Lebesgue Measure & Integral MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lebesgue Measure & Integral - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Lebesgue Measure & Integral MCQ Objective Questions
Lebesgue Measure & Integral Question 1:
मान लीजिए f : [0, 1] → ℝ एक फलन है। निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिबंध f के लेबेग मेय होने के लिए पर्याप्त है?
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
f : [0, 1] → ℝ एक फलन है।
(3): f लगभग हर जगह [0, 1] पर संतत है।
मान लीजिए E ⊂ [0, 1] उन बिंदुओं का समुच्चय है जहाँ f असंतत है।
हमारे पास m(E) = 0 है। Ec = [0, 1] \ E पर f का प्रतिबंध संतत है, इसलिए किसी भी विवृत समुच्चय U ⊂ R के लिए इसका पूर्व प्रतिबिम्ब f−1(U) ∩ Ec, Ec में विवृत है,
इसलिए f−1(U) = (V ∩ Ec) ∩ B किसी विवृत समुच्चय V ⊂ [0, 1] और किसी उपसमुच्चय B ⊂ E के लिए है।
शून्य समुच्चय E का कोई भी उपसमुच्चय मेय है, इसलिए f−1(U) एक मेय समुच्चय है।
इसलिए f एक मेय समुच्चय है।
(3) सत्य है
(4): प्रत्येक c ∈ ℝ के लिए, समुच्चय {x ∈ [0, 1] : f(x) = c} लेबेग मेय है।
मान लीजिए A ⊂ [0, 1] एक अमेय समुच्चय है।
f(x) = x को A पर और f(x) = −x को [0, 1] \ A पर परिभाषित कीजिए।
यह फलन एकैकी है, इसलिए प्रत्येक c ∈ R के लिए {x ∈ [0, 1]: f(x) = c} या तो रिक्त है या एक-बिंदु समुच्चय (एक एकल) है; दोनों ही स्थितियों में यह मेय है। लेकिन f−1([0, 1]) = A एक अमेय समुच्चय है।
(4) असत्य है।
(1) और (2) भी असत्य हैं।
Lebesgue Measure & Integral Question 2:
मान लीजिए u = u(x, t) निम्न प्रारंभिक मान समस्या का हल है
\(\rm \left\{\begin{matrix}u_t+2024u_x=0,&x ∈ R, t>0\\\ u(x, 0)=u_0(x), &x ∈ R\end{matrix}\right.\)
जहाँ u0 : ℝ → ℝ एक स्वेच्छ C1 फलन है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
S1 : यदि At = {x ∈ ℝ : u(x, t) < 1} और |At| प्रत्येक t ≥ 0 के लिए A का लेबेग माप दर्शाता है, तो |At| = |A0|, ∀t > 0
S2 : यदि u0 लेबेग समाकलनीय है, तो प्रत्येक t > 0 के लिए, फलन x → u(x, t) लेबेग समाकलनीय है।
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
फलनों का स्थानांतरण: हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t) \) फलन \(u_0(x) \) के स्थानांतरण को x-अक्ष के अनुदिश दर्शाता है जैसे-जैसे समय t आगे बढ़ता है। यह हल के गुणों का विश्लेषण करते समय महत्वपूर्ण है क्योंकि कई गुण, जैसे कि समाकलनीयता और समुच्चयों का लेबेग माप, स्थानांतरण के तहत संरक्षित रहते हैं।
लेबेग माप: समुच्चय \(A \subset \mathbb{R} \) का लेबेग माप \(|A|\) समुच्चय को "आकार" निर्दिष्ट करने का एक तरीका है।
यहाँ प्रासंगिक मुख्य गुण यह है कि किसी समुच्चय का लेबेग माप स्थानांतरण के तहत निश्चर है।
दूसरे शब्दों में, यदि किसी समुच्चय \(A \subset \mathbb{R} \) को किसी निश्चित मात्रा से स्थानांतरित किया जाता है, तो उसका माप समान रहता है।
व्याख्या:
\(\begin{cases} u_t + 2024 u_x = 0, & x \in \mathbb{R}, t > 0 \\ u(x, 0) = u_0(x), & x \in \mathbb{R} \end{cases}\)
जहाँ \(u_0 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) एक स्वेच्छ \( C^1\) (संतत अवकलनीय) फलन है। हल u(x, t) के बारे में दो कथन \( S_1 \) और \( S_2\) दिए गए हैं, और हमें यह निर्धारित करना है कि दोनों कथन सत्य हैं या असत्य।
