Improper Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Improper Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Improper Integrals MCQ Objective Questions
Improper Integrals Question 1:
अनुपयुक्त समाकलों \(\rm I=\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{\sin x}}dx\) और a ≥ 0 के लिए \(\rm I_a=\int_{a}^\infty\frac{1}{x\sqrt{1+x^3}}dx\) पर विचार करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अनंत पर अभिसरण:
मान लीजिए कि f(x) एक वास्तविक या सम्मिश्र मान फलन है। फलन f(x) अनंत पर एक सीमा L तक अभिसरित होता है यदि
\(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)
इसका अर्थ है कि जैसे x असीम रूप से बढ़ता है (अनंत की ओर अग्रसर है), फलन का मान L की ओर अग्रसर है।
व्याख्या:
1. \( I = \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \, dx \)
2. \(I_a = \int_a^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{1+x^3}} \, dx\) \(a \geq 0\) के लिए
हमें यह मूल्यांकन करने की आवश्यकता है कि ये समाकल किस स्थिति में अभिसरित होते हैं।
\( I = \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \, dx \) एक अनुचित समाकल है क्योंकि समाकलज \( \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \) को \(x = \pi/2 \) पर समस्या हो सकती है, जहाँ \(\sin(\pi/2) = 1 \).
\(\sin x\) अच्छी तरह से व्यवहार करता है और शून्य नहीं है, इसलिए समाकलज \( \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \) विचलन की कोई समस्या उत्पन्न नहीं करता है।
अंतराल \([\pi/2, \pi] \) पर, फलन \(\sin x \) शून्य से दूर परिबद्ध रहता है, और समाकलज \(\frac{1}{\sqrt{\sin x}}\) परिमित और समाकलनीय है।
इस प्रकार, समाकल I अभिसारी है।
विकल्प 1: I अभिसारी है → सत्य है।
विकल्प 2: I अभिसारी नहीं है → असत्य है।
\(I_a = \int_a^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{1 + x^3}} \, dx \) का विश्लेषण करें
हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि \(a \geq 0\) के किन मानों के लिए यह समाकल अभिसरित होता है।
चूँकि \(x \to \infty\) है, समाकलज \(\frac{1}{x^{5/2}}\) के रूप में व्यवहार करता है क्योंकि \(x^3\) वर्गमूल पद \(\sqrt{1 + x^3} \) में 1 पर हावी है। \(\frac{1}{x^{5/2}} \) का समाकल
\( [1, \infty) \) पर अभिसारी है क्योंकि घातांक 1 से अधिक है।
इसलिए, बड़े x के लिए, समाकल अभिसरित होता है।
x = 0 पर, समाकलज \(\frac{1}{x} (since \sqrt{1 + x^3} \approx 1 \) के रूप में व्यवहार करता है जब x छोटा होता है)। 0 के पास \(\frac{1}{x}\) का समाकल अपसारी होता है क्योंकि यह \(\ln x \) के रूप में व्यवहार करता है चूँकि \(x \to 0\) है।
इसलिए, \(I_a \), \(a > 0\) के लिए अभिसरित होता है, लेकिन \(a = 0\) के लिए अपसारित होता है।
विकल्प 3: समाकल \(I_a \) \(a = \frac{1}{2}\) के लिए अभिसरित होता है लेकिन \(a = 0\) के लिए नहीं → सत्य है।
विकल्प 4: समाकल \(I_a \) सभी \(a \geq 0\) के लिए अभिसरित होता है → असत्य (चूँकि यह \(a = 0\) के लिए अपसारित होता है)
