Algebra MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Algebra - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു സംഖ്യയുടെയും അതിന്റെ വ്യുൽക്രമത്തിന്റെയും  ആകെത്തുക = 2

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം :

സംഖ്യ x ആകട്ടെ, അപ്പോൾ  x + 1/x = 2 ആകട്ടെ.

ഭിന്നസംഖ്യയെ മാറ്റാൻ ഇരുവശങ്ങളും x കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

⇒ x ² + 1 = 2x

⇒ x ² - 2x + 1 = 0

⇒ (x - 1) ² = 0

⇒ x - 1 = 0

⇒ x = 1

ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 1 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

തുടർച്ചയായ രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 31 ആണ്.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

തുടർച്ചയായ രണ്ട് സംഖ്യകൾ n ഉം n + 1 ഉം ആയിരിക്കട്ടെ.

അവയുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം:

⇒ (n+1) ² - n ² = n ² + 2n + 1 - n ² = 2n + 1

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: n + (n + 1) = 31

⇒ 2n + 1 = 31

അവയുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം:

2n + 1 = 31

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 2 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\(x = 3 + \sqrt{6}\) ഉം \(y = 3 - \sqrt{6}\) ഉം ആണെങ്കിൽ, x 2 + y 2 ന്റെ മൂല്യം ഇതായിരിക്കും:

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

\((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

x + y = (3 + √6) + (3 - √6)

x + y = 6

xy = \((3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})\)

xy = \(3^2 - (\sqrt{6})^2\)

xy = 9 - 6

xy = 3

\((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)

\(6^2 = x^2 + y^2 + 2 \times 3\)

\(36 = x^2 + y^2 + 6\)

⇒ \(x^2 + y^2 = 30\)

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ (2) ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x = 2 + √9 ഉം y = 2 - √9 ഉം ആണെങ്കിൽ

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

x ² + y ² = (x + y) ² - 2xy

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

x = 2 + √9 = 2 + 3 = 5

y = 2 - √9 = 2 - 3 = -1

x + y = 5 - 1 = 4

xy = 5 × -1 = -5

x ² + y ² = (4) ² - 2(-5)

⇒ x ² + y ² = 16 + 10

⇒ x ² + y ² = 26

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 1 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x - 1/x = 3

ഉപയോഗിക്കുന്ന ആശയം:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3 x x x 1/x x (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)³ + 3 x (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ ന്റെ മൂല്യം 36 ആണ്.

Alternate  x - 1/x = a ആണെങ്കിൽ, x³ - 1/x³ = a³ + 3a

ഇവിടെ a = 3

x - 1/x³ = 3³ + 3 x 3

= 27 + 9

= 36

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x = √10 + 3

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{{√ 10{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3}}{{\left( {√ 10 + {\rm{\;}}3} \right)\left( {√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3} \right)}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3 }}{{{{\left( {√ 10 } \right)}^2} - {{\left( {3} \right)}^2}}} \end{array}\)

⇒ 1/x = √10 - 3

\( \Rightarrow x - \;\frac{1}{x} = \;\sqrt 10 + 3\; -\sqrt10 + 3 = 6\)     ----(1)

(1) ന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും വർഗ്ഗമാക്കുമ്പോൾ, 

\( \Rightarrow (x - \;\frac{1}{x})^2 = \;(6\;)^2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2 + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 38\)    -----(2)

\(∴ \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}}\;} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = 6 \times (38 + 1)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ ആവശ്യമായ മൂല്യം 234 ആണ്.

 Shortcut Trickനൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x = √10 + 3

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം: 

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ ആവശ്യമായ മൂല്യം 234 ആണ്.

തന്നിരിക്കുന്നത്:

p – 1/p = √7

സൂത്രവാക്യം:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3(p – 1/p)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3 (p – 1/p)

⇒ p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 7√7 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 10√7

എളുപ്പ വഴി 

x - 1/x = a ആണെങ്കിൽ  x3 - 1/x3 = a3 + 3a

ഇവിടെ, a = √5

അതിനാൽ,

p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7.

a + b + c = 0 ആണെങ്കിൽ, (a³ + b³ + c³) = 3abc,

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന്  (ax2 + bx + c=0) തുല്യ മൂലങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ഡിസ്ക്രിമിനന്റ് പൂജ്യമായിരിക്കണം അതായത്, b2 – 4ac = 0

കണക്കുകൂട്ടൽ:

⇒ D = B² – 4AC = 0

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

തന്നിരിക്കുന്നത് 

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5.

ആശയം 

പൂജ്യമല്ലാത്ത ഗുണകങ്ങളുള്ള പദങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന കൃതിയാണ് ബഹുപദത്തിൻ്റെ കൃതി.