यह एक प्रथम-कोटि रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है। इस प्रकार के समीकरण को हल करने की मानक विधि अभिलक्षणिक विधि का उपयोग करके है। आंशिक अवकल समीकरण \(u_t + 2024 u_x = 0 \) में निम्नलिखित अभिलक्षणिक समीकरण हैं
\(\frac{dx}{dt} = 2024 \quad \Rightarrow \quad x = 2024 t + x_0.\)
यह हमें बताता है कि हल रेखाओं \(x - 2024 t = \text{constant}\) के साथ स्थिर है, जिसका अर्थ है कि हल निम्न रूप लेता है:
\(u(x, t) = u_0(x - 2024 t).\)
इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण का हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t).\) है।
कथन \(S_1\):
यदि \(A_t = \{x \in \mathbb{R} : u(x, t) < 1\} \) और \(|A_t| \) \( A\) का लेबेग माप दर्शाता है, तो प्रत्येक \(t \geq 0 \) के लिए, \(|A_t| = |A_0| \) है।
आंशिक अवकल समीकरण का हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t) \) है, जिसका अर्थ है कि u(x, t) प्रारंभिक प्रतिबंध का एक स्थानांतरण है।
स्थानांतरण किसी समुच्चय के लेबेग माप को नहीं बदलता है। इसलिए, यदि हम समुच्चय \(A_t \) को \(\{x \in \mathbb{R} : u(x, t) < 1\} \) के रूप में परिभाषित करते हैं,
माप \(|A_t| \) सभी \(t \geq 0\) के लिए समान रहेगा क्योंकि फलन \(u(x, t)\) केवल \(u_0(x)\) का एक स्थानांतरित संस्करण है।
इस प्रकार, कथन \(S_1 \) सत्य है।
कथन \(S_2 \):
यदि \(u_0 \) लेबेग समाकलनीय है, तो प्रत्येक \(t \geq 0 \) के लिए, फलन u(x, t) लेबेग समाकलनीय है।
हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t)\) प्रारंभिक प्रतिबंध \(u_0(x)\) का एक स्थानांतरण है।
लेबेग समाकलनीय फलन का स्थानांतरण अभी भी लेबेग समाकलनीय है।
इसलिए, यदि \(u_0(x)\) समाकलनीय है, तो u(x, t) सभी \(t \geq 0 \) के लिए समाकलनीय होगा।
इस प्रकार, कथन \(S_2 \) भी सत्य है।
दोनों कथन \(S_1\) और \(S_2 \) सत्य हैं।
इसलिए, सही विकल्प विकल्प 1) है।
Lebesgue Measure & Integral Question 3:
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
(P) लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह M एक 6 बीजगणित है।
(Q) लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह M एक बीजगणित है।
(R) शून्य लेबेग बाह्य माप वाला प्रत्येक समुच्चय लेबेग मेय होता है।
तब सही विकल्प चुनें
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 3 Detailed Solution
कथन (P):
लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह M एक σ-बीजगणित है।
σ-बीजगणित की परिभाषा: समुच्चयों का एक संग्रह A को σ-बीजगणित कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
रिक्त समुच्चय ∅, A में है। यदि कोई समुच्चय A, A में है, तो इसका पूरक Ac भी A में है।
यदि समुच्चयों का एक गणनीय संग्रह {Ai} i = 1 से ∞ तक A में है, तो उनका संघ ⋃ i = 1 से ∞ Ai भी A में है।
लेबेग मेय समुच्चय: लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह गणनीय संघों, गणनीय प्रतिच्छेदनों और पूरकों के अंतर्गत बंद है, और इसमें रिक्त समुच्चय भी शामिल है। इस प्रकार, यह एक σ-बीजगणित बनाता है।
कथन (P) सही है।
कथन (Q):
लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह M समुच्चयों का एक बीजगणित है।
समुच्चयों के बीजगणित की परिभाषा: समुच्चयों का एक संग्रह A समुच्चयों का एक बीजगणित है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
रिक्त समुच्चय ∅, A में है। यदि कोई समुच्चय A, A में है, तो इसका पूरक Ac भी A में है।
यदि समुच्चयों का एक परिमित संग्रह {Ai} i = 1 से n तक A में है, तो उनका संघ ⋃ i = 1 से n Ai भी A में है।
लेबेग मेय समुच्चय:
