Continuity & Differentiability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuity & Differentiability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

महत्तम पूर्णांक फलन:

• महत्तम पूर्णांक फलन, जिसे [x] द्वारा दर्शाया जाता है, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक देता है।
• इस फलन को फर्श फलन भी कहा जाता है। गणितीय रूप से, [x] को x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।
• महत्तम पूर्णांक फलन पूर्णांक बिंदुओं को छोड़कर हर जगह सतत होता है, जहाँ यह अवकलनीय नहीं होता है।
• अवकलनीयता के लिए, फलन में असंतता के बिंदुओं पर कोई "तीखा कोना" नहीं होना चाहिए।

गणना:

आइए सही विवरणों से मिलान करने के लिए विकल्पों में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करें।

• (A) |x − 1| + |x − 2|: यह निरपेक्ष मान फलनों का एक संयोजन है। ये निरंतर और हर जगह अवकलनीय होते हैं, सिवाय उन बिंदुओं के जहाँ निरपेक्ष मान बदलते हैं, जो x = 1 और x = 2 हैं। इसलिए, यह फलन x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है।
• (B) x − |x|: इस फलन में निरपेक्ष मान फलन शामिल है। महत्तम पूर्णांक फलन में पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है, और इस फलन में निरपेक्ष मान शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि यह हर जगह संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह हर जगह संतत है।
• (C) x − [x]: इस फलन में महत्तम पूर्णांक फलन (फर्श फलन) शामिल है, जो सतत है लेकिन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है।
• (D) |x|: यह फलन x = 0 सहित सभी बिंदुओं पर संतत और अवकलनीय है। इसलिए, यह x = 1 पर अवकलनीय है।

सूची-I का सूची-II से मिलान:

• A) |x − 1| + |x − 2|: यह x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है, जो सूची-II में (I) से सुमेलित है।
• B) x − |x|: यह फलन सभी स्थानों पर संतत है, जो सूची-II में (II) से सुमेलित है।
• C) x − [x]: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है, जो सूची-II में (III) से सुमेलित है।
• D) |x|: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय है, जो सूची-II में (IV) से सुमेलित है।

∴ सही मिलान: A → I, B → II, C → III, D → IV है। 

स्पष्टीकरण:

दिया गया है कि \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x-π) e^{\sin x} & \text { if } 0 \leq x \leq \frac{π}{2}, \\ x e^{\sin x}+\frac{4}{π} & \text { if } \frac{π}{2}

\(∫_{0}^{π} f(x) d x\) =  \(∫_{0}^{π/2 } (x - π ) ⋅ e^{\sin x} + ∫_{π /2}^{π} x e^{\sin x}+\frac{4}{π} \)

= \( ∫_{0}^{π/2 }[(\frac{π}{2} -x) - x ] e^{\sin(\frac{π }{2}- x)} dx + ∫_{0}^{\frac{π}{2}} ( x+ \frac{π}{2} ⋅ e^ {\sin (x + \frac{x}{2})} + \frac{4}{π} ∫_{π/2}^{π} dx \)  

= \( ∫_{0}^{π/2 }[(-\frac{π}{2} -x) ] e^{(\cos x)} dx + ∫_{0}^{\frac{π}{2}} ( x+ \frac{π}{2}) ⋅ e^ {\cos x } dx + \frac{4}{π} \frac{π }{2} \)

= \( - ∫_{0}^{π/2 }[(\frac{π}{2} + x) ] e^{\cos x} dx + ∫_{0}^{\frac{π}{2}} ( x+ \frac{π}{2}) ⋅ e^ {\cos x } dx + 2 \)

= 2

अब,  \(\frac{4050}{4} \int_{0}^{\pi} f(x) d x = \frac{4050}{4} \times 2 = 2025\) 

अतः 2025 सही उत्तर है।​

स्पष्टीकरण:

मान लीजिए, \(g(x)= x^3 -5 \)

स्पष्टतः g(x) (1, 2) पर एक वर्धमान संतत फलन इस प्रकार है कि

g(1) = -4  और g(2) = 3

इसका अर्थ है कि g(x), -4 और 3 के बीच के सभी मानों को संतुष्ट करता है।

-4 और 3 के बीच 7 पूर्णांक बिंदु हैं।

इसलिए, 7 उत्तर है।

संप्रत्यय:

एक फलन y = f(x), (a, b) में एकसमानतः संतत होता है यदि यह (a, b) में संतत है और \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) और \(\lim_{x\to b^-}f(x)\) का अस्तित्व है।

व्याख्या:

दिया गया अंतराल (0, 1) है

e^x संतत है और \(\lim_{x\to 0^+}e^x\) = 0 और \(​​\)\(\lim_{x\to 1^-}e^x\) = e^-1

इसलिए, e^x एकसमानतः संतत है।

(1) सत्य है।

cos x संतत है और \(\lim_{x\to 0^+}\cos x\) = 1 और \(​​\)\(\lim_{x\to 1^-}\cos x\) = cos 1

इसलिए, cos x एकसमानतः संतत है।

(2) सत्य है।

sin x संतत है और \(\lim_{x\to 0^+}\sin x\) = 0 और \(​​\)\(\lim_{x\to 1^-}\sin x\) = sin 1

इसलिए, sin x एकसमानतः संतत है।

(3) सत्य है।

\(\lim_{x\to 0^+}\frac 1x\) = ∞

(4) असत्य है।

संप्रत्यय:

यदि कोई फलन एक सघन समुच्चय \( S \) पर संतत है, तो यह आवश्यक रूप से यह नहीं दर्शाता है कि फलन सम्पूर्ण \(\mathbb{R}\) पर संतत है, विशेष रूप से \( R \setminus S \) पर, जो \(\mathbb{R} \) में \( S\) का पूरक है।

व्याख्या:

विकल्प 1: एक सघन उपसमुच्चय \(S\) पर सांतत्य सम्पूर्ण समुच्चय \(R\) पर सांतत्य का अर्थ नहीं निकालती है।

एक फलन एक सघन उपसमुच्चय पर संतत हो सकता है लेकिन \(R \setminus S \) पर असांतत्य प्रदर्शित कर सकता है।

इसलिए, यह विकल्प गलत है।

विकल्प 2: \(g\) केवल \(S\) पर परिभाषित है, इसलिए भले ही \(g\) \(S\) पर संतत है, यह \( f \) की शेष \(​​R\) पर सांतत्य के बारे में कुछ नहीं बताता है। \(g\) का सांतत्य ​\( f \) के सर्वत्र सांतत्य की गारंटी नहीं देता है।

इसलिए, यह विकल्प गलत है।

विकल्प 3: यदि \(g(x) = f(x) = 0\) सभी \(x \in S \) के लिए (जो \(R\) में सघन है), और \( f \) \( R \setminus S \) पर संतत है,

\(S\) के घनत्व से, \( f \) \(R\) पर सर्वत्र 0 होना चाहिए, क्योंकि एक सघन समुच्चय पर एक संतत फलन जो 0 है, सम्पूर्ण समुच्चय पर 0 होना चाहिए। इसलिए, यह विकल्प सही है।

विकल्प 4: \(g\) का \(S \) पर सर्वसमक रूप से 0 होना और \( f \) का \( S \) पर संतत होना यह नहीं दर्शाता है कि \( f \) \( R \setminus S \) पर सर्वसमक रूप से 0 है। \(S\) पर संतता आगे की शर्तों के बिना सम्पूर्ण समुच्चय तक नहीं बढ़ती है।

इसलिए, यह विकल्प गलत है।

सही उत्तर विकल्प 3) है।

अवधारणा:

एक फलन y = f(x) एक खुले अंतराल (a, b) पर एकसमान रूप से सतत होता है यदि f(x), (a, b) पर सतत होता है और सीमा अंत बिंदुओं a, b पर मौजूद होती है।

व्याख्या:

(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) मौजूद नहीं है इसलिए f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) पर एकसमान रूप से सतत नहीं है

विकल्प (1) गलत है।

(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) मौजूद नहीं है इसलिए f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) पर एकसमान रूप से सतत नहीं है।

विकल्प (3) गलत है।

(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) मौजूद नहीं है क्योंकि \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) मौजूद नहीं है इसलिए f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) पर एकसमान रूप से सतत नहीं है

विकल्प (4) गलत है।

(2): f(x) = e−1/x2

(यहाँ f(x) (0, 1) में सतत है और सीमा x = 0 और x = 1 पर मौजूद है

इसलिए f(x) = e−1/x2 (0, 1) पर एकसमान रूप से सतत है

विकल्प (2) सही है।

व्याख्या:

स्मरण: x2 ℝ पर एकसमानत: संतत फलन नहीं है, लेकिन sin x ℝ पर एकसमानत: संतत है।

(1) h(x) = g(f(x)) = sin(x2)

स्मरण: f ∶ ℝ → ℝ के लिए, यदि कोई अनुक्रम {an} & {bn} इस प्रकार है कि |an − bn| → 0 लेकिन |f(an) − f(bn)| → 0 नहीं, तो f एकसमानत: संतत नहीं है।

an = \(\rm\sqrt{2 n \pi + \frac{\pi}{2}}\) और bn = \(\rm\sqrt{2 n \pi − \frac{\pi}{2}}\) लीजिये

तब \(\rm\displaystyle\lim_{n → ∞}\) an − bn = \(\rm\displaystyle\lim_{n → ∞}\) \(\rm\sqrt{2 n \pi + \frac{\pi}{2}} − \sqrt{2 n \pi − \frac{\pi}{2}}\) = 0

लेकिन sin(2nπ + \(\frac{\pi}{2}\)) − sin(2nπ − \(\frac{\pi}{2}\)) = 2 → जब n → ∞

∴ h(x) एकसमानत: संतत नहीं है।

विकल्प (1) गलत है।

(2) h(x) = g(x) f(x) = sin x ⋅ x2

स्मरण: यदि किसी समुच्चय x पर |f'(x)| ≤ K, तो f एकसमानत: संतत है।

मान लीजिए  h(x) एकसमानत: संतत है।

तब, ε = 1 > 0 के लिए, कोई δ > 0 इस प्रकार है कि |h(x) − h(y)| < 1, जब |x − y| < δ

x ∈ ℝ और y = x + δ/2 लीजिये, तब |x − y| = |x − x − δ/2| < δ और |f(x) − f(y)| = |x2 sin x − (x + δ/2)2 sin(x + δ/2)|

≤ |x2 − (x + \(\frac{\delta}{2}\))2| = |x2 − x2 − \(\frac{\delta^2}{2}\) − δx| < 1

⇒ \(\rm\left| − \delta x − \frac{\delta^2}{4}\right|\) < 1 ⇒ δx + \(\frac{\delta^2}{4}\) < 1.

⇒ x < \(\frac{1 − \frac{\delta^2}{4}}{\delta}\) लेकिन हमने x ∈ ℝ लिया है।

जो एक अंतर्विरोध है।

∴ h(x) एकसमानत: संतत नहीं है। विकल्प (2) गलत है।

(3) h(x) = (sin x)2

स्मरण: यदि |f'(x)| ≤ K, तो f एकसमानत: संतत है।

यहाँ, h'(x) = 2 sin x cos x = sin 2x

तब |sin 2x| < 1 ⇒ h(x) एकसमानत: संतत है।

विकल्प (3) सही है

(4) h(x) = x2 + sin x

स्मरण: यदि f + g एकसमानत: संतत है, तो f(x) ± g(x) भी एकसमानत: संतत है।

अब, मान लीजिए h(x) ℝ पर एकसमानत: संतत है।

f1(x) = sin x लीजिए और sin x ℝ पर एकसमानत: संतत है।

तब h(x) ± f1(x) ℝ पर एकसमानत: संतत है।

⇒ x2 + sin x − sin x = x2 ℝ पर एकसमानत: संतत है।

जो एक अंतर्विरोध है क्योंकि x2 ℝ पर एकसमानत: संतत नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा:

L हॉस्पिटल का नियम: यदि  \(\lim_{x\to c}f(x)\) = \(\lim_{x\to c}g(x)\) = 0 या ± ∞  तथा I में सभी x के लिए g'(x) ≠ 0 तथा x ≠ c और \(\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) अस्तित्व में है, तब \(\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) = ​\(\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) होता है। 

स्पष्टीकरण:

\(\lim_{x\to0}\frac{x(1-\cos x)-ax\sin x}{x^4}\) (0/0 रूप में है, इसलिए, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर)

= \(\lim_{x\to0}\frac{x sin x + 1 - cosx - ax cos x - asinx }{4x^3}\) 

= \(\lim_{x\to0}\frac{1 + (x-a) sin x - (ax + 1) cos x}{4x^3}\)

