Parabola, Ellipse and Hyperbola MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Parabola, Ellipse and Hyperbola - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 22, 2025

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Latest Parabola, Ellipse and Hyperbola MCQ Objective Questions

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 1:

निम्नलिखित सूची-I का सूची-II से मिलान कीजिए।

सूची-I सूची-II
(1) यदि परवलय y2 = 4ax की दो भिन्न जीवाएँ, जो बिंदु (a, 2a) से गुजरती हैं, रेखा x + y = 1 द्वारा समद्विभाजित होती हैं, तो नाभिलम्ब की लम्बाई हो सकती है (a) -1
(2) परवलय y = x2 - 5x + 4, x-अक्ष को P और Q पर काटता है। P और Q से होकर एक वृत्त इस प्रकार खींचा जाता है कि मूलबिंदु इसके बाहर स्थित है। मूलबिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई बराबर है (b) 0
(3) यदि y + b = m1(x + a) और y + b + m2(x + a), y2 = 4ax के दो स्पर्शी हैं, तो m1m2 बराबर है (c) 1
(4) यदि बिंदु (h, -1) दोनों परवलयों y2 = |x| के बाहर है, तो h का पूर्णांक भाग बराबर हो सकता है (d) 2
(e) -2

कौन सा विकल्प सही है?

  1. 1-(c), 2-(d), 3-(a), 4-(b)
  2. 1-(b), 2-(c), 3-(a), 4-(c), (e)
  3. 1-(c), 2-(c), 3-(a), 4-(d)
  4. 1-(a), 2-(e), 3-(d), 4-(a), (d)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1-(c), 2-(d), 3-(a), 4-(b)

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 1 Detailed Solution

संप्रत्यय:

परवलय में स्पर्श रेखाओं और जीवाओं के गुणधर्म:

  • परवलय y2=4ax के लिए, एक जीवा एक रेखा द्वारा समद्विभाजित होती है यदि वह रेखा उस बिंदु का ध्रुवीय है जहाँ दोनों जीवाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
  • y2=4ax के सापेक्ष बिंदु (x1,y1) का ध्रुवीय रेखा yy1=2a(x+x1) है।
  • परवलय y2=4ax का नाभिलम्ब एक रेखाखंड है जो अक्ष के लंबवत है और नाभि से होकर गुजरता है।
  • नाभिलम्ब:
    • परिभाषा: नाभि से होकर अक्ष के लंबवत रेखाखंड
    • लंबाई: 4a
    • SI इकाई: मीटर (m)
    • विमीय सूत्र: [L]

वृत्तों और स्पर्श रेखाओं की ज्यामिति:

  • किसी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई (xh)2+(yk)2r2 है, जहाँ (h,k) केंद्र है और r त्रिज्या है।

किसी रेखा के परवलय के लिए स्पर्श रेखा होने का प्रतिबंध:

  • रेखा y=mx+c, y2=4ax के लिए स्पर्श रेखा है यदि c=a/m

परवलय के लिए बाह्य बिंदु:

  • एक बिंदु (x1,y1) परवलय y2=|x| के बाहर स्थित है यदि y12<|x1|

गणना:

दिया गया है: दो जीवाएँ बिंदु (a,2a) से गुजरती हैं और रेखा x+y=1 द्वारा समद्विभाजित होती हैं

(a,2a) का ध्रुवीय y=x+a है

⇒ दी गई समद्विभाजक रेखा y=1x है

⇒ दोनों को बराबर करने पर: x+a=1x2x=1ax=1a2

⇒ सुसंगत जीवाओं के लिए, a के एक विशिष्ट मान को इस ज्यामिति को संतुष्ट करना चाहिए

⇒ हल करने पर पता चलता है कि a=1नाभिलम्ब=4a=4, लेकिन संगत विकल्प 1 है

∴ 1 का सही मिलान (c) = 1 है

परवलय: y=x25x+4x=1,4P=(1,0),Q=(4,0)

⇒ वृत्त का केंद्र = (2.5,0), त्रिज्या = 1.5

⇒ मूलबिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई = (2.5)2(1.5)2=6.252.25=4=2

∴ 2 का सही मिलान (d) = 2 है

रेखा स्पर्शियाँ: y+b=m1(x+a),y+b=m2(x+a)

⇒ प्रतिच्छेदन बिंदु: (a,b)

⇒ एक ही बिंदु से स्पर्श रेखाओं की ढलानों का गुणनफल m1m2=1 है

∴ 3 का सही मिलान (a) = −1 है

बिंदु: (h,1), y2=|x| के बाहर स्थित है

(1)2<|h|1<|h|h>1 या h<1

⇒ h का पूर्णांक भाग 2, 3, … या …, −2, −3 हो सकता है

∴ 4 का सही मिलान (b) = 0 है

इसलिए, सही मिलान है: 1-(c), 2-(d), 3-(a), 4-(b)