चूँकि एक σ-बीजगणित समुच्चयों के बीजगणित की तुलना में एक मजबूत स्थिति है (एक σ-बीजगणित गणनीय संक्रियाओं के अंतर्गत बंद है, जबकि समुच्चयों का एक बीजगणित परिमित संक्रियाओं के अंतर्गत बंद है), और हम पहले ही जानते हैं कि लेबेग मेय समुच्चय एक σ-बीजगणित बनाते हैं, यह समुच्चयों का एक बीजगणित भी है।
कथन (Q) सही है।
कथन (R):
शून्य लेबेग बाह्य माप वाला प्रत्येक समुच्चय लेबेग मेय होता है।
लेबेग बाह्य माप: एक समुच्चय E का लेबेग बाह्य माप शून्य है यदि प्रत्येक 𝜖 > 0 के लिए, अंतरालों का एक गणनीय संग्रह {Ii} मौजूद है जैसे कि E ⊆ ⋃ Ii और Σ |Ii| < 𝜖
मेयता मानदंड: एक समुच्चय E लेबेग मेय है यदि किसी भी समुच्चय A के लिए, A का माप E के साथ A के प्रतिच्छेदन के माप और E के पूरक के साथ A के प्रतिच्छेदन के माप के योग के बराबर है।
शून्य माप वाले समुच्चय: यदि E का लेबेग बाह्य माप शून्य है, तो किसी भी समुच्चय A के लिए, A ∩ E का माप शून्य होगा क्योंकि शून्य माप वाले समुच्चय के उपसमुच्चय का भी माप शून्य होता है। इसलिए, E मेय है।
कथन (R) सही है।
Lebesgue Measure & Integral Question 4:
मानें कि [x] किसी भी वास्तविक संख्या x के पूर्णांक वाले अंश को निरूपित करता है। निम्न में से कौन से समुच्चयों का लेबेग माप शून्येत्तर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 4 Detailed Solution
Lebesgue Measure & Integral Question 5:
मान लीजिए कि ℝ में एक उपसमुच्चय E का अभिलक्षणिक फलन 𝜒𝐸 इस प्रकार परिभाषित है:
\(\rm \chi_E(x)=\left\{\begin{matrix}1,&यदि\ x\in E\\\ 0, &यदि\ x\notin E\end{matrix}\right.\)
1 ≤ 𝑝 < 2 के लिए, मान लीजिए
𝐿𝑝 [0, 1] = {𝑓:[0, 1] → ℝ ∶ 𝑓 लेबेग मापनीय है और \(\rm \int_0^1|f(x)|^pdx<\infty\}.\)
मान लीजिए 𝑓:[0, 1] → ℝ इस प्रकार परिभाषित है:
\(\rm f(x)=\Sigma_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n^3}\chi\left[\frac{1}{2^{n+1},}\frac{1}{2^n}\right](x).\)
निम्नलिखित दो कथनों पर विचार कीजिए:
𝑃: प्रत्येक 𝑝 ∈ (1, 2) के लिए 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 [0, 1].
𝑄: 𝑓 ∈ 𝐿1 [0, 1].
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 5 Detailed Solution
व्याख्या -
कथन 𝑄 के लिए:
𝑓 ∈ 𝐿1 [0, 1], हमें यह प्रदर्शित करने की आवश्यकता है कि समाकल \(∫_{[0,1]} |𝑓(𝑥)| dx\) परिमित है।
अभिलक्षणिक फलन \(χ_E\) 𝑥 ∈ 𝐸 के लिए 1 और 𝑥 ∉ 𝐸 के लिए 0 के रूप में परिभाषित है।
केवल एकल अंतराल \([\frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^{n+1}}]\) के लिए, फलन fn (श्रेणी का एक पद जो f(x) बनाता है) 0 से विचलित होता है, जहाँ यह 2n/n3 के बराबर होता है।
[0, 1] में दिए गए 'x' के लिए, श्रेणी में केवल एक ही पद शून्येतर होता है क्योंकि ये बंद अंतराल असंयुक्त होते हैं।
इसलिए, हम असंयुक्त अंतरालों पर एकल समाकलों के योग के रूप में श्रेणी पर विचार कर सकते हैं।
|f| का 0 से 1 तक समाकलन (जो ऐसे समाकलों का योग है) की गणना करते समय, हमें प्राप्त होता है:
\(∫_{[0,1]} |f(x)| dx = ∑ _{n=1}^ ∞∫_{ [\frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^{n+1}}]} |2^n/n^3| dx.\)
=\( ∑ _{n=1} ^ ∞ (\frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{(n+1)}}) * |2^n/n^3|)\)
= \(∑_{n=1}^ ∞(1/2 - 1/2^2) * |2^n/n^3| \) = \(∑ _{n=1} ^ ∞ (1/2) * |2^n/n^3| = ∑ _{n=1} ^ ∞ |2^{n-1}/n^3|\)
यह एक p-श्रेणी है, जिसमें p=3 है, जो p > 1 होने पर अभिसारी ज्ञात है।
इसलिए, समाकल एक परिमित संख्या के बराबर होता है और f ∈ 𝐿1 [0, 1].