इसलिए, सही विकल्प 1) और 3) हैं।
Improper Integrals Question 2:
यदि f(x) = \(\int_1^{\infty} \frac{\cos t}{x^2+t^2}\) dt हो तो निम्न में से कौन - से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 2 Detailed Solution
Improper Integrals Question 3:
एक वास्तविक संख्या λ के लिए, अनुचित समाकलों पर विचार करें
\(I_\lambda=\int_0^1 \frac{d x}{(1-x)^\lambda}\), \(K_\lambda=\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^\lambda}\)
निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
\(I_λ=\int_0^1 \frac{d x}{(1-x)^λ}\) = \(-\frac{(1-x)^{-λ+1}}{-λ+1}\Big|_0^1 \) = \(1\over1-λ\)
इसलिए, Iλ λ < 1 के लिए अभिसारी है।
\(K_\lambda=\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^\lambda}\) = \(\frac{x^{-λ+1}}{-λ+1}\Big|_1^{\infty} \) = \(\frac{1}{x^{λ-1}(-λ+1)}\Big|_1^{\infty} \)
इसलिए Kλ λ > 1 के लिए अभिसारी है।
(1): λ = 1/3 के लिए, Iλ अभिसारी है लेकिन Kλ अभिसारी नहीं है।
इसलिए, ऐसा λ है जिसके लिए Iλ अभिसारी है, लेकिन Kλ अभिसारी नहीं है।
(1) सही है
(2): λ = 2 के लिए, Kλ अभिसारी है, लेकिन Iλ अभिसारी नहीं है।
इसलिए, ऐसा λ है जिसके लिए Kλ अभिसारी है, लेकिन Iλ अभिसारी नहीं है।
(2) सही है
ऐसा कोई λ नहीं है जिसके लिए Iλ, Kλ दोनों अभिसारी हों।
(3) गलत है
λ = 1 के लिए, न तो Iλ, और न ही Kλ अभिसारी है।
(4) सही है।
Improper Integrals Question 4:
अनुचित रीमैन समाकल \(\int_{0}^{x} y^{-1 / 2} d y\) पर विचार कीजिए। यह समाकल है:
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 4 Detailed Solution
दिया गया है -
\(\int_{0}^{x} y^{-1 / 2} d y\)
स्पष्टीकरण -
\(\int_{0}^{x} y^{-1 / 2} d y = [2y^{1 / 2} ]_0^x =2x^{1 / 2}\)
स्पष्ट रूप से उपरोक्त फलन की सीमा अस्तित्व में है इसलिए यह [0, ∞) पर संतत है।
इसलिए विकल्प (1) सही है।
Improper Integrals Question 5:
माना एक अनुचित समाकल I = \(\int_1^2\frac{\sqrt x}{\log x}dx\) है, तब
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
सीमा तुलना परीक्षण: माना \(\int_a^bf(x)dx\), \(\int_a^bg(x)dx\), x = a पर अनंत असतत के उभयनिष्ट बिंदु है। यदि सीमा L = \(\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}\) परिमित रूप से अस्तित्व में है और L > 0 है, तब \(\int_a^bf(x)dx\) और \(\int_a^bg(x)dx\) एक साथ अभिसारी और अपसारी है।
स्पष्टीकरण:
I = \(\int_1^2\frac{\sqrt x}{\log x}dx\)
माना f(x) = \(\frac{\sqrt x}{\log x}\)
तब, 1 अनंत असतत का एक मात्र बिंदु है
माना g(x) = \(\frac1{x-1}\)
\(\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)}{g(x)}\) = \(\lim_{x\to1^+}\frac{\sqrt x(x-1)}{\log x}\)
= \(\lim_{x\to1^+}\frac{\frac32\sqrt x-\frac12x^{-1/2}}{\frac1 x}\) (L' हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर)
= 1 ≠ 0
इसलिए, \(\int_1^2\frac{\sqrt x}{\log x}dx\) और \(\int_1^2\frac{1}{x-1}dx\) एक साथ अभिसारी और अपसारी है