പരിഹാരം 

2x5ൽ ബഹുപദത്തിൻ്റെ കൃതി=5 

 2x3y3 ൽ ബഹുപദത്തിൻ്റെ കൃതി = 3 + 3 = 6

4y4ൽ ബഹുപദത്തിൻ്റെ കൃതി = 4

5ൽ ബഹുപദത്തിൻ്റെ കൃതി= 0

അതിനാൽ, ഉയർന്ന കൃതി 6 ആണ്.

∴ ബഹുപദത്തിൻ്റെ കൃതി(ഡിഗ്രി) = 6

x5 കാരണം, 5 ആണ് ശരിയായ ഉത്തരമെന്ന് കരുത്തിയേക്കാം. പക്ഷെ, 2x3y3ക്ക് 6 എന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന കൃതി ഉള്ളത് കാരണം, 6 ആണ് ശരിയായ ഉത്തരം.  

പൂജ്യമല്ലാത്ത ഗുണകങ്ങളുള്ള, വ്യക്തിഗത പദങ്ങളുടെ കൃതികളിൽ, ഏറ്റവും ഉയർന്നതാണ് ബഹുപദത്തിന്റെ കൃതി. ഇവിടെ, ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യത്തിനായി, x y യ്ക്ക് തുല്യമാകുമ്പോൾ, സമവാക്യം ഇതായിരിക്കും:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

∴ ബഹുപദത്തിന്റെ കൃതി 6 ആയിരിക്കും.

എന്റെ ഇപ്പോഴത്തെ പ്രായം = x വയസ്സും എന്റെ കസിന്റെ  പ്രായം = y വയസ്സും ആകട്ടെ.

എന്റെ ഇപ്പോഴത്തെ പ്രായത്തിന്റെ അഞ്ചിൽ മൂന്ന് ഭാഗം, എന്റെ കസിൻസിൽ ഒരാളുടെ പ്രായത്തിന്റെ ആറിൽ അഞ്ച് ഭാഗത്തിന്  തുല്യമാണ്',

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

പത്തു വർഷം മുമ്പുള്ള എന്റെ പ്രായം നാല് വർഷത്തിന് ശേഷമുള്ള അവന്റെ പ്രായമായിരിക്കും

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x2 – x – 1 = 0

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

സമവാക്യം ax² + bx + c = 0 ആകട്ടെ.

മൂലങ്ങളുടെ തുക = -b/a

മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = c/a

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x2 – x – 1 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ α, β, എന്നിവയാണെങ്കിൽ, 

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

ഇനി മൂലങ്ങൾ (α/β), (β/α) എന്നിവയാണെങ്കിൽ,

⇒ മൂലങ്ങളുടെ തുക = (α/β) + (β/α)

⇒ മൂലങ്ങളുടെ തുക = (α² + β²)/αβ

⇒ മൂലങ്ങളുടെ തുക = [(α + β)² – 2αβ]/αβ

⇒ മൂലങ്ങളുടെ തുക = (1)² – 2(-1)]/(-1) = -3

⇒ മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = (α/β) × (β/α) = 1

സമവാക്യം,

⇒ x² – (മൂലങ്ങളുടെ തുക)x + മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0

തന്നിരിക്കുന്നത്:

ഒന്നാമത്തേതിന്റെ നാല് മടങ്ങ് രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂന്നു മടങ്ങിലേക്ക് 10 കൂട്ടിയതിന് തുല്യമാണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

‘a’യും ‘a + 1'ഉം ആണ് ആ സംഖ്യകൾ എന്ന് സങ്കല്പിക്കുക.

ചോദ്യത്തിൽ തന്നതനുസരിച്ച്:

4a = 3 × (a + 1) + 10

⇒ a = 13

അതിനാൽ,13ഉം 14ഉം ആണ് ആ സംഖ്യകൾ.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

രണ്ട് മൂലങ്ങൾ 2 + √5, 2 - √5 എന്നിവയാണ്.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ദ്വിമാന സമവാക്യം ഇതാണ്:

x2 - (മൂലങ്ങളുടെ ആകെത്തുക)x + മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = 0

കണക്കുകൂട്ടൽ:

രണ്ട് മൂലങ്ങൾ A,B ആണെന്നിരിക്കട്ടെ.

A = 2 + √5, B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

അപ്പോൾ സമവാക്യം ഇതാണ്

∴ x2 - 4x - 1 = 0

ഒരു ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന്, ax2 + bx + c = 0,

മൂലങ്ങളുടെ ആകെത്തുക = (-b/a) = 4/1

മൂലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം = c/a = -1/1

അപ്പോൾ, b = -4

അതിനാൽ, x ന്റെ ഗുണകത്തിന്റെ ചിഹ്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്.