इसलिए, कथन Q सत्य है।
अब कथन P पर पुनर्विचार करते हैं:
प्रत्येक p ∈ (1, 2) के लिए f ∈ Lp [0, 1].
हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या \(∫_{[0,1]} |f|^p dx\) 1 ≤ p < 2 के लिए परिमित है।
|f|p (2n/n3)p = \(2^{np}/n^{3p}.\) हो जाएगा।
अंतराल [0,1] पर इस फलन का समाकलन \(∫_{[0,1]} 2^{np}/n^{3p} dx\) होगा, जो \(∑_{n=1}^∞ 2^{np}(1/n^{3p}).\) के समतुल्य है।
श्रेणी \(∑_{n=1}^∞ 2^{np}(1/n^{3p}).\)
अब अनुपात परीक्षण का उपयोग करें तो यह श्रेणी अभिसारी है यदि 2p > 1 यदि p ∈ (1,2)
जो कि विरोधाभास है।
इसलिए कथन P असत्य है।
इसलिए विकल्प (2) और (4) सही हैं।
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𝑘 ∈ ℕ के लिए, मान लीजिए कि 𝐸𝑘, [0,1] का एक मेय उपसमुच्चय है जिसका लेबेग माप \(\rm \frac{1}{k^2}\) है। परिभाषित कीजिए
\(\rm E=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}E_k\) और \(\rm F=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}E_k\)
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
𝑃: 𝐸 का लेबेग माप शून्य के बराबर है।
𝑄: 𝐹 का लेबेग माप शून्य के बराबर है।
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
(i) \(\cap_{n=1}^{∞}\cup_{k=n}^{∞}E_k\) = \(\lim\sup E_k\) और \(\cup_{n=1}^{∞}\cap_{k=n}^{∞}E_k\)= \(\lim\inf E_k\)
(ii) यदि {Ei} मेय समुच्चयों का एक अनुक्रम है, \(m\left(\cup_{i=1}^{∞}E_i\right)\) < ∞ और \(\lim E_i\) का अस्तित्व है तो m(\(\lim E_i\)) = lim(m(Ei))
व्याख्या:
𝑘 ∈ ℕ के लिए, 𝐸𝑘 , [0,1] का एक मेय उपसमुच्चय है जिसका लेबेग माप \(\rm \frac{1}{k^2}\) है।
अब, m(\(\lim_{k\to\infty} E_k\)) = \(\lim_{k\to\infty}\)(m(Ek)) = \(\lim_{k\to\infty}\)\(\rm \frac{1}{k^2}\) = 0
इसलिए, उच्च सीमा और निम्न सीमा दोनों 0 के बराबर हैं।
इसलिए, \(\rm E=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}E_k\) = \(\lim\sup E_k\) का लेबेग माप 0 है।
और \(\rm F=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}E_k\)= \(\lim\inf E_k\) का लेबेग माप 0 है।
इसलिए 𝑃 और 𝑄 दोनों सत्य हैं।
विकल्प (1) सही है।
मान लीजिए u = u(x, t) निम्न प्रारंभिक मान समस्या का हल है
\(\rm \left\{\begin{matrix}u_t+2024u_x=0,&x ∈ R, t>0\\\ u(x, 0)=u_0(x), &x ∈ R\end{matrix}\right.\)
जहाँ u0 : ℝ → ℝ एक स्वेच्छ C1 फलन है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
S1 : यदि At = {x ∈ ℝ : u(x, t) < 1} और |At| प्रत्येक t ≥ 0 के लिए A का लेबेग माप दर्शाता है, तो |At| = |A0|, ∀t > 0
S2 : यदि u0 लेबेग समाकलनीय है, तो प्रत्येक t > 0 के लिए, फलन x → u(x, t) लेबेग समाकलनीय है।
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 7 Detailed Solution
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फलनों का स्थानांतरण: हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t) \) फलन \(u_0(x) \) के स्थानांतरण को x-अक्ष के अनुदिश दर्शाता है जैसे-जैसे समय t आगे बढ़ता है। यह हल के गुणों का विश्लेषण करते समय महत्वपूर्ण है क्योंकि कई गुण, जैसे कि समाकलनीयता और समुच्चयों का लेबेग माप, स्थानांतरण के तहत संरक्षित रहते हैं।
