Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा की ढलान m = \(\rm dy\over dx\)

अभिलंब की ढलान = \(\rm -{1\over m}\) = \(\rm -{1\over {dy\over dx}}\)

गणना:

दिया गया वक्र y = 2x³ - 5x² + x - 2

समीकरण को x के सापेक्ष अवकलन करने पर

\(\rm dy\over dx\) = 6x² - 10x + 1

बिंदु (1, -1) पर ढलान

\(\rm dy\over dx\) x = 1 पर = 6(1)² - 10(1) + 1

\(\rm dy\over dx\) = 6 - 10 + 1

\(\rm dy\over dx\) = -3

अभिलंब की ढलान (m') = \(\rm -{1\over {dy\over dx}}\)

m' = \(\boldsymbol{\rm -{1 \over -3}}\) = \(\boldsymbol{\rm {1 \over 3}}\)

बिंदु (1, -1) पर वक्र के अभिलंब की ढलान 1/3 है।

गणना:

दिए गए बिंदु A(3, −1) और B(1, 1) हैं। मान लीजिए कि AB का मध्य बिंदु P है, और AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक बिंदु Q है जो P से √2 इकाई की दूरी पर है।

AB का मध्य बिंदु P की गणना करें:

\(P = \Bigl(\tfrac{3 + 1}{2},\,\tfrac{-1 + 1}{2}\Bigr) = (2,\,0) \)

AB की ढाल की गणना करें:

\(m_{AB} = \frac{\,1 - (-1)\,}{\,1 - 3\,} = \frac{2}{-2} = -1\)

इसलिए, रेखा AB का समीकरण है:

\(y - 1 = -1\,(x - 1)\;\Longrightarrow\;x + y - 2 = 0\)

AB का लंब समद्विभाजक P(2, 0) से गुजरना चाहिए और इसकी ढलान −1 (अर्थात ढलान +1) के लंबवत होनी चाहिए:

\(y - 0 = 1\,(x - 2)\;\Longrightarrow\;y = x - 2\)

इस समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु Q, y = x - 2 को संतुष्ट करता है। Q = (x, x − 2) लिखें।

हमें दूरी PQ = √2 की आवश्यकता है। चूँकि P(2, 0),

\(\text{Distance}^2 = (x - 2)^2 + \bigl((\,x - 2\,) - 0\bigr)^2 = 2\)

⇒ \((x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 2\;\Longrightarrow\;2\,(x - 2)^2 = 2\;\Longrightarrow\;(x - 2)^2 = 1\)

इस प्रकार,

⇒ \(x - 2 = \pm 1\;\Longrightarrow\;x = 3\text{ or }x = 1\)

यदि x = 3 है, तो y = 3 - 2 = 1 है। इसलिए एक हल Q(3, 1) है।

यदि x = 1 है, तो y = 1 - 2 = -1 है। इसलिए दूसरा हल Q(1, −1) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिए गए बिंदु A(0,0), B(p,1), और C(1,q), एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। हमें बताया गया है (0 < p,q < 1).

भुजाओं की वर्ग लंबाई की गणना करें:

\(AB^{2} = (p - 0)^{2} + (1 - 0)^{2} = p^{2} + 1\)

\(AC^{2} = (1 - 0)^{2} + (q - 0)^{2} = 1 + q^{2}\)

\(BC^{2} = (1 - p)^{2} + (\,q - 1\,)^{2} = (1 - p)^{2} + (q - 1)^{2} = 2\,(1 - p)^{2}\)

क्योंकि त्रिभुज समबाहु है, इसलिए तीनों वर्ग लंबाई समान हैं:

⇒ \(AB^{2} = AC^{2} \)

⇒ \(p^{2} + 1 \;=\; 1 + q^{2} \;\Longrightarrow\; p^{2} = q^{2} \;\Longrightarrow\; p = q \)

p और q दोनों (0,1) में धनात्मक हैं

मान लीजिए, p = q = t तब

⇒ \(AB^{2} = t^{2} + 1 \)

⇒ \(BC^{2} = 2\,(1 - t)^{2} \)

AB² और BC² को बराबर रखने पर:

⇒ \(t^{2} + 1 \;=\; 2\,(1 - t)^{2} \;=\; 2\bigl(1 - 2t + t^{2}\bigr) \;=\; 2 - 4t + 2t^{2}. \)

सरल करने पर:

⇒ \(t^{2} + 1 = 2 - 4t + 2t^{2}\;\Longrightarrow\;0 = 2 - 4t + 2t^{2} - (t^{2} + 1) = t^{2} - 4t + 1. \)

इसलिए t संतुष्ट करता है:

⇒ \(t^{2} - 4t + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{4 \pm √{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm 2√{3}}{2} = 2 \pm √{3}. \)

चूँकि 0 < t < 1, हम t = 2 - √3 लेते हैं (ध्यान दें कि 2 + √3> 1) जो कि अनुमत नहीं है। इसलिए,

⇒ \(p = q = 2 - √{3}.\)

इसलिए:

\(p + q \;=\; (2 - √{3}) + (2 - √{3}) \;=\; 4 - 2√{3}.\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

रेखा 1: \(m^2x + ny - 1 = 0 \)

रेखा 2: \(n^2x - my + 2 = 0 \)

रेखा 1 की ढाल, \(m_1 = -\dfrac{m^2}{n}\)

रेखा 2 की ढाल, \(m_2 = \dfrac{n^2}{m}\)

लंबवत रेखाओं के लिए, \(m_1 \times m_2 = -1\).

\(\frac{-m^2}{n} \times \frac{n^2}{m} = -1\)

mn = 1

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

उत्तर (2)

हल:

x² = 4y

y = 2(x + 6)

x² = 8(x + 6)

x² - 8x - 48 = 0

(x + 4) (x - 12) = 0

⇒ x = - 4(∵ x < 0)

∴ y = 4

⇒ (a, b) ≡ (-4, 4)

I = \(\int_{a}^{b} \frac{x^{4}}{1+5^{x}} d x\)

= \(\int_{-4}^{4} \frac{x^{4}}{1+5^{x}} d x\)

= \(\int_{0}^{4}\left(\frac{x^{4}}{1+5^{x}}+\frac{x^{4}}{1+5^{-x}}\right) d x\)

= \(\int_{0}^{4} x^{4} d x=\frac{x^{5}}{5}=\frac{4^{5}}{5}=\frac{1024}{5}\)

संकल्पना:

रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\)द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y = x + 4 और y =  2x - 3 हैं। 

माना कि पहली और दूसरी रेखा की ढलान क्रमशः m₁ और m₂ हैं। 

इसलिए, m₁ = 1 और m₂ = 2

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\)

⇒ tan θ = \(\rm \left|\frac{1 - 2}{1+1 \times 2} \right | = \frac 1 3\)

∴ θ = \(\rm \tan^{-1} \left(\frac 1 3 \right)\)

संकल्पना:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)

जहाँ a और b क्रमशः x और y - अक्ष पर अंतखंड हैं। 

गणना:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)

यह दिया गया है कि दोनों अंतराल बराबर हैं इसलिए हमारे पास a = b है। 

इसलिए, रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a} =1\\ \dfrac{x+y}{a} = 1\\ x+y = a\\ y = -x + a\)

इसलिए, ढलान-अंतखंड रूप y = mx + c के साथ तुलना करने पर हम देखते हैं कि रेखा का ढलान -1 है। 

हम जानते हैं कि ढलान को \(\rm m = \tan \theta\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

जहाँ, \(\theta\) , x - अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है। 

अतः दी गयी स्थिति में हमें\(\tan\theta=-1\implies\theta=135^{\circ}\) प्राप्त होता है। 

धारणा:

• रेखा का ढलान अंतःखंड रूप: y = mx + c, जहां 'm' रेखा की ढलान है और 'c' y - अंतःखंड है।
• एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप है: y − y₁ = m(x − x₁)
• जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है।
• यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

गणना:

दिया हुआ: 3x + y = 7

⇒ y = -3x + 7

रेखा की ढलान = m = -3

तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m = 1/3 है

ढलान "1/3" के साथ (1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

y – 1 = (1/3) (x – 1)

⇒ 3y – 3 = x – 1

⇒ 3y = x + 2

⇒ 3y - x = 2

x- अंतःखंड के लिए y = 0

∴ x = -2

तो रेखा का x- अंतःखंड -2 है

संकल्पना:

ढलान m के साथ (x1,y1) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण (y - y1) = m(x - x1) है। 

बिंदु (x1,y1) और (x2,y2) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान = \(\rm \dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}\) है। 

दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत केवल तब होती हैं यदि उनकी ढलानें एक-दूसरे के ऋणात्मक व्युत्क्रम होती हैं। 

गणना:

ढलान m के साथ (x₁,y₁) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण (y - y₁) = m(x - x1) है। 

बिंदु (x1,y1) और (x2,y2) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान = \(\rm \dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}\) है। 

बिंदु (2, 5)(-3, 6) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान = \(\rm \dfrac {6-5}{-3-2}\)

⇒ m₁ = \(\rm \dfrac {1}{-5}\) = \(\rm \dfrac {-1}{5}\)

दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत केवल तब होती हैं यदि उनकी ढलानें एक-दूसरे के ऋणात्मक व्युत्क्रम होती हैं। 

बिंदु (2, 5)(-3, 6) से होकर गुजरने वाली रेखा के लंबवत की ढलान m₂ = \(\rm \dfrac {-1}{m_1}\) है। 

⇒ m2 = 5 

( (x1,y1) = (-3, 5) से होकर गुजरने वाली और बिंदु (2, 5)(-3, 6) से रेखा के लंबवत रेखा का समीकरण निम्न है

(y - y1) = m(x - x1)

⇒(y - 5) = 5(x +3)

⇒5x - y + 20 = 0

संकल्पना:

दी गयी रेखा ax + by + c = 0 के समांनातर एक रेखा का समीकरण

ax + by + λ = 0 है,

जहाँ λ स्थिरांक है। 

गणना:

y = 3x + 1

⇒ 3x - y + 1 = 0

दी गयी रेखा 3x - y + 1 = 0 के समानांतर एक रेखा का समीकरण 3x - y + λ = 0 है। 

यह बिंदु (1, 2) से होकर गुजरती है। 

⇒ (3 × 1) - 2 + λ = 0

⇒ 1 + λ = 0

∴ λ = -1

इसलिए, रेखा का समीकरण 3x - y - 1 = 0 है। 

y = 3x - 1

⇒y - 2 = 3x - 1 - 2

⇒ y - 2 = 3x - 3

⇒y - 2 = 3(x - 1)

अवधारणा :

माना कि A (x1, y1) और B (x2, y2) दो दिए गए बिंदु हैं और बिंदु P (x, y) बिंदु A और B को मिलानेवाली रेखा को m: n के अनुपात में विभाजित करता है, फिर

• आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)
• बाह्य विभाजन का बिंदु इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} - n{x_1}}}{{m - n}},\frac{{m{y_2} - n{y_1}}}{{m - n}}} \right)\)

नोट : यदि P, रेखा खंड AB का मध्य बिंदु है, तो \(P\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\)

गणना :

यहां, हमें उस अनुपात को खोजना होगा जिसमें रेखा x + y = 4 बिंदु A (- 1, 1) और B (5, 7) को जोड़ने वाली रेखा को विभाजित करती है।

माना कि रेखा x + y = 4 बिंदु A (- 1, 1) और B (5, 7) को जोड़ने वाली रेखा को m: 1 के अनुपात में विभाजित करती है।

माना कि विभाजन का बिंदु C है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, आंतरिक विभाजन के बिंदु को इस प्रकार दिया गया है: \(\left( {x,\;y} \right) = \left( {\frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}},\frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}}} \right)\)

\(⇒ C = \left( {\frac{{5m - 1}}{{m + 1}},\frac{{7m + 1}}{{m + 1}}} \right)\)

∵ C विभाजन का बिंदु है। C रेखा x + y = 4 पर स्थित है और बिंदु C के निर्देशांक रेखा x + y = 4 के समीकरण को संतुष्ट करेंगे।

\(⇒ \frac{5m - 1}{m + 1} + \frac{7m + 1}{m + 1} =4\)

⇒ (5m - 1) + (7m + 1) = 4(m + 1)

⇒ m = 1/2

तो, आवश्यक अनुपात है: (1/2) : 1 = 1 : 2

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

संकल्पना:

दो रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

माना कि पहली और दूसरी रेखा क्रमशः m1 और m2  हैं,

इसलिए, m1 = \(\sqrt 3\) और m2 = \(\frac {1}{\sqrt 3}\)

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = \(\rm \left|\frac{\sqrt 3 - \frac {1}{\sqrt 3}}{1+\sqrt 3 \times \frac {1}{\sqrt 3}} \right |\)

⇒ tan θ = \(\rm \left|\frac{\frac{3 - 1}{\sqrt 3}}{1+1} \right | = \frac {1} {\sqrt3}\)

∴ θ = \(\rm \tan^{-1} \left(\frac 1 {\sqrt3} \right)\) = \(\rm \frac {\pi}{6}\)