L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर

= \(\lim_{x\to0}\frac{(x-a) cos x + sin x + (ax + 1) sin x - acos x}{12x^2}\)

= \(\lim_{x\to0}\frac{(x-2a) cos x + (ax + 2) sin x }{12x^2}\)

यह 0/0 रूप में होगा, यदि -

x - 2a = 0

⇒ a = 0

विकल्प (1) सही है। 

स्पष्टीकरण:

यहाँ, यह दिया गया है कि, 

(i) f(x + y) = f(x).f(y) और 

(ii) f(x) = 1 + x g(x), जहाँ \(\lim _{x \rightarrow 0} g(x) = 1\) है,

अब, दिए गए प्रतिबंध y के लिए लिखने पर, हमें प्राप्त होता है,

f(x + h) = f(x).f(h)

तब, f(x + h) - f(x) = f(x)f(h) - f(x)

या  \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{f(x)[f(h) - 1]}{h}\)

\( \frac{f(x)h. g(h)}{h}=f(x). g(h)\)

अतः, \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} f(x) \cdot g(h)=f(x) \cdot 1\)

चूँकि, प्रमेय \(\lim_{h \rightarrow 0} g(h) = 1\) के द्वारा,

यह अनुसरण करता है कि,  f'(x) = f(x)

चूँकि, f(x) विद्यमान है, f'(x) भी विद्यमान है। 

और f'(x) = f(x) 

⇒ \(\frac{d}{dx} f(x) = f(x)\)

स्पष्टीकरण -

माना a_n = n sin(2 π en!) हमें प्राप्त है 

\(e = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \)

⇒ \(2 \pi e n! = 2\pi r + 2\pi n!( \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} )\)

जहाँ r धनात्मक पूर्णांक है। इसलिए, हमें प्राप्त है 

\(lim_{ n \to \infty } n sin( 2\pi r + 2\pi n!( \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} ))\)

= \(lim_{ n \to \infty } n \ sin( 2\pi n!( \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} ))\)

आगे, इसका अवलोकन करने पर 

\(\frac{1}{n+1} < ​​n! ( \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}) = \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}+..... < \frac{1}{n}+ \frac{1}{n^2} + ... = \frac{1}{n-1}\)

स्क्वीज़ सिद्धांत से, हमें प्राप्त है

\(lim_{n \to \infty }​​n! ( \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}) = lim_{n \to \infty } b_n = 0\) और \(lim_{n \to \infty }n b_n = 1\)

इसलिए, परिणाम \(lim_{x \to 0 } \frac{sinx}{x} = 1\) का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है 

\(lim_{n \to \infty } a_n = ​​lim_{n \to \infty } n sin(2 \pi b_n) = ​​lim_{n \to \infty }2 \pi b_n n \frac{sin(2 \pi b_n)}{2 \pi b_n} = 2\pi\)

अत:, विकल्प (3) सही है।

अवधारणा -

(i) अवकलनीयता -

माना f(x) किसी अंतराल [a,b] पर परिभाषित एक वास्तविक-मान फलन है, अर्थात f : [a,b] → \(\mathbb{R}\), माना a < c < b है

यदि c पर f(x) का बायाँ पक्ष अवकलज c पर f(x) के दाएँ पक्ष अवकलज के बराबर है, तब c पर f(x) अवकलनीय है। जहाँ, LHD = \(lim_{x → c^-} \frac{f(x) -f(c)}{x-c} \) और RHD = \(lim_{x → c^+} \frac{f(x) -f(c)}{x-c} \) है।

(ii) \(sin(x) = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}+....\)

(iii) \( lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} = lim_{x → 0} \frac{x^2-\frac{x^6}{3!}+...}{x}=0\)  

स्पष्टीकरण -

विकल्प (1) के लिए -

हमें प्राप्त है: f(x) = sin( |x|x )

अब अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर - 

\(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} =\begin{cases} lim_{x → 0} \frac{-sin x^2}{x} & x< 0 \\ lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} &x>0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}\)

⇒ \(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = 0\) as \( lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} = lim_{x → 0} \frac{x^2-\frac{x^6}{3!}+...}{x}=0\)