लेकिन, \(\int_1^2\frac{1}{x-1}dx\) अपसारी है, इसलिए \(\int_1^2\frac{\sqrt x}{\log x}dx\) अपसारी है
(2) सही है
Top Improper Integrals MCQ Objective Questions
Improper Integrals Question 6:
अनुचित रीमैन इंटीग्रल \(\int_0^xy^{-1/2}dy\) पर विचार करें। यह अभिन्न है
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 6 Detailed Solution
अवधारणा:
\(\int_a^bf(x)dx\) को अनुचित अभिन्न अंग कहा जाता है यदि f(a) या f(b) मौजूद नहीं है
स्पष्टीकरण:
\(\int_0^xy^{-1/2}dy\)
\(\left[\frac{y^{-\frac12+1}}{-\frac12+1}\right]_0^x\)
\(\left[\frac{y^{\frac12}}{\frac12}\right]_0^x\)
= \(2\left[√{y}\right]_0^x\) = 2√x, जो [0, ∞) में सतत है
(1) सही है
Improper Integrals Question 7:
यदि किसी निश्चित समाकल की कोई भी सीमा अपरिमित होती है या यदि समाकल्य समाकलन के परास के अंदर कहीं भी अपरिमित होता है, तो समाकल को ______________ कहा जाता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
अनुचित समाकल: अनुचित समाकल दो प्रकार के परिमित समाकलनों में से एक होता है, जहाँ या तो समाकलन का अंतराल अपरिबद्ध (एक या दोनों सीमाएँ अपरिमित होती हैं) होता है।
समाकल्य फलन में समाकलन का परास में एक या अधिक विशिष्टता होती हैं।
Improper Integrals Question 8:
p ∈ \(\mathbb{R}\) के लिए निम्न अनंत समाकल पर विचार कीजिए:
\(I_p=\int_0^1 t^p \sin t \,d t\)
निम्न कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है \(I_p=\int_0^1 t^p \sin t\, d t\)
यदि p < 0 है तो समाकल अनुचित है।
स्थिति I: यदि p ∈ (-1, 0) तब
\(I_p=\int_0^1 t^p \sin t\, d t\) ≤ \(\int_0^1 t^{p+1} dt \) (∵ sin t ≤ t सभी ∈ (-1, 0) के लिए)
Ip ≤ \(\frac{1}{p+2}\)
अतः Ip, p ∈ (-1, 0) के लिए अभिसारी है।
इसलिए lp p = -1/2 के लिए अभिसारी है।
विकल्प (1) सही है।
स्थिति II: यदि p ∈ (-2, -1) तब
\(I_p=\int_0^1 t^p \sin t\, d t\) (चूँकि sin t ≥ t/2, ∈ (-2, -1) के लिए)
Ip ≥ \(\frac12\int_0^1 t^{p +1}d t\)
अब चूँकि \(\frac12\int_0^1 t^{p +1}d t\), p ∈ (-2, -1) अपसारी है, तब Ip, p ∈ (-2, -1) के लिए अपसारी है।
इसलिए lp p = -3/2 के लिए अपसारी है और lp p = -4/3 के लिए अपसारी है।
विकल्प (2), (4) सही हैं।
यदि p = 4/3 तब \(I_p\) रीमान समाकलनीय है इसलिए अभिसारी है।
विकल्प (3) सही है।
सभी विकल्प सही हैं।
Improper Integrals Question 9:
अनुचित रीमैन समाकल \(\int_{0}^{x} y^{-1 / 2} d y\) पर विचार कीजिए। यह समाकल है:
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 9 Detailed Solution
दिया गया है -
\(\int_{0}^{x} y^{-1 / 2} d y\)
स्पष्टीकरण -
\(\int_{0}^{x} y^{-1 / 2} d y = [2y^{1 / 2} ]_0^x =2x^{1 / 2}\)
स्पष्ट रूप से उपरोक्त फलन की सीमा अस्तित्व में है इसलिए यह [0, ∞) पर संतत है।
इसलिए विकल्प (1) सही है।
Improper Integrals Question 10:
माना एक अनुचित समाकल I = \(\int_1^2\frac{\sqrt x}{\log x}dx\) है, तब
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
