Derivative as a Linear Transformation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Derivative as a Linear Transformation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Derivative as a Linear Transformation MCQ Objective Questions
Derivative as a Linear Transformation Question 1:
मानें कि f ∶ ℝn → ℝ, n ≥ 2, एक e2 फलन है जो ℝn के सभी x, y के लिए
f(y) ≥ f(x) + ∇(f)(x)(y − x)
संतुष्ट करता है। यहां ∇ प्रवण (gradient) दर्शाता है।
निम्न वक्त्रव्यों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) एक फलन f(x) को अवतल कहा जाता है यदि ∇f < 0 और उत्तल यदि ∇f > 0
(ii) प्रमेय: मान लीजिए कि f एक वास्तविक फलन है जो ℝ पर अवकलनीय है, ℝ पर परिबद्ध है और R पर उत्तल है तो f स्थिर है।
व्याख्या:
f(y) ≥ f(x) + ∇(f)(x)(y − x)
⇒ \(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\) ≥ ∇(f)(x)
इसलिए ∇(f)(x), 0 से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए
इसलिए f उत्तल फलन है।
विकल्प (2) सही है।
यदि f परिबद्ध है तो उपरोक्त प्रमेय (ii) से, f स्थिर है।
विकल्प (4) सही है।
Derivative as a Linear Transformation Question 2:
मान लीजिये \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) एक फलन है जहाँ \(f\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\) \(a_1 x_1+\cdots+a_n x_n\) और a = (a1,..., an) एक नियत शून्येतर सदिश है। Df(0) , f का 0 पर अवकलज दर्शाता है।
निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
D(f(x)) = [\(\frac{\partial f}{x_1}, \frac{\partial f}{x_2},...,\frac{\partial f}{x_n}\)] = [\(a_1, a_2, ...,a_n\)]
(Df)(0) (x) = [\(a_1, a_2, ...,a_n\)][\(x_1, x_2, ...,x_n\)]t =
चूँकि आंतरिक गुणन समष्टि अपने पहले निर्देशांक में रैखिक है, इसलिए
विकल्प (1) सही है
\([(D f)(0)](a)\) = [\(a_1, a_2, ...,a_n\)][\(a_1, a_2, ...,a_n\)]t \(=\|a\|^2\)
विकल्प (2) सही है और (3) गलत है
\([(D f)(0)](b)\) = [\(a_1, a_2, ...,a_n\)] [\(b_1, b_2, ...,b_n\)]t \(=a_1 b_1+\cdots+a_n b_n\)
विकल्प (4) सही है
Derivative as a Linear Transformation Question 3:
मान लीजिए \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2\) एक C1 फलन है जिसमें f(0,0,0) = (0,0) है। मान लीजिए A, (0,0,0) पर f का अवकलज दर्शाता है। मान लीजिए \(g:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}\) द्वारा दिया गया फलन है।
g(x,y,z) = xy + yz + zx + x + y + z.
मान लीजिए \(h:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) h = (f, g) द्वारा परिभाषित फलन है। \(h:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) को h = (f, g) से परिभाषित फलन मानें। निम्न में से किस में फलन h के लिए (0,0,0) के किसी विवृत प्रतिवेश में अवकलनीय प्रतिलोम होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
फलन \(h:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) अवकलनीय है क्योंकि f और g दोनों अवकलनीय हैं।
अब h का (0,0,0) के किसी विवृत प्रतिवेश में स्थानीय प्रतिलोम होगा यदि और केवल यदि D(h) (0,0,0) पर व्युत्क्रमणीय है।
[अव्यक्त फलन प्रमेय का उपयोग करते हुए]
D(g) = [ y+z+1, x+z+1, y+x+1 ]
D(g)(0, 0, 0) = [1, 1, 1]
अब D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{pmatrix} D(g) \\ D(f) \end{pmatrix} (0,0,0)\)
विकल्प (1) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि आव्यूह का सारणिक 0 है।
इसलिए विकल्प (1) गलत है।
विकल्प (2) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 6 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि आव्यूह का सारणिक 0 है।
इसलिए विकल्प (2) गलत है।
विकल्प (3) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) व्युत्क्रमणीय है क्योंकि आव्यूह का सारणिक 1 ≠ 0 है।
इसलिए विकल्प (3) सही है।
विकल्प (4) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{bmatrix} 4 & 2 & 4\\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) व्युत्क्रमणीय है क्योंकि आव्यूह का सारणिक -4 ≠ 0 है।
इसलिए विकल्प (4) सही है।
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Derivative as a Linear Transformation Question 4:
मान लीजिए \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2\) एक C1 फलन है जिसमें f(0,0,0) = (0,0) है। मान लीजिए A, (0,0,0) पर f का अवकलज दर्शाता है। मान लीजिए \(g:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}\) द्वारा दिया गया फलन है।
g(x,y,z) = xy + yz + zx + x + y + z.
मान लीजिए \(h:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) h = (f, g) द्वारा परिभाषित फलन है। \(h:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) को h = (f, g) से परिभाषित फलन मानें। निम्न में से किस में फलन h के लिए (0,0,0) के किसी विवृत प्रतिवेश में अवकलनीय प्रतिलोम होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
फलन \(h:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) अवकलनीय है क्योंकि f और g दोनों अवकलनीय हैं।
अब h का (0,0,0) के किसी विवृत प्रतिवेश में स्थानीय प्रतिलोम होगा यदि और केवल यदि D(h) (0,0,0) पर व्युत्क्रमणीय है।
[अव्यक्त फलन प्रमेय का उपयोग करते हुए]
D(g) = [ y+z+1, x+z+1, y+x+1 ]
D(g)(0, 0, 0) = [1, 1, 1]
अब D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{pmatrix} D(g) \\ D(f) \end{pmatrix} (0,0,0)\)
विकल्प (1) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि आव्यूह का सारणिक 0 है।
इसलिए विकल्प (1) गलत है।
विकल्प (2) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 6 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि आव्यूह का सारणिक 0 है।
इसलिए विकल्प (2) गलत है।
विकल्प (3) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) व्युत्क्रमणीय है क्योंकि आव्यूह का सारणिक 1 ≠ 0 है।
इसलिए विकल्प (3) सही है।
विकल्प (4) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) = \(\begin{bmatrix} 4 & 2 & 4\\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) व्युत्क्रमणीय है क्योंकि आव्यूह का सारणिक -4 ≠ 0 है।
इसलिए विकल्प (4) सही है।
Derivative as a Linear Transformation Question 5:
मानें कि f ∶ ℝn → ℝ, n ≥ 2, एक e2 फलन है जो ℝn के सभी x, y के लिए
f(y) ≥ f(x) + ∇(f)(x)(y − x)
संतुष्ट करता है। यहां ∇ प्रवण (gradient) दर्शाता है।
निम्न वक्त्रव्यों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) एक फलन f(x) को अवतल कहा जाता है यदि ∇f < 0 और उत्तल यदि ∇f > 0
(ii) प्रमेय: मान लीजिए कि f एक वास्तविक फलन है जो ℝ पर अवकलनीय है, ℝ पर परिबद्ध है और R पर उत्तल है तो f स्थिर है।
व्याख्या:
f(y) ≥ f(x) + ∇(f)(x)(y − x)
⇒ \(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\) ≥ ∇(f)(x)
इसलिए ∇(f)(x), 0 से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए
इसलिए f उत्तल फलन है।
विकल्प (2) सही है।
यदि f परिबद्ध है तो उपरोक्त प्रमेय (ii) से, f स्थिर है।
विकल्प (4) सही है।