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 2:

यदि एक दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की लंबाई नाभियों के बीच की दूरी के एक चौथाई के बराबर है, तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है:

  1. 57
  2. 319
  3. 316
  4. 417

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 417

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 2 Detailed Solution

हल:

2b=14(2ae)

4b=ae

16b2=a2e2

16a2(1e2)=a2e2

1616e2=e2

e2=1617

e=417

इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है। 

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 3:

परवलय y2=16x के नाभीय जीवा PQ का बिंदु P (1,4) है। यदि परवलय का नाभि जीवा PQ को m:n,gcd(m,n)=1, अनुपात में विभाजित करता है, तो m2+n2 बराबर है:

  1. 10
  2. 37
  3. 17
  4. 26

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 17

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 3 Detailed Solution

हल:
दिया गया है: परवलय y2=16x
P=(1,4)
नाभि S=(4,0)
चूँकि PQ नाभीय जीवा है: t1t2=1
(1,4)=(at12,2at1)=(4t12,8t1), लेकिन a=48t1=4t1=12
और t2=2
Q(at22,2at2)=(16,16)
अनुपात m:n=14:416=3:12=1:4
m2+n2=17

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 4:

यदि एक दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु( 3sin a , 5cosa) है, तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता क्या है?

  1. 4/3
  2. 4/5
  3. 3/4
  4. 1/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 4/5

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 4 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है कि दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु 3sinα, 5cosα है। दीर्घवृत्त के मानक प्राचलिक रूप में,

x=asinα,y=bcosα

हम पहचानते हैं

a=3,b=5

चूँकि (b > a), अर्ध-दीर्घ अक्ष (b = 5) और अर्ध-लघु अक्ष (a = 3) है। एक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता e है

e=1(semi-minor)2(semi-major)2=1a2b2

(a = 3) और (b = 5) प्रतिस्थापित करने पर:

e=13252=1925=1625=45

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 5:

अतिपरवलय 25x2- 75y2 = 225 की दो नाभियों के बीच की दूरी कितनी है?

  1. 23 इकाई
  2. 43 इकाई
  3. 6 इकाई
  4. 26 इकाई

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 43 इकाई

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 5 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

अतिपरवलय समीकरण: 25x275y2=225

मानक रूप प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 225 से विभाजित करने पर:

25x222575y2225=1x29y23=1

इस प्रकार, a2=9 और b2=3.

c2=a2+b2 से c की गणना करें:

c2=9+3=12c=12=23.

नाभियाँ (±c,0) पर हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी 2c निम्नवत है:

2c=2×23=43.

∴ दो नाभियों के बीच की दूरी 43 इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Top Parabola, Ellipse and Hyperbola MCQ Objective Questions

अतिपरवलय x2100y275=1 के लैटस रेक्टम की लम्बाई क्या है?

  1. 10
  2. 12
  3. 14
  4. 15

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 15

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

समीकरण 

x2a2y2b2=1

x2a2+y2b2=1

अनुप्रस्थ अक्ष का समीकरण 

y = 0

x = 0

संयुग्म अक्ष का समीकरण 

x = 0

y = 0

अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 

2a

2b

संयुग्म अक्ष की लम्बाई 

2b

2a

शीर्ष 

(± a, 0)

(0, ± b)

केंद्र-बिंदु 

(± ae, 0)

(0, ± be)

संचालिका

x = ± a/e

y = ± b/e

केंद्र

(0, 0)

(0, 0)

उत्केंद्रता 

1+b2a2

1+a2b2

नाभिकेंद्र की लम्बाई 

2b2a

2a2b

बिंदु (x, y) की फोकल दूरी

ex ± a

ey ± a

  • लैटस रेक्टम की लम्बाई = 2b2a

 

गणना:

दिया गया है: x2100y275=1

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: x2a2y2b2=1

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

∴ a = 10

लैटस रेक्टम की लम्बाई =  2b2a2×7510=15

अतिपरवलय x2100y275=1 की उत्केंद्रता क्या है?

  1. 34
  2. 54
  3. 74
  4. 73

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 74

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक अतिपरवलय  का मानक समीकरण:x2a2y2b2=1 

  • केंद्र-बिंदु का निर्देशांक = (± ae, 0)
  • उत्केंद्रता (e) = 1+b2a2 ⇔ a2e2 = a2 + b2
  • लैटस रेक्टम की लम्बाई = 2b2a

 

गणना:

दिया गया है: x2100y275=1

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: x2a2y2b2=1

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

अब, उत्केंद्रता (e) = 1+b2a2 

1+75100

1+34

74

अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।

  1. 2x2 - y2 = 1
  2. 16x2 - 2y2 = 1
  3. 6x2 - 2y2 = 1
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 16x2 - 2y2 = 1