सीमा तुलना परीक्षण: माना \(\int_a^bf(x)dx\), \(\int_a^bg(x)dx\), x = a पर अनंत असतत के उभयनिष्ट बिंदु है। यदि सीमा L = \(\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}\) परिमित रूप से अस्तित्व में है और L > 0 है, तब \(\int_a^bf(x)dx\) और \(\int_a^bg(x)dx\) एक साथ अभिसारी और अपसारी है।
स्पष्टीकरण:
I = \(\int_1^2\frac{\sqrt x}{\log x}dx\)
माना f(x) = \(\frac{\sqrt x}{\log x}\)
तब, 1 अनंत असतत का एक मात्र बिंदु है
माना g(x) = \(\frac1{x-1}\)
\(\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)}{g(x)}\) = \(\lim_{x\to1^+}\frac{\sqrt x(x-1)}{\log x}\)
= \(\lim_{x\to1^+}\frac{\frac32\sqrt x-\frac12x^{-1/2}}{\frac1 x}\) (L' हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर)
= 1 ≠ 0
इसलिए, \(\int_1^2\frac{\sqrt x}{\log x}dx\) और \(\int_1^2\frac{1}{x-1}dx\) एक साथ अभिसारी और अपसारी है
लेकिन, \(\int_1^2\frac{1}{x-1}dx\) अपसारी है, इसलिए \(\int_1^2\frac{\sqrt x}{\log x}dx\) अपसारी है
(2) सही है
Improper Integrals Question 11:
प्रत्येक पूर्णतः अभिसारी अपरिमित समाकलन ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 11 Detailed Solution
अवधारणा-
प्रत्येक पूर्णतः अभिसारी अपरिमित समाकलन सदैव अभिसारी होता है लेकिन सामान्यतः विपरीत सत्य नहीं होता।
व्याख्या:
प्रत्येक पूर्णतः अभिसारी अपरिमित समाकलन अभिसारी होता है।
(4) सही है
Improper Integrals Question 12:
अनंत समाकल ∫ e-x dx का मान ज्ञात कीजिए, जब उच्च सीमा ∞ और निम्न सीमा 0 होती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 12 Detailed Solution
गणना:
जब उच्च सीमा ∞ और निम्न सीमा 0 होती है, तब अनंत समाकल ∫ e-x dx का मान
⇒ \( ∫_0^{\infty} e^{-x} dx =[-e^{-x} ]_0^{\infty}= -e^{-∞} + {e^0} = 0 + (1) = 1 \)
अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।
Improper Integrals Question 13:
अनुपयुक्त समाकलों \(\rm I=\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{\sin x}}dx\) और a ≥ 0 के लिए \(\rm I_a=\int_{a}^\infty\frac{1}{x\sqrt{1+x^3}}dx\) पर विचार करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अनंत पर अभिसरण:
मान लीजिए कि f(x) एक वास्तविक या सम्मिश्र मान फलन है। फलन f(x) अनंत पर एक सीमा L तक अभिसरित होता है यदि
\(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)
इसका अर्थ है कि जैसे x असीम रूप से बढ़ता है (अनंत की ओर अग्रसर है), फलन का मान L की ओर अग्रसर है।
व्याख्या:
1. \( I = \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \, dx \)
2. \(I_a = \int_a^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{1+x^3}} \, dx\) \(a \geq 0\) के लिए
हमें यह मूल्यांकन करने की आवश्यकता है कि ये समाकल किस स्थिति में अभिसरित होते हैं।
\( I = \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \, dx \) एक अनुचित समाकल है क्योंकि समाकलज \( \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \) को \(x = \pi/2 \) पर समस्या हो सकती है, जहाँ \(\sin(\pi/2) = 1 \).
