Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(A = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}\)

यह उल्लेख किया गया है कि A एक लांबिक आव्यूह है। इसलिए,

\(A^T A = I\)

अब, हम A² की गणना करते हैं:

\(A^2 = A \cdot A\)

\(A^2 = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}\)

चूँकि A लांबिक है, \(A^T A = I\) है, और इसलिए:

\(A^2 = I\)

∴ A² = तत्समक आव्यूह (I)

गणना:

दिया गया है,

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)

$A^2$ \(\Rightarrow A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow A^2 = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)

अब 4A $4A$

\(\Rightarrow 4A = 4 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow 4A = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}\)

इसके अलावा A² - 4A $A^2 - 4A$

\(\Rightarrow A^2 - 4A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow A^2 - 4A = \begin{bmatrix} 9-4 & 8-8 & 8-8 \\ 8-8 & 9-4 & 8-8 \\ 8-8 & 8-8 & 9-4 \end{bmatrix}\)

\(\Rightarrow A^2 - 4A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\)

परिणाम को इकाई मैट्रिक्स $I_3$ से संबंधित करें

\(\Rightarrow A^2 - 4A = 5I_3\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

घूर्णन आव्यूह:

• यूक्लिडीय समष्टि में घूर्णन करने के लिए एक घूर्णन आव्यूह का उपयोग किया जाता है। यह एक वर्ग आव्यूह है जो एक सदिश समष्टि के घूर्णन का वर्णन करता है।
• 2D घूर्णन के लिए, आव्यूह इस प्रकार दिया गया है: \(f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\)
• यहाँ, θ रेडियन में घूर्णन का कोण है।
  • cos θ: घूर्णन कोण की कोज्या को दर्शाता है।
  • sin θ: घूर्णन कोण की ज्या को दर्शाता है।
• घूर्णन आव्यूह का मुख्य गुण:
  • आव्यूह का परिवर्त आव्यूह इसके व्युत्क्रम के बराबर होता है।
  • आव्यूह का सारणिक हमेशा 1 के बराबर होता है।
• जब θ = π, घूर्णन आव्यूह बन जाता है: \(f(\pi) = \begin{bmatrix} \cos \pi & \sin \pi \\ -\sin \pi & \cos \pi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

गणना:

दिया गया है,

θ = π पर घूर्णन आव्यूह:

\(f(\pi) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

(f(π))² ज्ञात करने के लिए, आव्यूह को स्वयं से गुणा करें:

\(f(\pi) × f(\pi) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

आव्यूह गुणन का उपयोग करने पर:

ऊपर-बाएँ तत्व: (-1)(-1) + (0)(0) = 1

ऊपर-दाएँ तत्व: (-1)(0) + (0)(-1) = 0

नीचे-बाएँ तत्व: (0)(-1) + (-1)(0) = 0

नीचे-दाएँ तत्व: (0)(0) + (-1)(-1) = 1

परिणामी आव्यूह:

\(f(\pi)^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

∴ (f(π))² तत्समक आव्यूह के बराबर है, जो \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) है।

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A है:

\( A = \begin{bmatrix} y & x & x \\ z & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

चूँकि A एक लांबिक आव्यूह है, हम जानते हैं कि:

\( A^T = A^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^T A = I \)

यह गुण हमें बताता है कि A लांबिक है, और इसका अर्थ है कि \(A^T A \) (A के परिवर्त और A का गुणनफल इकाई आव्यूह I के बराबर है, जो है:

\( A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

अब, आइए \(A^T A \) की गणना चरण दर चरण करते हैं। आव्यूह A का परिवर्त, जिसे \(A^T \) से दर्शाया गया है:

\( A^T = \begin{bmatrix} y & z & x \\ x & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

अब, हम \(A^T\) और A के बीच आव्यूह गुणन करते हैं:

\( A^T A = \begin{bmatrix} y & z & x \\ x & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y & x & x \\ z & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

यह गुणन करने पर, हमें निम्नलिखित आव्यूह प्राप्त होता है:

\( A^T A = \begin{bmatrix} y^2 + z^2 + x^2 & xy + zx + xy & xz + yz + x^2 \\ xy + zx + xy & x^2 + x^2 + y^2 & xy + xz + yz \\ xz + yz + x^2 & xy + xz + yz & x^2 + y^2 + z^2 \end{bmatrix} \)

यह आव्यूह इकाई आव्यूह I के बराबर होना चाहिए, जो है:

\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

आव्यूहों के अवयवों की तुलना करके, हमें निम्नलिखित समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:

इस प्रकार, लांबिकता स्थिति से मुख्य परिणाम है:

\( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

आव्यूह 1 और आव्यूह 2 को गुणा करें:

\(\begin{bmatrix} x & 1 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4+7 & 2x+5+8 & 3x+6+9 \end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix} x+11 & 2x+13 & 3x+15 \end{bmatrix}\)

परिणामी आव्यूह को आव्यूह 3 से गुणा करें:

\(\begin{bmatrix} x+11 & 2x+13 & 3x+15 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ x \end{bmatrix} \)

\(= (x+11) \cdot 1 + (2x+13) \cdot 1 + (3x+15) \cdot x\)

⇒ \((x+11) + (2x+13) + (3x^2+15x)\)

⇒ \((3x^2 + 18x + 24)\)

परिणाम को 45 के बराबर करें:

\((3x^2 + 18x + 24 = 45)\)

⇒ \((3x^2 + 18x - 21 = 0)\)

\((x^2 + 6x - 7 = 0)\)

\((x^2 + 7x - x - 7 = 0)\)

⇒ \((x = 1 \text{ या } x = -7)\)

चरण 5: सत्यापित करें:

\(x = 1\) के लिए, वापस प्रतिस्थापित करें:

\((3(1)^2 + 18(1) + 24 = 45)\)

45 =45

∴ x का सही मान 1 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

धारणा:

सममित आव्यूह:

• यदि आव्यूह A का परावर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर हो तो वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है
• A^T = A या A’ = A

जहां AT या A’ आव्यूह के परावर्त को दर्शाता है

• एक वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि aij = aji सभी i और j के लिए
  जहां a_ij और a_ji आव्यूह में मौजूद एक तत्व है।

गणना:

दिया हुआ:

A एक सममित आव्यूह है

⇒ A^T = A या a_ij = a_ji

A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & x-3 & x-2 \\ 3 & -2 & -1 \\ 4 & -1 & -5 \\ \end{matrix} \right]\)

तो सममित आव्यूहों के गुण द्वारा

⇒ a₁₂ = a₂₁

⇒ x – 3 = 3

संकल्पना:

• एक n × p आव्यूह द्वारा एक m × n आव्यूह को गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम एक m × p आव्यूह है।
• यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो परिवर्त आव्यूह की कोटि n × m है

गणना:

दिया हुआ:

A की कोटि 4 × 3 है, B की कोटि 4 × 5 है और C की कोटि 7 × 3 है

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त आव्यूह का परिवर्त।

तो, AT की कोटि 3 × 4 है और CT की कोटि 3 × 7 है

अभी,

A^TB = {3 × 4} {4 × 5} = 3 × 5

⇒ A^TB की कोटि 3 × 5 है

इसलिए (A^TB) ^T की कोटि 5 × 3 है

अब (A^TB) ^T C ^T की कोटि= {5 × 3} {3 × 7} = 5 × 7

संकल्पना:

सममित आव्यूह: यदि एक आव्यूह का परिवर्त स्वयं के बराबर है तो उस आव्यूह को सममित कहा जाता है। 

या आव्यूह A केवल तभी सममित है यदि गमनागमन सूचकांक अपने घटकों को परिवर्तित नहीं करता है। 

• A = A^T
• a_ij = a_ji

गणना:

दिया गया है - \({\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)

एक वास्तविक वर्गाकार आव्यूह A = (a_ij) को सममित कहा जाता है, यदि A = A^T है। 

जहाँ A^T = आव्यूह A का परिवर्त

\({{\rm{A}}^{\rm{T}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right)\)

∴ A = A^T

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{{\rm{x}} + 2}\\ {2{\rm{x}} - 3}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{2{\rm{x}} - 3}\\ {{\rm{x}} + 2}&{{\rm{x}} + 1} \end{array}} \right]\)

A₂₁ तत्व की तुलना करने पर। 

⇒ x + 2 =2x - 3

⇒ x = 5

अवधारणा:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के लिए:

• A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)
• |A-1| = |A|-1 = \(\rm \frac{1}{|A|}\)

गणना:

\(\rm A^{-1}=\begin{bmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 4& 3\\ 3& 1& 6\end{bmatrix}=\frac{adj(A)}{k}\)         -----(1)

आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से, 

A-1 = \(\rm \frac{adj(A)}{|A|}\)              -----(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

k = |A|  

आव्यूह के व्युत्क्रम के सारणिक के गुणों का उपयोग करके हमारे पास है:

k = |A| = \(\rm \frac{1}{|A^{-1}|}\)         -----(3)

हम जानते है, 

A.A-1 = I

⇒ |A.A-1| = |I| = 1

⇒ |A| |A-1| = 1

⇒ |A| = 1/ |A-1|       ....(4)

अब,

|A-1| = 1(24 - 3) + 2(9 - 12) + 3(2 - 12) = 21 - 6 - 30 = - 15.

|A-1| = -15

इसलिए, समीकरण (3) से

k = \(\rm - \frac1{15}\)

Mistake Pointsध्यान दें, हमारे पास A-1 आव्यूह है, A आव्यूह नहीं। तो k का मान ज्ञात करने के लिए, आपको संबंध |A| = 1/|A-1| का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है

अवधारणा:

A × A-1 = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है

|A| = \(\rm 1\over {|A^{-1}|}\)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm A=\begin{bmatrix} x & 2 \\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\) और \(\rm A ^{-1}=\begin{bmatrix} {1\over8} & {-1\over 12} \\\ {-1\over 6}& {4\over 9} \end{bmatrix}\)

|A^-1| = \(\rm {4\over 72} - {1\over 72} = {3\over 72} = {1\over 24}\)

|A| = \(\rm {1 \over {|A^{-1}|}}\) = 24

⇒ 3x - 8 = 24

∴ x = \(\rm 32\over 3\)

संकल्पना:

एक आव्यूह का ट्रेस:

एक आव्यूह का ट्रेस मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग है। 

ट्रेस केवल वर्ग आव्यूह (n × n) के लिए परिभाषित होता है। 

माना कि A, n × n आव्यूह है। 

\(\rm tr\left( A \right) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^n {A_{nn}}\)

गणना:

दिया गया है: \(A=\begin{bmatrix} -1 & 4 \\\ 5 & 8 \end{bmatrix}\)

आव्यूह का ट्रेस = मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग

= -1 + 8

= 7

संकल्पना:

आव्यूह का गुणन:

• पहले आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। 
• परिणाम में पहले आव्यूह के रूप में पंक्तियों की समान संख्या और दूसरे आव्यूह के रूप में स्तंभों की समान संख्या होगी। 
• एक m × n आव्यूह को n × p आव्यूह से गुणा करने के लिए n को समान होना चाहिए, और परिणाम m × p आव्यूह होता है। 

गणना:

कथन 1 से∶

AB = A

इस कथन से हम कुछ भी ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

कथन 2 से∶

\(A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right] , B\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

इस कथन से हम कुछ भी ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

कथन 1 और 2 को मिलाने पर∶

\(AB\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} (n\times 1+9\times0)&(n\times0+9\times1)\\ (2\times1+1\times0)&(2\times0+1\times1) \end{array}} \right]\)

\(AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right]\)

साथ ही, \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&9\\ 2&1 \end{array}} \right]\)

∴ हम n खा मान ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि

3 × 3 की संभावित प्रविष्टियों की संख्या = 9  

और, प्रत्येक प्रविष्टि के दो विकल्प हैं = 0 और 1

अब,

विकल्पों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

⇒ 29

⇒ 512

∴ विकल्पों की कुल संख्या 512 है।

अवधारणा:

पहचान आव्यूह के गुण:

यदि A, n × n कोटि का वर्ग आव्यूह है

• AI = IA = A
• In = I        (जहाँ n ∈ N)

गणना:

दिया हुआ है कि

A2 = I

अब, A3 + (A + I)2 - 9A - I2 - A2

= A2. A + A2 + I2 + 2AI - 9A - I2 - A2

= I. A + I + I + 2AI - 9A - I - I       [∵ A2 = I और AI = IA = A]

= AI + 2AI - 9A 

= 3AI - 9A

= 3A - 9A

= - 6A

धारणा:

अनैच्छिक आव्यूह:

• आव्यूह A को अनैच्छिक कहा जाता है यदि A2 = I, जहां I, A के समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
• अनैच्छिक आव्यूह एक आव्यूह है जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम के बराबर होता है। ⇔ A^-1 = A

गणना:

दिया हुआ है कि A अनैच्छिक आव्यूह है,

⇒ A² = I

अब

(I − A) (I + A) = I² – IA + AI − A² 

⇒ I – A + A – I           (∵ A2 = I)

⇒ 0