धारणा:

दो रेखाओं के बीच कोण

• ढलान m1 और m2 वाले रेखाओं के बीच का कोण θ निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है tan θ = \(\left| {\frac{{{m_2} - \;{m_1}}}{{1 + \;{m_1}{m_2}}}} \right|\)
• यदि रेखाएँ समानांतर हैं तो उनकी ढलानें बराबर होती हैं। ⇔ m₁ = m₂
• यदि रेखाएं लंबवत हैं तो उनकी ढलान का गुणनफल -1 है। ⇔ m₁ × m₂ = -1

गणना:

हमें रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना है।

अब, माना कि दी गई रेखाओं 7x - 4y = 0 और 3x - 11y + 5 = 0 के बीच का कोण θ है

पहले हमें दोनों रेखाओं के ढलान को खोजने की आवश्यकता है।

7x - 4y = 0

⇒ y = (7/4) x

इसलिए, रेखा 7x - 4y = 0 की ढलान m₁ = 7/4 है

फिर से, 3x - 11y + 5 = 0

⇒ y = (3/11) x + (5/11)

इसलिए, रेखा 3x - 11y + 5 = 0 की ढलान m₂ = 3/11 है

हम जानते हैं कि tan θ = \(\left| {\frac{{{m_2} - \;{m_1}}}{{1 + \;{m_1}{m_2}}}} \right|\)

⇒ tan θ = \(\left| {\frac{{\frac{3}{{11}} - \frac{7}{4}}}{{1 + \;\frac{3}{{11}}\; \times \frac{7}{4}}}} \right| = \;\left| {\frac{{12 - 77}}{{44\; + 21}}} \right| = \;\left| {\frac{{ - 65}}{{65}}} \right| = 1\)

⇒ tan θ = 1 = tan 45°

∴ θ = 45°

धारणा:

• अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान \(\frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2}\; - \;{x_1}}}\) है
• जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है। यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

गणना:

माना कि रेखा 2x - 5y + 4 = 0 की ढलान m₁ है और बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) को जोडनेवाली रेखा की ढलान m₂ है 

\( {{\rm{m}}_2} = \frac{{{\rm{3 }} - 5}}{{{\rm{α }} - 1}} = \frac{-2}{{{\rm{α }} - 1}}\)

अब रेखा की ढलान = m₁ = 2/5

दी गई रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,

∴ m1 m2 = -1

\( ⇒ {\rm{\;}}\frac{{ - 2}}{{{\rm{α }} - 1}}{\rm{\;}} × {\rm{\;}}\frac{2}{5} = \; - 1\)

⇒ -4 = -5 × (α -1)

⇒ (α -1) = 4/5

⇒ α = (4/5) + 1 = 9/5

संकल्पना:

यदि तीन बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) संरेखीय हैं, तो तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है। 

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{x}}_1}}&{{{\rm{y}}_1}}&1\\ {{{\rm{x}}_2}}&{{{\rm{y}}_2}}&1\\ {{{\rm{x}}_3}}&{{{\rm{y}}_3}}&1 \end{array}} \right|{\rm{\;}} = {\rm{\;}}0\)

या 

यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु संरेखीय हैं, तो बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है। 

उदाहरण के लिए, माना कि तीन बिंदु A, B और C संरेखीय हैं, तो 

AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान 

यदि दो बिंदु \(({{\rm{x}}_1},{{\rm{y}}_1}){\rm{\;and\;}}\left( {{{\rm{x}}_2},{\rm{\;}}{{\rm{y}}_2}} \right)\) हैं, तो रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\Rightarrow \left( {\bf{m}} \right) = \;\frac{{{{\bf{y}}_2} - {{\bf{y}}_1}}}{{{{\bf{x}}_2} - {{\bf{x}}_1}}}{\rm{\;}}\)

गणना:

दिया गया है: बिंदु (-2, -5), (2, -2) और (8, a) संरेखीय हैं। 

\(\begin{vmatrix} -2 &-5 &1 \\ 2 &-2 &1 \\ 8& \rm a &1 \end{vmatrix} = 0 \\\Rightarrow -2{(-2-\rm a)}-(-5)(2-8)+1(2a+16)=0\\\Rightarrow4+2\rm a-30+2\rm a + 16 = 0\\\Rightarrow 4\rm a-10=0\\\Rightarrow 4\rm a = 10\\\therefore \rm a = \frac{5}{2}\)