Compactness & Connectedness MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Compactness & Connectedness - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 26, 2025
Latest Compactness & Connectedness MCQ Objective Questions
Compactness & Connectedness Question 1:
समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 1 Detailed Solution
संकल्पना:
(i) एक समुच्चय को बंद माना जाता है यदि इसमें इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।
(ii) समुच्चय जुड़ा हुआ है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है।
(iii) समुच्चय उत्तल है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।
स्पष्टीकरण:
बंद: समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} मूल बिंदु पर केंद्र त्रिज्या 4 के साथ एक बंद डिस्क को दर्शाते हैं। चूँकि समुच्चय में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं, इसलिए यह बंद है।
संयोजित: समुच्चय संयोजित है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है। समुच्चय एक एकल संयोजित घटक बनाता है।
उत्तल: समुच्चय उत्तल है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को संयोजित करने वाला कोई भी रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।
Compactness & Connectedness Question 2:
निम्नलिखित कथनों (S1) पर विचार करें: दूरीक समष्टि X के प्रत्येक संयोजित उपसमुच्चय Y के लिए, इसका आंतरिक भाग Y° संयोजित होता है।
(S2) दूरीक समष्टि X के प्रत्येक संयोजित उपसमुच्चय Y के लिए, इसकी परिसीमा ∂Y संयोजित होती है।
सही विकल्प चुनें।
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
S1 के लिए X = \(\mathbb R^2\) और Y = {(x, y): (x + 1)2 + y2 ≤ 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 ≤ 1} लेने पर,
यहाँ Y पथ संयोजित है और इसलिए \(\mathbb R^2\) का संयोजित उपसमुच्चय है।
अब, Y∘ = {(x, y): (x + 1)2 + y2 < 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 < 1}
इसलिए Y∘ संयोजित नहीं है।
S1 असत्य है।
S2 के लिए X = \(\mathbb R\) और Y = (0, 2) लेने पर,
तब ∂Y = Y की परिसीमा = {0, 2}
यहाँ \(\mathbb R\) का संयोजित उपसमुच्चय है लेकिन ∂Y संयोजित नहीं है।
S2 असत्य है।
(2), (4) सही हैं। .
Compactness & Connectedness Question 3:
यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक परिमित उपावरण निहित होता है, तो S को ______________ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
संहत समुच्चय: एक समुच्चय संहत तब होता है, यदि समष्टि के प्रत्येक खुले आवरक
में एक परिमित उपावरण होता है।
परिमित समुच्चय: किसी समुच्चय को परिमित समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें तत्वों की संख्या परिमित होती है।
तुल्यांक समुच्चय: तुल्यांक समुच्चय वे समुच्चय होते हैं, जिनमें तत्वों की संख्या समान होती है, हालाँकि तत्व स्वयं भिन्न हो सकते हैं।
रिक्त समुच्चय: किसी समुच्चय को रिक्त समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें कोई तत्व न हो।
इसलिए यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक उपावरण निहित होता है, तो S को संहत समुच्चय कहा जाता है
अतः (1) सही है।
Compactness & Connectedness Question 4:
यदि X ⊂ ℝ को ℝ का अनंत, गणनीय, परिबद्ध उपसमुच्चय मानें तो निम्नमें से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 4 Detailed Solution
Compactness & Connectedness Question 5:
मानें f ∶ [0, 1] → (0, 1) एक फलन है। निम्न में से कौन से कथन असत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 5 Detailed Solution
Top Compactness & Connectedness MCQ Objective Questions
Compactness & Connectedness Question 6:
यदि X ⊂ ℝ को ℝ का अनंत, गणनीय, परिबद्ध उपसमुच्चय मानें तो निम्नमें से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 6 Detailed Solution