लेबेग माप: समुच्चय \(A \subset \mathbb{R} \) का लेबेग माप \(|A|\) समुच्चय को "आकार" निर्दिष्ट करने का एक तरीका है।
यहाँ प्रासंगिक मुख्य गुण यह है कि किसी समुच्चय का लेबेग माप स्थानांतरण के तहत निश्चर है।
दूसरे शब्दों में, यदि किसी समुच्चय \(A \subset \mathbb{R} \) को किसी निश्चित मात्रा से स्थानांतरित किया जाता है, तो उसका माप समान रहता है।
व्याख्या:
\(\begin{cases} u_t + 2024 u_x = 0, & x \in \mathbb{R}, t > 0 \\ u(x, 0) = u_0(x), & x \in \mathbb{R} \end{cases}\)
जहाँ \(u_0 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) एक स्वेच्छ \( C^1\) (संतत अवकलनीय) फलन है। हल u(x, t) के बारे में दो कथन \( S_1 \) और \( S_2\) दिए गए हैं, और हमें यह निर्धारित करना है कि दोनों कथन सत्य हैं या असत्य।
यह एक प्रथम-कोटि रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है। इस प्रकार के समीकरण को हल करने की मानक विधि अभिलक्षणिक विधि का उपयोग करके है। आंशिक अवकल समीकरण \(u_t + 2024 u_x = 0 \) में निम्नलिखित अभिलक्षणिक समीकरण हैं
\(\frac{dx}{dt} = 2024 \quad \Rightarrow \quad x = 2024 t + x_0.\)
यह हमें बताता है कि हल रेखाओं \(x - 2024 t = \text{constant}\) के साथ स्थिर है, जिसका अर्थ है कि हल निम्न रूप लेता है:
\(u(x, t) = u_0(x - 2024 t).\)
इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण का हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t).\) है।
कथन \(S_1\):
यदि \(A_t = \{x \in \mathbb{R} : u(x, t) < 1\} \) और \(|A_t| \) \( A\) का लेबेग माप दर्शाता है, तो प्रत्येक \(t \geq 0 \) के लिए, \(|A_t| = |A_0| \) है।
आंशिक अवकल समीकरण का हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t) \) है, जिसका अर्थ है कि u(x, t) प्रारंभिक प्रतिबंध का एक स्थानांतरण है।
स्थानांतरण किसी समुच्चय के लेबेग माप को नहीं बदलता है। इसलिए, यदि हम समुच्चय \(A_t \) को \(\{x \in \mathbb{R} : u(x, t) < 1\} \) के रूप में परिभाषित करते हैं,
माप \(|A_t| \) सभी \(t \geq 0\) के लिए समान रहेगा क्योंकि फलन \(u(x, t)\) केवल \(u_0(x)\) का एक स्थानांतरित संस्करण है।
इस प्रकार, कथन \(S_1 \) सत्य है।
कथन \(S_2 \):
यदि \(u_0 \) लेबेग समाकलनीय है, तो प्रत्येक \(t \geq 0 \) के लिए, फलन u(x, t) लेबेग समाकलनीय है।
हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t)\) प्रारंभिक प्रतिबंध \(u_0(x)\) का एक स्थानांतरण है।
लेबेग समाकलनीय फलन का स्थानांतरण अभी भी लेबेग समाकलनीय है।
इसलिए, यदि \(u_0(x)\) समाकलनीय है, तो u(x, t) सभी \(t \geq 0 \) के लिए समाकलनीय होगा।
इस प्रकार, कथन \(S_2 \) भी सत्य है।
दोनों कथन \(S_1\) और \(S_2 \) सत्य हैं।
इसलिए, सही विकल्प विकल्प 1) है।
मान लीजिए ℝ पर लेबेग माप के सापेक्ष 𝒩 ⊆ ℝ एक अमेय समुच्चय है।
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
𝑃: यदि 𝑀 = { 𝑥 ∈ 𝒩 ∶ 𝑥 अपरिमेय है }, तो 𝑀 लेबेग मेय है।
𝑄: 𝒩 की सीमा का धनात्मक लेबेग बाह्य माप है।
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा -
व्याख्या -
कथन (P) के लिए -