अतः, फलन x = 0 पर अवकलनीय है।
इसलिए, विकल्प (1) सत्य है। 

विकल्प (2) के लिए -

हमें प्राप्त है: \(f(x) =\begin{cases} sin(x^2) & if \ \ x\in \mathbb{Q} \\ 0 & otherwise\\ \end{cases}\)

अब अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर -

\(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} =\begin{cases} lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & otherwise \end{cases}\)

⇒ \(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = 0\) as \( lim_{x → 0} \frac{sin x^2}{x} = lim_{x → 0} \frac{x^2-\frac{x^6}{3!}+...}{x}=0\)

अतः, फलन x = 0 पर अवकलनीय है। इसलिए, विकल्प (2) सत्य है।

विकल्प (3) के लिए -

हमें प्राप्त है:  \(f(x) =\begin{cases} sin(|x|) & if \ \ x\in \mathbb{Q} \\ 0 & otherwise\\ \end{cases}\)

अब अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर - 

\(lim_{x → 0} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} =\begin{cases} lim_{x → 0} \frac{-sin x}{x} & x \in \mathbb{Q}, x< 0 \\ lim_{x → 0} \frac{sin x}{x} & x \in \mathbb{Q},x>0 \\ 0 & otherwise \end{cases}\)

⇒ \(lim_{x → 0^-} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = -1 \) और  \(lim_{x → 0^+} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = 1 \) क्योंकि  \( lim_{x → 0} \frac{sin x}{x} = lim_{x → 0} \frac{x-\frac{x^3}{3!}+...}{x}=1\)

अतः, फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, विकल्प (3) सत्य है।

विकल्प (4) के लिए -

हमें प्राप्त है:  f(x) = [x] sin2(πx) = \(\begin{cases} -sin^2 \pi x & 1 \le x < 0 \\ 0 & 0\leq x\leq 1 \\ \end{cases}\)

अब अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर - 

⇒ \(LHD =lim_{x → 0^-} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = lim_{x → 0^-} \frac{-sin^2 \pi x}{x} = 0\) और  \(RHD =lim_{x → 0^+} \frac{f(x) -f(0)}{x-0} = lim_{x → 0^-} \frac{0}{x} = 0\) 

अतः, फलन x = 0 पर अवकलनीय है। इसलिए, विकल्प (4) सत्य है। 

इसलिए, विकल्प (3) सही विकल्प है।

स्पष्टीकरण:

f(x) = \(\begin{cases}7 x^2+5 x+3 & ; x<0 \\ 7 x^2+5 x & ; x \geq 0\end{cases}\)

f'(x) = 14x + 5, ∀ x ∈ ℝ / {0}

इसलिए, f''(x) = 14, ∀ x ∈ ℝ / {0}

अतः f'''(x) = 0, ∀ x ∈ ℝ / {0}

अतः (2) सही उत्तर है। 

स्पष्टीकरण:

f(x) = x|x| 

अवकलनीयता की परिभाषा का प्रयोग करने पर,

f'(0) = \(\lim_{x\to0}\frac{f(x) -f(0)}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{x|x| -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}|x|\) = 0

f अवकलनीय है। 

g(x) = x | cos x |

|cos x| = \(\begin{cases}cos x, x< 0\\ cos x, x\geq 0\end{cases}\)

इसलिए, x | cos x | = \(\begin{cases}xcos x, x< 0\\ xcos x, x\geq 0\end{cases}\)

इसलिए,

LHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x) = 1\) 

RHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x)\) = 1

चूँकि, x = 0 पर LHD = RHD है, इसलिए, g(x) x = 0 पर अवकलनीय है। 

(3) सही है। 

व्याख्या:

विकल्प (1): मान लीजिए k = 2, f(x) = x² और g(x) = - 1

चूँकि x2  ≠ -1 ∀ x ∈ \(\mathbb{R}\)

इसलिए, कोई x0 ∈ \(\mathbb{R}\) इस प्रकार नहीं है कि f(x0) = g(x0) हमेशा सत्य हो।

विकल्प (1) गलत है।

विकल्प (2): मान लीजिए k = 1 है, इसलिए f(x) = x और g(x) = 1

चूँकि,  x = 1 के लिए, f(x) = g(x) 

इसलिए, x0 = 1 इस प्रकार है कि f(x0) = g(x0) है। 

विकल्प (2) गलत है।

इसलिए, विकल्प (4) सही है।