}^ {\infty} \frac{1}{n^p} \) के लिए p-परीक्षण
जहाँ p> 1It अभिसारी है अन्यथा यह अपसारी है।
व्याख्या-
इसे सिद्ध करने के लिए हम वीयरस्ट्रैस M-परीक्षण का उपयोग करते हैं।
दिया गया है, श्रेणी \(< \frac{2x}{1+n^2x^2}>\) जो \(\leq \frac{1}{n^2}\) है।
अतः p परीक्षण द्वारा यह अभिसारी है।
अतः यह समान रूप से अभिसारी है।
इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।
Uniform Convergence Question 9:
किसी अंतराल पर प्रत्येक एकसमान सतत फलन उस अंतराल पर ______ होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 9 Detailed Solution
अवधारणा-
प्रत्येक एकसमान सतत फलन किसी भी प्रांत पर सतत होता है।
व्याख्या:
किसी अंतराल पर प्रत्येक एकसमान सतत फलन उस अंतराल पर सतत होता है।
(1) सत्य है
Uniform Convergence Question 10:
श्रेणी
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin n x}{n^{\log _e n}}, \quad x ∈ \mathbb{R}\)
अभिसरित होती है
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 10 Detailed Solution
संप्रत्यय:
Mn परीक्षण:
मान लीजिए an वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तब
\(\sum_{n=1}^{\infty} |an| \leq\)| Mn |
यदि Mn अभिसारी है, तो an अभिसारी है।
गणना:
यहाँ
|an | = \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sin n x}{n^{\log _e n}} \leq \) \(\frac{1}{n^{\log _e n}}\)
| an | \(\leq\) \(\frac{1}{n^2}\)
सभी x ∈ R के लिए अभिसारी है।
इसलिए विकल्प (4) सही है।
Uniform Convergence Question 11:
दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि-
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 11 Detailed Solution
व्याख्या -
दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि A में सभी x, y के लिए, यदि x और y के बीच की दूरी δ [d(x, y) < δ] से कम होती है। (अर्थात, यदि ρ(x, y) < δ है जहाँ ρ A पर दूरीक है) तो f(x) और f(y) के बीच की दूरी ε से कम होती है (अर्थात, τ( f(x), f(y)) < ε है, जहाँ τ B पर दूरीक है।)
एकसमान संतत, संतता से अधिक मजबूत स्थिति होती है। इसका अर्थ यह है कि फलन संपूर्ण समष्टि A में समान तरीके से व्यवहार करता है, न कि केवल व्यक्तिगत बिंदुओं पर।
अतः विकल्प (iii) सही है।
Uniform Convergence Question 12:
निम्न में से कौन से फलन (0, 1) पर एकसमानत: संतत हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 12 Detailed Solution
Uniform Convergence Question 13:
f(x) = e-x तथा g(x) = e-x2 हो तो निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Uniform Convergence Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय:
i. यदि कोई फलन (a,b) में संतत है और सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है, तो फलन एकसमानतः अभिसारी होता है।
ii. एक फलन तभी एकसमानतः अभिसारी होता है जब दो अनुक्रम an, bn विद्यमान हों जिससे |an-bn|→ 0 का अर्थ है |f(an)-f(bn)|→ 0 at b→\(\infty\) .
व्याख्या:
g(x) = e-x2 जो \(\mathbb R\) पर संतत है।
इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-x^2}=\lim_{x→ \infty} e^{-x^2}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।
इसलिए g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।
f(x)=e-x \(\mathbb R\) पर संतत है।
मान लीजिये an = -ln(n) और bn = -ln(n+1)। तब
|an-bn| = - ln(n) + ln(n+1) = \(\ln(\frac{n+1}{n})=\ln(1+\frac{1}{n})\) → 0 जब n → \(\infty\)
लेकिन |f(an)-f(bn)| = |eln(n)-eln(n+1)| = |n-(n+1)| = 1, 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है जब n → \(\infty\).
इसलिए f(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत नहीं है।
f(x)g(x) = e-(x+x2)
\(\mathbb R\) पर संतत है।
इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-(x+x^2)}=\lim_{x→ \infty} e^{-(x+x^2)}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।
इसलिए f(x)g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।
f [a, + ∞) के प्रत्येक अंतराल पर एकसमानतः संतत है, a ∈ \(\mathbb{R}\)