यदि लेबेग माप के सापेक्ष N एक अमेय समुच्चय है, तो N का कोई भी उपसमुच्चय,
जैसे कि M = { x ∈ N : x अपरिमेय है },
लेबेग माप के अंतर्गत भी अमेय हो सकता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अपरिमेय संख्याएँ स्वयं पूर्ण माप का एक समुच्चय बनाती हैं, इसलिए हम यह नहीं मान सकते कि कोई उपसंग्रह आवश्यक रूप से मेय है।
इसलिए, P आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
कथन (Q) के लिए -
𝒩 की सीमा का धनात्मक लेबेग बाह्य माप है।
यह सामान्यतः सत्य है।
इसलिए, कथन Q सत्य है।
अतः विकल्प (2) सत्य है।
Lebesgue Measure & Integral Question 9:
लेबेग मापनीय फलनों 𝑓𝑛: ℝ → ℝ के अनुक्रम पर विचार करें जो इस प्रकार दिए गए हैं:
\(\rm f_n(x)=\rm \left\{\begin{matrix}n^2(x-n),&if\ x\in \left[n,n+\frac{1}{n^2}\right]\\\ 0,&otherwise\end{matrix}\right.\)
ℝ के एक मापनीय उपसमुच्चय 𝐸 के लिए, 𝐸 का लेबेग माप 𝑚(𝐸) दर्शाया गया है।
निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 9 Detailed Solution
दिया गया:
लेबेग मापनीय फलनों 𝑓𝑛: ℝ → ℝ के अनुक्रम पर विचार करें जो निम्न द्वारा दिया गया हैं:
\(\rm f_n(x)=\rm \left\{\begin{matrix}n^2(x-n),&if\ x\in \left[n,n+\frac{1}{n^2}\right]\\\ 0,&otherwise\end{matrix}\right.\)
संप्रत्यय:
इस समुच्चय का लेबेग माप अंतराल की लंबाई द्वारा दिया गया है
गणना:
\(\rm f_n(x)=\rm \left\{\begin{matrix}n^2(x-n),&if\ x\in \left[n,n+\frac{1}{n^2}\right]\\\ 0,&otherwise\end{matrix}\right.\)
अब,
पूरी वास्तविक रेखा पर प्रत्येक \(\rm f_n\) का समाकलन दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
अंतराल \(\rm [n,n+\frac{1}{n^2}]\) पर समाकलन जहाँ \(\rm f_n\) शून्येतर है, और इस अंतराल के पूरक पर समाकलन।
\(\rm \int_{ℝ}|f_n(x)|=\int_n^{n+\frac{1}{n^2}}n^2(x-n)dx+\int_{ℝ\[n+\frac{1}{n^2}]}0dx\)
\(\rm \int_{ℝ}f_n(x)=\frac{1}{n}\)
चूँकि n→∞
\(\rm lim_{n→∞}\int_{ℝ}|f_n(x)|=0\)
और
समुच्चय \(\rm \{x\inℝ|f_n(x)\ne0\}\) अंतराल \(\rm [n,n+\frac{1}{n^2}]\) है, जहाँ fn शून्येतर है। इस समुच्चय का लेबेग माप अंतराल की लंबाई द्वारा दिया गया है, जो \(\rm \frac{1}{n^2}\) है, चूँकि n अनंत की ओर अग्रसर है, इस समुच्चय का माप शून्य है।
इसलिए, विकल्प (2), (3) और (4) सही हैं।
Lebesgue Measure & Integral Question 10:
𝑘 ∈ ℕ के लिए, मान लीजिए कि 𝐸𝑘, [0,1] का एक मेय उपसमुच्चय है जिसका लेबेग माप \(\rm \frac{1}{k^2}\) है। परिभाषित कीजिए
\(\rm E=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}E_k\) और \(\rm F=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}E_k\)
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
𝑃: 𝐸 का लेबेग माप शून्य के बराबर है।
𝑄: 𝐹 का लेबेग माप शून्य के बराबर है।
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) \(\cap_{n=1}^{∞}\cup_{k=n}^{∞}E_k\) = \(\lim\sup E_k\) और \(\cup_{n=1}^{∞}\cap_{k=n}^{∞}E_k\)= \(\lim\inf E_k\)
(ii) यदि {Ei} मेय समुच्चयों का एक अनुक्रम है, \(m\left(\cup_{i=1}^{∞}E_i\right)\) < ∞ और \(\lim E_i\) का अस्तित्व है तो m(\(\lim E_i\)) = lim(m(Ei))