\(\sin x\) अच्छी तरह से व्यवहार करता है और शून्य नहीं है, इसलिए समाकलज \( \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \) विचलन की कोई समस्या उत्पन्न नहीं करता है।
अंतराल \([\pi/2, \pi] \) पर, फलन \(\sin x \) शून्य से दूर परिबद्ध रहता है, और समाकलज \(\frac{1}{\sqrt{\sin x}}\) परिमित और समाकलनीय है।
इस प्रकार, समाकल I अभिसारी है।
विकल्प 1: I अभिसारी है → सत्य है।
विकल्प 2: I अभिसारी नहीं है → असत्य है।
\(I_a = \int_a^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{1 + x^3}} \, dx \) का विश्लेषण करें
हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि \(a \geq 0\) के किन मानों के लिए यह समाकल अभिसरित होता है।
चूँकि \(x \to \infty\) है, समाकलज \(\frac{1}{x^{5/2}}\) के रूप में व्यवहार करता है क्योंकि \(x^3\) वर्गमूल पद \(\sqrt{1 + x^3} \) में 1 पर हावी है। \(\frac{1}{x^{5/2}} \) का समाकल
\( [1, \infty) \) पर अभिसारी है क्योंकि घातांक 1 से अधिक है।
इसलिए, बड़े x के लिए, समाकल अभिसरित होता है।
x = 0 पर, समाकलज \(\frac{1}{x} (since \sqrt{1 + x^3} \approx 1 \) के रूप में व्यवहार करता है जब x छोटा होता है)। 0 के पास \(\frac{1}{x}\) का समाकल अपसारी होता है क्योंकि यह \(\ln x \) के रूप में व्यवहार करता है चूँकि \(x \to 0\) है।
इसलिए, \(I_a \), \(a > 0\) के लिए अभिसरित होता है, लेकिन \(a = 0\) के लिए अपसारित होता है।
विकल्प 3: समाकल \(I_a \) \(a = \frac{1}{2}\) के लिए अभिसरित होता है लेकिन \(a = 0\) के लिए नहीं → सत्य है।
विकल्प 4: समाकल \(I_a \) सभी \(a \geq 0\) के लिए अभिसरित होता है → असत्य (चूँकि यह \(a = 0\) के लिए अपसारित होता है)
इसलिए, सही विकल्प 1) और 3) हैं।
Improper Integrals Question 14:
यदि f(x) = \(\int_1^{\infty} \frac{\cos t}{x^2+t^2}\) dt हो तो निम्न में से कौन - से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 14 Detailed Solution
Improper Integrals Question 15:
एक वास्तविक संख्या λ के लिए, अनुचित समाकलों पर विचार करें
\(I_\lambda=\int_0^1 \frac{d x}{(1-x)^\lambda}\), \(K_\lambda=\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^\lambda}\)
निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Improper Integrals Question 15 Detailed Solution
व्याख्या:
\(I_λ=\int_0^1 \frac{d x}{(1-x)^λ}\) = \(-\frac{(1-x)^{-λ+1}}{-λ+1}\Big|_0^1 \) = \(1\over1-λ\)
इसलिए, Iλ λ < 1 के लिए अभिसारी है।
\(K_\lambda=\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^\lambda}\) = \(\frac{x^{-λ+1}}{-λ+1}\Big|_1^{\infty} \) = \(\frac{1}{x^{λ-1}(-λ+1)}\Big|_1^{\infty} \)
इसलिए Kλ λ > 1 के लिए अभिसारी है।
(1): λ = 1/3 के लिए, Iλ अभिसारी है लेकिन Kλ अभिसारी नहीं है।
इसलिए, ऐसा λ है जिसके लिए Iλ अभिसारी है, लेकिन Kλ अभिसारी नहीं है।
(1) सही है
(2): λ = 2 के लिए, Kλ अभिसारी है, लेकिन Iλ अभिसारी नहीं है।
इसलिए, ऐसा λ है जिसके लिए Kλ अभिसारी है, लेकिन Iλ अभिसारी नहीं है।
(2) सही है
ऐसा कोई λ नहीं है जिसके लिए Iλ, Kλ दोनों अभिसारी हों।
(3) गलत है
λ = 1 के लिए, न तो Iλ, और न ही Kλ अभिसारी है।
(4) सही है।