బీజగణితం MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Algebra - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

\(\dfrac{(683× 683× 683+317× 317× 317)}{(683× 683-683× 317+317× 317)}\) విలువ ఎంత?

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\(\dfrac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = a + b\)

గణన:

\(\dfrac{683^3 + 317^3}{683^2 - 683×317 + 317^2}\)

⇒ \(\dfrac{683^3 + 317^3}{683^2 - 683×317 + 317^2} = 683 + 317\)

⇒ 1000

∴ సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

ఇచ్చినవి:

3x + 7y = 78 ...(1)

x + 3y = 32 ...(2)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

యామాత్ర సమీకరణాలను సాధించడం.

గణన:

సమీకరణం (2) ని 3తో గుణించండి:

3(x + 3y) = 3(32)

3x + 9y = 96 ...(3)

సమీకరణం (3) నుండి సమీకరణం (1) ని తీసివేయండి:

(3x + 9y) - (3x + 7y) = 96 - 78

2y = 18

y = 18 / 2

y = 9

సమీకరణం (2) లో y = 9 ని ప్రతిక్షేపించండి:

x + 3(9) = 32

x + 27 = 32

x = 32 - 27

x = 5

ఇప్పుడు, 2x + y కనుగొనండి:

2x + y = 2(5) + 9

2x + y = 10 + 9

2x + y = 19

∴ 2x + y = 19.

ఇచ్చిన సమీకరణం \( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx \) ను మనం ఈ విధంగా మార్చవచ్చు:

\[ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 \]

దీని నుండి \( x = y = z \) అని తెలుస్తుంది. \( x = y = z = k \) అనుకుందాం, ఇక్కడ \( k \neq 0 \). ఈ విలువలను ప్రతిక్షేపించగా:

\[ \frac{15x + 4y + 5z}{8x} = \frac{15k + 4k + 5k}{8k} = \frac{24k}{8k} = 3 \]

కాబట్టి, విలువ:

\[ \boxed{3} \]

ఇచ్చినవి:

\[ x = \sqrt{5 + \sqrt{21}}, \quad y = \sqrt{5 - \sqrt{21}} \]

మనం \( x + y \) మరియు \( xy \) లను లెక్కించాలి:

\[ x + y = \sqrt{5 + \sqrt{21}} + \sqrt{5 - \sqrt{21}} \]

\[ (x + y)^2 = (5 + \sqrt{21}) + (5 - \sqrt{21}) + 2\sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})} \]

\[ (x + y)^2 = 10 + 2\sqrt{4} = 14 \]

\[ x + y = \sqrt{14} \]

\[ xy = \sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})} = \sqrt{25 - 21} = 2 \]

కాబట్టి:

\[ x + y + xy = \sqrt{14} + 2 \]

చివరి సమాధానం:

\[ \boxed{2 + \sqrt{14}} \]

ఇచ్చినది:

x - 1/x = 3

ఉపయోగించిన భావన:

a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)

గణన:

గుర్తింపును వర్తింపజేయడం:

⇒ x3 - (1/x)3 = (x - 1/x)3 + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x3 - (1/x)3 = (3)3 + 3(1)(3)

⇒ x3 - (1/x)3 = 27 + 9

⇒ x3 - (1/x)3 = 36

∴ x³ - (1/x)³ యొక్క విలువ 36.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

x = √10 + 3

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

సాధన:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴అవసరమైన విలువ 234

ఇచ్చినది:

p – 1/p = √7

ఫార్ములా:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

లెక్కింపు:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

చిన్న ఉపాయం

x - 1/x = a, అప్పుడు x³ - 1/x³ = a³ + 3a

ఇక్కడ, a = √5

ఇక్కడ,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7.

ఇవ్వబడినది:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 మరియు abc = 15

ఉపయోగించవలసిన కాన్సెప్ట్:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

గణన:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 లేదా x = 1

ఇచ్చినవి:

3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2

⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

ఒక వర్గ సమీకరణం (ax 2 + bx + c=0) సమాన మూలాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు వివక్షత సున్నాగా ఉండాలి అంటే b 2 – 4ac = 0

లెక్కింపు:

⇒ D = B2 – 4AC = 0

⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a2 + 20a – 44 = 0

⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

a + b + c = 0 అయితే, అప్పుడు (a³ + b³ + c³) = 3abc,

∴ (a³ + b³ + c³)² = 9a²b²c²

ఇచ్చినది

2x5 + 2x3 y3 + 4y4  + 5.

భావం

బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం.

పరిష్కారం

2x5 లో బహుపది డిగ్రీ = 5 

2x3 y3 లో బహుపది డిగ్రీ = 3 + 3 = 6 

4y4 లో బహుపది డిగ్రీ = 4 

5 లో బహుపది డిగ్రీ = 0 

అందువల్ల, అత్యధిక డిగ్రీ 6.

బహుపది డిగ్రీ = 6

x5 కారణంగా ఒకరు 5ను సరైన ఎంపికగా ఎంచుకోవచ్చు కాని 2x3y3 అత్యధిక ఘాతం 6 కలిగి ఉన్నందున సరైన సమాధానం 6 అవుతుంది.

బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం. ఇక్కడ ఒక నిర్దిష్ట విలువ కోసం x అనేది y కి సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

బహుపది యొక్క డిగ్రీ 6 ఉంటుంది

నా ప్రస్తుత వయస్సు = x సంవత్సరాలు మరియు నా కజిన్ వయస్సు = y సంవత్సరాలు.

నా ప్రస్తుత వయస్సులో 3/5 వంతులు నా కజిన్స్‌లో ఒకరి వయస్సులో 5/6 వంతులకు సమానం,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

పదేళ్ల క్రితం నా వయస్సు నాలుగు సంవత్సరాల తరువాత అతని వయస్సు అవుతుంది

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

∴ x = 50 సంవత్సరాలు

α మరియు β  x2 – x – 1 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాబట్టి, అపుడు

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

ఇప్పుడు, (α / β) మరియు (β / α) మూలాలు అయితే,

⇒ మూలాల మొత్తం = (α/β) + (β/α) = (α2 + β2)/αβ = {(α + β)2 – 2αβ}/αβ = {(1)2 – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ మూలాల లబ్దం = (α/β) × (β/α) = 1

ఇప్పుడు, అప్పుడు సమీకరణం,

⇒ x2 – (మూలాల మొత్తం)x + మూలాల లబ్దం = 0

⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0