व्याख्या:
𝑘 ∈ ℕ के लिए, 𝐸𝑘 , [0,1] का एक मेय उपसमुच्चय है जिसका लेबेग माप \(\rm \frac{1}{k^2}\) है।
अब, m(\(\lim_{k\to\infty} E_k\)) = \(\lim_{k\to\infty}\)(m(Ek)) = \(\lim_{k\to\infty}\)\(\rm \frac{1}{k^2}\) = 0
इसलिए, उच्च सीमा और निम्न सीमा दोनों 0 के बराबर हैं।
इसलिए, \(\rm E=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}E_k\) = \(\lim\sup E_k\) का लेबेग माप 0 है।
और \(\rm F=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}E_k\)= \(\lim\inf E_k\) का लेबेग माप 0 है।
इसलिए 𝑃 और 𝑄 दोनों सत्य हैं।
विकल्प (1) सही है।
Lebesgue Measure & Integral Question 11:
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 11 Detailed Solution
अवधारणा:
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में किसी भी अंतराल I = [a, b] के लिए, और मान लीजिए कि l(I) = b - a परिभाषित अंतराल की लंबाई है। R के किसी भी उपसमुच्चय के लिए, मान लीजिए E ⊆ R, लेबेग बाह्य माप λ*(E) को निम्नक के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है:
λ*(E) = inf{\(\sum_{k=1}^{\infty}\) l(Ik): \((I_k)_{k\in\mathbb N}\) खुले अंतरालों का एक अनुक्रम है जहाँ E ⊆ \(\cup_{k=1}^{\infty}I_k\)}
व्याख्या:
मान लीजिए A और B लेबेग मेय समुच्चय हैं। तब Ac, Bc और Ac ∪ Bc भी लेबेग मेय समुच्चय है।
चूँकि, Ac ∪ Bc = (A ∩ B)c, एक लेबेग मेय समुच्चय है।
⇒ A ∩ B एक लेबेग मेय समुच्चय है।
Lebesgue Measure & Integral Question 12:
मानें कि [x] किसी भी वास्तविक संख्या x के पूर्णांक वाले अंश को निरूपित करता है। निम्न में से कौन से समुच्चयों का लेबेग माप शून्येत्तर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 12 Detailed Solution
Lebesgue Measure & Integral Question 13:
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
(P) लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह M एक 6 बीजगणित है।
(Q) लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह M एक बीजगणित है।
(R) शून्य लेबेग बाह्य माप वाला प्रत्येक समुच्चय लेबेग मेय होता है।
तब सही विकल्प चुनें
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 13 Detailed Solution
कथन (P):
लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह M एक σ-बीजगणित है।
σ-बीजगणित की परिभाषा: समुच्चयों का एक संग्रह A को σ-बीजगणित कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
रिक्त समुच्चय ∅, A में है। यदि कोई समुच्चय A, A में है, तो इसका पूरक Ac भी A में है।
यदि समुच्चयों का एक गणनीय संग्रह {Ai} i = 1 से ∞ तक A में है, तो उनका संघ ⋃ i = 1 से ∞ Ai भी A में है।
लेबेग मेय समुच्चय: लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह गणनीय संघों, गणनीय प्रतिच्छेदनों और पूरकों के अंतर्गत बंद है, और इसमें रिक्त समुच्चय भी शामिल है। इस प्रकार, यह एक σ-बीजगणित बनाता है।
कथन (P) सही है।
कथन (Q):
लेबेग मेय समुच्चयों का संग्रह M समुच्चयों का एक बीजगणित है।
समुच्चयों के बीजगणित की परिभाषा: समुच्चयों का एक संग्रह A समुच्चयों का एक बीजगणित है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
