Directional Derivative, Partial Derivative MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Directional Derivative, Partial Derivative - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 24, 2025
Latest Directional Derivative, Partial Derivative MCQ Objective Questions
Directional Derivative, Partial Derivative Question 1:
मान लीजिए f : ℝ2 → ℝ3 एक अवकलनीय फलन है जिसके लिए (Df)(0, 0) का कोटि 2 है। f = (f1, f2, f3) लिखिए। निम्नलिखित में से कौन से कथन आवश्यक रूप से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivative, Partial Derivative Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
व्युत्क्रम फलन प्रमेय;
मान लीजिए \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) एक सतत अवकलनीय फलन है। यदि किसी बिंदु \(a \in \mathbb{R}^n \) पर जैकोबियन आव्यूह \(Df(a)\)
उत्क्रमणीय है (अर्थात, इसका सारणिक शून्येतर है), तो \(a\) का एक खुला पड़ोस U और \( f(a)\) का एक खुला पड़ोस V मौजूद है जिसके लिए \(f: U \to V\) एक विवर्तन है, जिसका अर्थ है कि f एकैकी है, और f और
इसका व्युत्क्रम \(f^{-1} \) दोनों सतत अवकलनीय हैं।
व्याख्या:
यह दिया गया है कि \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) एक अवकलनीय फलन है जहाँ \(\text{rank}(Df)(0,0) = 2 \) है, फलन का मूलबिंदु पर एक अनिर्धारित अवकलज है। इसका तात्पर्य है कि (0,0) पर f का जैकोबियन आव्यूह पूर्ण कोटि का है, जिसका अर्थ है कि (0,0) के निकट f का प्रतिबिम्ब स्थानीय रूप से \(\mathbb{R}^3 \) में एक अंतःस्थापित पृष्ठ है।
विकल्प 1: यह कथन सत्य है। यह दिया गया है कि अवकलज Df का (0,0) पर पूर्ण कोटि 2 है, इसका तात्पर्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय के कारण स्थानीय एकैकीता से है। इसलिए, (0,0) के एक पड़ोस में, f एकैकी है।
विकल्प 2: यह असत्य है। कोटि प्रतिबंध इंगित करता है कि \(f_1\) और \(f_2\) स्थानीय रूप से मानचित्र को निर्धारित करते हैं, लेकिन यह आवश्यक रूप से यह निहित नहीं करता है कि \(f_3 \), \(f_1\) और \(f_2\) का एक फलन है। इस प्रकार, ऐसी कोई गारंटी नहीं है।
विकल्प 3: यह असत्य है। कोटि प्रमेय द्वारा, f का प्रतिबिम्ब \(\mathbb{R}^3\) में एक 2-आयामी फलन है, न कि \(\mathbb{R}^3\) का एक खुला उपसमुच्चय।
मानचित्र f स्थानीय रूप से एकैकी है लेकिन प्रतिबिम्ब \(\mathbb{R}^3\) के एक खुले उपसमुच्चय को कवर नहीं कर सकता है।
विकल्प 4: यह कथन सत्य है। चूँकि (0,0) पर Df की पूर्ण कोटि है, इसलिए f, (0,0) के निकट एक स्थानीय विवर्तन की तरह व्यवहार करता है, जिसका अर्थ है कि (0,0), f(0,0) का एक वियुक्त पूर्व प्रतिबिम्ब है।
सही विकल्प विकल्प 1) और विकल्प 4) हैं।
Directional Derivative, Partial Derivative Question 2:
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए:
|
सूची I |
सूची II |
||
|
A. |
ϕ = y2, (1, 1, 1) पर ∇ϕ |
I. |
î |
|
B. |
ϕ = x, (1, -1, 2) पर ∇ϕ |
II. |
-6k̂ |
|
C. |
ϕ = 2x3, (0, 1, 2) पर ∇ϕ |
III. |
2ĵ |
|
D. |
ϕ = 3z2, (1, 2, -1) पर ∇ϕ |
IV. |
\(\vec 0\) |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivative, Partial Derivative Question 2 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
हमें निम्न फलन दिया गया है:
⇒ \(\phi = y^2\)
⇒ \( \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)\)
⇒ चूँकि \(\phi = y^2 \),
हम आंशिक अवकलज की गणना करते हैं,}
⇒ x, y, z के सापेक्ष आंशिक अवकलज
⇒ \(\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0\) , \(\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2y\) , \( \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0\)
इस प्रकार, प्रवणता है:
⇒ \(\nabla \phi = (0, 2y, 0)\) = \(2y\hat{j}\)
⇒ \(\nabla \phi (1,1,1) = (0, 2(1), 0) = (0,2,0)\) = \(2\hat{j}\)
A-III
\( \phi = x \)
⇒ \(\nabla \phi = \hat{i} (1) + \hat{j} (0) + \hat{k} (0) = (1, 0, 0)\)
B-I
\(\phi = 2x^3\)
⇒ \(\nabla \phi (0, 1, 2) = (6(0)^2, 0, 0) = (0, 0, 0)\)
C-IV
इसी प्रकार,
D-II
अतः विकल्प 3 सही है।
Directional Derivative, Partial Derivative Question 3:
यदि \(\rm u=\sin^{-1}\left[\frac{x+y}{\sqrt x+\sqrt y}\right]\ and \ x^2u_{xx}+2xyu_{xy}+y^2u_{yy}=\frac{-\sin u\cos 2u}{m^2\cos^3u}\) है, तो m बराबर है
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivative, Partial Derivative Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
घात
\(x ^ 2 u_{ xx} +2xyu _{ xy} +y ^ 2 u _{ yy} =n(n−1)u.\)
इस मामले में, sin
हम z = sin u रखते हैं
\(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{1}{2} tan u\)
\(x ^ 2 u_{ xx} +2xyu _{ xy} +y ^ 2 u _{ yy} =(\frac{1}{2}sec^2u-1).\frac{1}{2}tan u\)
\(x ^ 2 u_{ xx} +2xyu _{ xy} +y ^ 2 u _{ yy} =(\frac{1}{2}(1+tan^2u)-1).\frac{1}{2}tan u \)
\(x ^ 2 u_{ xx} +2xyu _{ xy} +y ^ 2 u _{ yy} =\frac{1}{4}\frac{(sin ^2u-cos^2u)}{cos^3u}=- \frac{1}{4}\frac{(cos2u).sinu}{cos^3u}\)
दिए गए से तुलना करने पर हमें m = 2 प्राप्त होता है
इसलिए विकल्प 1 सही है।
Directional Derivative, Partial Derivative Question 4:
परिभाषित करें कि
\(f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^3}{x^2+y^2} & \text { for } & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { for } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.\)
निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivative, Partial Derivative Question 4 Detailed Solution
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Directional Derivative, Partial Derivative Question 5:
परिभाषित करें कि
\(f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^3}{x^2+y^2} & \text { for } & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { for } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.\)
निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivative, Partial Derivative Question 5 Detailed Solution
Directional Derivative, Partial Derivative Question 6:
मान लीजिए f : ℝ2 → ℝ3 एक अवकलनीय फलन है जिसके लिए (Df)(0, 0) का कोटि 2 है। f = (f1, f2, f3) लिखिए। निम्नलिखित में से कौन से कथन आवश्यक रूप से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivative, Partial Derivative Question 6 Detailed Solution
संप्रत्यय:
व्युत्क्रम फलन प्रमेय;
मान लीजिए \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) एक सतत अवकलनीय फलन है। यदि किसी बिंदु \(a \in \mathbb{R}^n \) पर जैकोबियन आव्यूह \(Df(a)\)
उत्क्रमणीय है (अर्थात, इसका सारणिक शून्येतर है), तो \(a\) का एक खुला पड़ोस U और \( f(a)\) का एक खुला पड़ोस V मौजूद है जिसके लिए \(f: U \to V\) एक विवर्तन है, जिसका अर्थ है कि f एकैकी है, और f और
इसका व्युत्क्रम \(f^{-1} \) दोनों सतत अवकलनीय हैं।
व्याख्या:
यह दिया गया है कि \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) एक अवकलनीय फलन है जहाँ \(\text{rank}(Df)(0,0) = 2 \) है, फलन का मूलबिंदु पर एक अनिर्धारित अवकलज है। इसका तात्पर्य है कि (0,0) पर f का जैकोबियन आव्यूह पूर्ण कोटि का है, जिसका अर्थ है कि (0,0) के निकट f का प्रतिबिम्ब स्थानीय रूप से \(\mathbb{R}^3 \) में एक अंतःस्थापित पृष्ठ है।
