त्रिकोणमिति MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometry - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

$tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}$

हल:

दिया गया है:

यदि x, y, और z एक त्रिभुज के कोण हैं और z = 135°

⇒ x + y + z = 180^o

⇒ x + y = 180^o - 135^o

⇒ x + y = 45o

⇒ tan (x + y) = tan (45o)

⇒ $\frac{tanx+tany}{1-tanx.tany}=1$

⇒ tan x + tan y = 1 - tan x tan y

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर,

⇒ 1 + tan x + tan y = 1 - tan x tan y + 1

⇒ 1 + tan x + tan y + tan x tan y = 2

⇒ 1 + tan x + tan y(1 + tan x) = 2

⇒ (1 + tan x) (1+ tan y) = 2

∴ (1 + tan x) (1 + tan y) का मान 2 है। 

गणना:

$\sin z+\cos z=\sin \frac{3\pi }{4}+\cos \frac{3\pi }{4}$

हम पदों को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

$\sin \frac{3\pi }{4}=\sin (\pi -\frac{\pi }{4})$ और $\cos \frac{3\pi }{4}=\cos (\pi -\frac{\pi }{4})$

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$ और $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$ का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है:

$\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}$ और $\cos \frac{3\pi }{4}=-\cos \frac{\pi }{4}$

अब, मान प्रतिस्थापित करने पर:

$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है:

$\sin z+\cos z=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

प्रयुक्त सूत्र:

sec (180° - θ) = - sec θ 

cosec (180° - θ) = cosec θ

cos θ × sec θ = 1 ; sin θ × cosec θ = 1

गणना:

cos 47° sec 133° + sin 44° cosec 136°

⇒ cos 47° × sec (180° - 47) + sin 44° cosec (180° - 44°)

⇒ cos 47° × (- sec 47°) + sin 44° × (cosec 44°)

⇒ -1 + 1 = 0

∴ सही उत्तर 0 है। 

दिया हुआ है:

$\frac{\cos {45}^{\circ }}{\sec {30}^{\circ }+cosec{30}^{\circ }}$

प्रयुक्त अवधारणा:​

गणना:

$\frac{\cos {45}^{\circ }}{\sec {30}^{\circ }+cosec{30}^{\circ }}$

⇒ $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2}{1}}$

⇒ $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}})}$

⇒ $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}$

⇒ $\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$

⇒ $\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}(3-1)}$

⇒ $\frac{(3-\sqrt{3})}{4\sqrt{2}}$

⇒ $\frac{(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{8}$

∴ अभीष्ट उत्तर $\frac{(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{8}$ है।

दिया गया है:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

प्रयुक्त अवधारणा:

1. tanα = sinα/cosα

2. cotα = 1/tanα

3. secα = 1/cosα

4. cosecα = 1/sinα

5. (a + b)² - 2ab = a² + b²

6. sin²α + cos²α = 1

गणना:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

⇒ $\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }+\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }-\frac{1}{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

⇒ $\frac{si{n}^4\theta +co{s}^4\theta -1}{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

⇒ $\frac{(si{n}^2\theta +co{s}^2\theta {)}^2-2si{n}^2\theta co{s}^2\theta -1}{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

⇒ $\frac{(1{)}^2-2si{n}^2\theta co{s}^2\theta -1}{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

⇒ $\frac{-2si{n}^2\theta co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

⇒ -2

∴ अभीष्ट उत्तर -2 है।

Shortcut Trick 

इस प्रश्न को हल करने के लिए मूल्य निर्धारण विधि का प्रयोग करें,

θ = 45° का प्रयोग करें

tan2 θ + cot2 θ  - sec2 θ cosec2 θ

⇒ 12 + 12  - (√2)2(√2)2

⇒ 1 + 1 - 4

⇒ 2 - 4 = - 2

∴ इस प्रश्न का सही उत्तर -2 है।

दिया गया है:

sec θ + tan θ = 5

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि sec θ + tan θ = y

तब sec θ - tan θ = 1/y

गणना:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

तब,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ सही उत्तर 12/5 है।

दिया गया है:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

प्रयुक्त अवधारणा:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin²a - sin²b = sin(a + b) sin(a - b)

गणना:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

⇒ cos 2A cos 2B - [sin2(A + B) - sin2(A - B)] 

{sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)}

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + B + A - B) sin(A + B - A + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + A) sin(B + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - sin 2A sin 2B

⇒ cos (2A + 2B)

∴ अभीष्ट उत्तर cos (2A + 2B) है।

दिया गया है:

cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)

प्रयुक्त सूत्र:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

sin (90 - a) = cos a

गणना:

⇒ sin[90 – (36 – A)]sin[90 – (36 + A)] + cos (54° – A) cos (54° + A)

⇒ sin(54º + A)sin(54º – A) + cos (54° – A)cos (54° + A)

⇒ सर्वसमिका cos(A – B) का उपयोग करने पर,

⇒ cos(54 + A – 54 + A) = cos(2A)

अतः cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) का मान cos(2A) है।

संकल्पना:

sin (2nπ ± θ) = ±  sin θ

sin (90 + θ) = cos θ

गणना:

दिया गया है कि:  sin (1920°)

⇒ sin (1920°) = sin(360° × 5° + 120°) = sin (120°)

दिया गया है:

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Synθ)} = 1

गणना:

हमारे पास एक त्रिकोणमितीय समीकरण है

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Synθ)} = 1

अंश और हर को Sinθ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ [{(3sinθ – cosθ)/Sinθ}/{(cosθ + sinθ)/sinθ}] = 1

⇒ {(3 – cotθ)/(cotθ + 1)} = 1

⇒ 3 – cotθ = 1 + cotθ

⇒ 2cotθ = 2

cotθ = 1

मान 1 है।

दिया गया है:

sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x 

प्रयुक्त सूत्र:

sin C + sin D = 2 × sin (C + D)/2 × cos (C - D)/2

cos 2θ = (2 × cos2 θ  - 1)

गणना:

sin 6x + sin 2x + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin (6x + 2x)/2 × cos (6x - 2x)/2 + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin 4x × cos 2x + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin 4x (cos 2x + 1)

⇒ 2 × sin 4x {(2 × cos2x - 1) + 1) }

⇒ (2 × sin 4x) × (2 × cos2 x) 

⇒ 4 cos2 ×  sin 4x

∴ सही उत्तर 4 cos2 × sin 4x है।

दिया गया है:

sin (A + B) = cos (A + B)

प्रयुक्त सूत्र:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

cos (A + B) =  cos A cos B - sin A sin B

गणना:

sin (A + B) = cos (A + B)

sin A cos B + cos A sin B = cos A cos B - sin A sin B

sin A cos B + sin A sin B = cos A cos B - cos A sin B

sin A(cos B + sin B) = cos A (cos B - sin B)

sin A/cos A = (cos B - sin B)/(cos B + sin B)

sin A/cos A = (1 - sin B/cos B)/(1 + sin B/cos B)

tan A = (1 - tan B)/(1 + tan B)

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है।