रिक्त समुच्चय ∅, A में है। यदि कोई समुच्चय A, A में है, तो इसका पूरक Ac भी A में है।
यदि समुच्चयों का एक परिमित संग्रह {Ai} i = 1 से n तक A में है, तो उनका संघ ⋃ i = 1 से n Ai भी A में है।
लेबेग मेय समुच्चय:
चूँकि एक σ-बीजगणित समुच्चयों के बीजगणित की तुलना में एक मजबूत स्थिति है (एक σ-बीजगणित गणनीय संक्रियाओं के अंतर्गत बंद है, जबकि समुच्चयों का एक बीजगणित परिमित संक्रियाओं के अंतर्गत बंद है), और हम पहले ही जानते हैं कि लेबेग मेय समुच्चय एक σ-बीजगणित बनाते हैं, यह समुच्चयों का एक बीजगणित भी है।
कथन (Q) सही है।
कथन (R):
शून्य लेबेग बाह्य माप वाला प्रत्येक समुच्चय लेबेग मेय होता है।
लेबेग बाह्य माप: एक समुच्चय E का लेबेग बाह्य माप शून्य है यदि प्रत्येक 𝜖 > 0 के लिए, अंतरालों का एक गणनीय संग्रह {Ii} मौजूद है जैसे कि E ⊆ ⋃ Ii और Σ |Ii| < 𝜖
मेयता मानदंड: एक समुच्चय E लेबेग मेय है यदि किसी भी समुच्चय A के लिए, A का माप E के साथ A के प्रतिच्छेदन के माप और E के पूरक के साथ A के प्रतिच्छेदन के माप के योग के बराबर है।
शून्य माप वाले समुच्चय: यदि E का लेबेग बाह्य माप शून्य है, तो किसी भी समुच्चय A के लिए, A ∩ E का माप शून्य होगा क्योंकि शून्य माप वाले समुच्चय के उपसमुच्चय का भी माप शून्य होता है। इसलिए, E मेय है।
कथन (R) सही है।
Lebesgue Measure & Integral Question 14:
μ को ℝ पर लेबेग (Lebesgue) माप मानें तथा μ* को सहचारी लेबेग बाह्य माप। मानें कि [0, 1] का एक अरिक्त समुच्चय A है। निम्न वक्तव्यों में से कौन-से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 14 Detailed Solution
सही विकल्प 1,2,3, 4 है।
हम जल्द से जल्द समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।
Lebesgue Measure & Integral Question 15:
मान लीजिए f : [0, 1] → ℝ एक फलन है। निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिबंध f के लेबेग मेय होने के लिए पर्याप्त है?
Answer (Detailed Solution Below)
Lebesgue Measure & Integral Question 15 Detailed Solution
व्याख्या:
f : [0, 1] → ℝ एक फलन है।
(3): f लगभग हर जगह [0, 1] पर संतत है।
मान लीजिए E ⊂ [0, 1] उन बिंदुओं का समुच्चय है जहाँ f असंतत है।
हमारे पास m(E) = 0 है। Ec = [0, 1] \ E पर f का प्रतिबंध संतत है, इसलिए किसी भी विवृत समुच्चय U ⊂ R के लिए इसका पूर्व प्रतिबिम्ब f−1(U) ∩ Ec, Ec में विवृत है,
इसलिए f−1(U) = (V ∩ Ec) ∩ B किसी विवृत समुच्चय V ⊂ [0, 1] और किसी उपसमुच्चय B ⊂ E के लिए है।
शून्य समुच्चय E का कोई भी उपसमुच्चय मेय है, इसलिए f−1(U) एक मेय समुच्चय है।
इसलिए f एक मेय समुच्चय है।
(3) सत्य है
(4): प्रत्येक c ∈ ℝ के लिए, समुच्चय {x ∈ [0, 1] : f(x) = c} लेबेग मेय है।
मान लीजिए A ⊂ [0, 1] एक अमेय समुच्चय है।
f(x) = x को A पर और f(x) = −x को [0, 1] \ A पर परिभाषित कीजिए।
यह फलन एकैकी है, इसलिए प्रत्येक c ∈ R के लिए {x ∈ [0, 1]: f(x) = c} या तो रिक्त है या एक-बिंदु समुच्चय (एक एकल) है; दोनों ही स्थितियों में यह मेय है। लेकिन f−1([0, 1]) = A एक अमेय समुच्चय है।
(4) असत्य है।
(1) और (2) भी असत्य हैं।