विकल्प 1: यह कथन सत्य है। यह दिया गया है कि अवकलज Df का (0,0) पर पूर्ण कोटि 2 है, इसका तात्पर्य व्युत्क्रम फलन प्रमेय के कारण स्थानीय एकैकीता से है। इसलिए, (0,0) के एक पड़ोस में, f एकैकी है।
विकल्प 2: यह असत्य है। कोटि प्रतिबंध इंगित करता है कि \(f_1\) और \(f_2\) स्थानीय रूप से मानचित्र को निर्धारित करते हैं, लेकिन यह आवश्यक रूप से यह निहित नहीं करता है कि \(f_3 \), \(f_1\) और \(f_2\) का एक फलन है। इस प्रकार, ऐसी कोई गारंटी नहीं है।
विकल्प 3: यह असत्य है। कोटि प्रमेय द्वारा, f का प्रतिबिम्ब \(\mathbb{R}^3\) में एक 2-आयामी फलन है, न कि \(\mathbb{R}^3\) का एक खुला उपसमुच्चय।
मानचित्र f स्थानीय रूप से एकैकी है लेकिन प्रतिबिम्ब \(\mathbb{R}^3\) के एक खुले उपसमुच्चय को कवर नहीं कर सकता है।
विकल्प 4: यह कथन सत्य है। चूँकि (0,0) पर Df की पूर्ण कोटि है, इसलिए f, (0,0) के निकट एक स्थानीय विवर्तन की तरह व्यवहार करता है, जिसका अर्थ है कि (0,0), f(0,0) का एक वियुक्त पूर्व प्रतिबिम्ब है।
सही विकल्प विकल्प 1) और विकल्प 4) हैं।
Directional Derivative, Partial Derivative Question 7:
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए:
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सूची I |
सूची II |
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A. |
ϕ = y2, (1, 1, 1) पर ∇ϕ |
I. |
î |
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B. |
ϕ = x, (1, -1, 2) पर ∇ϕ |
II. |
-6k̂ |
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C. |
ϕ = 2x3, (0, 1, 2) पर ∇ϕ |
III. |
2ĵ |
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D. |
ϕ = 3z2, (1, 2, -1) पर ∇ϕ |
IV. |
\(\vec 0\) |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivative, Partial Derivative Question 7 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
हमें निम्न फलन दिया गया है:
⇒ \(\phi = y^2\)
⇒ \( \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)\)
⇒ चूँकि \(\phi = y^2 \),
हम आंशिक अवकलज की गणना करते हैं,}
⇒ x, y, z के सापेक्ष आंशिक अवकलज
⇒ \(\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0\) , \(\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2y\) , \( \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0\)
इस प्रकार, प्रवणता है:
⇒ \(\nabla \phi = (0, 2y, 0)\) = \(2y\hat{j}\)
⇒ \(\nabla \phi (1,1,1) = (0, 2(1), 0) = (0,2,0)\) = \(2\hat{j}\)
A-III
\( \phi = x \)
⇒ \(\nabla \phi = \hat{i} (1) + \hat{j} (0) + \hat{k} (0) = (1, 0, 0)\)
B-I
\(\phi = 2x^3\)
⇒ \(\nabla \phi (0, 1, 2) = (6(0)^2, 0, 0) = (0, 0, 0)\)
C-IV
इसी प्रकार,
D-II
अतः विकल्प 3 सही है।
Directional Derivative, Partial Derivative Question 8:
यदि \(\rm u=\sin^{-1}\left[\frac{x+y}{\sqrt x+\sqrt y}\right]\ and \ x^2u_{xx}+2xyu_{xy}+y^2u_{yy}=\frac{-\sin u\cos 2u}{m^2\cos^3u}\) है, तो m बराबर है
Answer (Detailed Solution Below)
Directional Derivative, Partial Derivative Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
घात
\(x ^ 2 u_{ xx} +2xyu _{ xy} +y ^ 2 u _{ yy} =n(n−1)u.\)
इस मामले में, sin
हम z = sin u रखते हैं
\(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{1}{2} tan u\)
\(x ^ 2 u_{ xx} +2xyu _{ xy} +y ^ 2 u _{ yy} =(\frac{1}{2}sec^2u-1).\frac{1}{2}tan u\)
\(x ^ 2 u_{ xx} +2xyu _{ xy} +y ^ 2 u _{ yy} =(\frac{1}{2}(1+tan^2u)-1).\frac{1}{2}tan u \)
\(x ^ 2 u_{ xx} +2xyu _{ xy} +y ^ 2 u _{ yy} =\frac{1}{4}\frac{(sin ^2u-cos^2u)}{cos^3u}=- \frac{1}{4}\frac{(cos2u).sinu}{cos^3u}\)
दिए गए से तुलना करने पर हमें m = 2 प्राप्त होता है
इसलिए विकल्प 1 सही है।