Compactness & Connectedness Question 7:
माना कि A और B, \(\mathbb{R}\) के दो अरिक्त उपसमुच्चय हैं तथा C = A ∩ B, तब निम्नलिखित में से कौन सा प्रतिबंध सूचित करता है कि C रिक्त है?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 7 Detailed Solution
Compactness & Connectedness Question 8:
निम्न में से किस के लिए कोई संतत तथा आच्छादी फलन f : X → Y होता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 8 Detailed Solution
Compactness & Connectedness Question 9:
निम्नलिखित कथनों (S1) पर विचार करें: दूरीक समष्टि X के प्रत्येक संयोजित उपसमुच्चय Y के लिए, इसका आंतरिक भाग Y° संयोजित होता है।
(S2) दूरीक समष्टि X के प्रत्येक संयोजित उपसमुच्चय Y के लिए, इसकी परिसीमा ∂Y संयोजित होती है।
सही विकल्प चुनें।
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 9 Detailed Solution
व्याख्या:
S1 के लिए X = \(\mathbb R^2\) और Y = {(x, y): (x + 1)2 + y2 ≤ 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 ≤ 1} लेने पर,
यहाँ Y पथ संयोजित है और इसलिए \(\mathbb R^2\) का संयोजित उपसमुच्चय है।
अब, Y∘ = {(x, y): (x + 1)2 + y2 < 1} ∪ {(x, y): (x - 1)2 + y2 < 1}
इसलिए Y∘ संयोजित नहीं है।
S1 असत्य है।
S2 के लिए X = \(\mathbb R\) और Y = (0, 2) लेने पर,
तब ∂Y = Y की परिसीमा = {0, 2}
यहाँ \(\mathbb R\) का संयोजित उपसमुच्चय है लेकिन ∂Y संयोजित नहीं है।
S2 असत्य है।
(2), (4) सही हैं। .
Compactness & Connectedness Question 10:
यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक परिमित उपावरण निहित होता है, तो S को ______________ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 10 Detailed Solution
व्याख्या:
संहत समुच्चय: एक समुच्चय संहत तब होता है, यदि समष्टि के प्रत्येक खुले आवरक
में एक परिमित उपावरण होता है।
परिमित समुच्चय: किसी समुच्चय को परिमित समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें तत्वों की संख्या परिमित होती है।
तुल्यांक समुच्चय: तुल्यांक समुच्चय वे समुच्चय होते हैं, जिनमें तत्वों की संख्या समान होती है, हालाँकि तत्व स्वयं भिन्न हो सकते हैं।
रिक्त समुच्चय: किसी समुच्चय को रिक्त समुच्चय कहा जाता है, यदि उसमें कोई तत्व न हो।
इसलिए यदि किसी समुच्चय S के प्रत्येक खुले आवरक में S का एक उपावरण निहित होता है, तो S को संहत समुच्चय कहा जाता है
अतः (1) सही है।
Compactness & Connectedness Question 11:
मानें f ∶ [0, 1] → (0, 1) एक फलन है। निम्न में से कौन से कथन असत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 11 Detailed Solution
Compactness & Connectedness Question 12:
समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Compactness & Connectedness Question 12 Detailed Solution
संकल्पना:
(i) एक समुच्चय को बंद माना जाता है यदि इसमें इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।
(ii) समुच्चय जुड़ा हुआ है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है।
(iii) समुच्चय उत्तल है यदि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।
स्पष्टीकरण:
बंद: समुच्चय {(x, y) ∈ IR2 ; x2 + y2 ≤ 16} मूल बिंदु पर केंद्र त्रिज्या 4 के साथ एक बंद डिस्क को दर्शाते हैं। चूँकि समुच्चय में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं, इसलिए यह बंद है।
संयोजित: समुच्चय संयोजित है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर किन्हीं दो बिंदुओं को पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित एक सतत वक्र द्वारा जोड़ा जा सकता है। समुच्चय एक एकल संयोजित घटक बनाता है।
उत्तल: समुच्चय उत्तल है क्योंकि डिस्क के भीतर या सीमा पर दो बिंदुओं को संयोजित करने वाला कोई भी रेखा खंड पूर्ण रूप से डिस्क के भीतर स्थित है।