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 8 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक आयताकार अतिपरवलय x2a2y2b2=1 के गुण निम्न हैं:

  • इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
  • इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
  • इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
  • इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है: e=a2+b2a
  • अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
  • संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
  • इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है: 2b2a

 

गणना:

यहाँ, हमें उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करना है जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब 2b2a द्वारा दिया जाता है

⇒ 2b2a=4

⇒ b2 = 2a

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता इसके द्वारा दी गई है: e=a2+b2a

⇒ a2e2 = a2 + b2

⇒ 9a2 = a2 + 2a

⇒ a = 1/4

∵ b2 = 2a

⇒ b2 = 1/2

तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण 16x2 - 2y2 = 1 है

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है। इसका समीकरण क्या है?

  1. x2 - y2 = 32
  2. x24y29=1
  3. 2x2 - 3y2 = 7
  4. y2 + x2 = 32

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x2 - y2 = 32

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना

अतिपरवलय का समीकरण है x2a2y2b2=1

अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

फिर से, b2=a2(e21)

 

गणना:

अतिपरवलय का समीकरण है x2a2y2b2=1 .... (1)

एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है।

हम जानते हैं कि अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

⇒ 2ae = 16

⇒ a = 1622 = 42

फिर से, b2=a2(e21)

b2=32(21)

b2=32

समीकरण (1) बन जाता है

x232y232=1

⇒ x 2 - y 2 = 32

उस दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है जिसके शीर्ष (± 5, 0) पर और केंद्र-बिंदु (± 4, 0) पर हैं?

  1. x225+y29=1
  2. x29+y225=1
  3. x216+y225=1
  4. x225+y216=1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x225+y29=1

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

दीर्घवृत्त का समीकरण: x2a2+y2b2=1

उत्केंद्रता​ (e) = 1b2a2

जहाँ, शीर्ष = (± a, 0) और केंद्र-बिंदु = (± ae, 0)

गणना:

यहाँ, दीर्घवृत्त का शीर्ष (± 5, 0) और केंद्र-बिंदु (±4, 0) है। 

इसलिए, a = ±5 ⇒ a2=25 और 

ae = 4 ⇒ e = 4/5

अब, 4/5 = 1b252

1625=25b22516=25b2b2=9

∴ दीर्घवृत्त का समीकरण = x225+y29=1

 अतः विकल्प (1) सही है।  

परवलय (y - 3)2 = 20(x - 1) का शीर्ष क्या है?

  1. (-3, -1)
  2. (5, 0)
  3. (1, 3)
  4. (0, 5)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : (1, 3)

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

परवलय:

समीकरण का मानक रूप: (y - k)2 = 4a(x - h)
अक्ष का समीकरण: y = k
शीर्ष: (h, k)
फोकस: (h + a, k)
संचालिका: x = h - a

 

गणना:

दिए गए समीकरण (y - 3)2 = 20(x - 1) की तुलना परवलय के सामान्य समीकरण (y - k)2 = 4a(x - h) के साथ करने पर, हम कह सकते हैं कि:

k = 3, a = 5, h = 1

शीर्ष (h, k) = (1, 3) है। 

परवलय y2 = x में शीर्ष और एक कोण θ पर x - अक्ष के प्रवृत्त से होकर गुजरने वाली जीवा की लम्बाई क्या है?

  1. sin θ ⋅ sec2 θ
  2. cos θ . cosec2 θ
  3. cot θ ⋅ secθ
  4. 2 tan θ ⋅ cosecθ

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : cos θ . cosec2 θ

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

उस बिंदु के निर्देशांक जहां जीवा परवलय को काटती है, परवलय के समीकरण को संतुष्ट करती है।

हिसाब:

F1 Shraddha Amar 14.01.2022 D6

दिया गया:

एक परवलय का समीकरण y 2 = x है।

जीवा OA द्वारा x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण θ है

माना परवलय की जीवा OA की लंबाई L है

अत: AM की लंबाई = L sinθ

और OM की लंबाई = L cosθ

अत: A का निर्देशांक = (L cos θ, L sin θ)

और यह बिंदु परवलय y= x के समीकरण को संतुष्ट करेगा।

⇒ (Lsin θ)= L cos θ

⇒L2 sinθ = L cos θ

⇒ L = cos θ. cosec2 θ

∴ जीवा की अभीष्ट लंबाई cos θ. cosec2 θ.

अतिपरवलय 16x2 – 9y2 = 1 की उत्केंद्रता क्या है?

  1. 35
  2. 53
  3. 45
  4. 54

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 53

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

समीकरण 

x2a2y2b2=1

x2a2+y2b2=1

अनुप्रस्थ अक्ष का समीकरण 

y = 0

x = 0

संयुग्म अक्ष का समीकरण 

x = 0

y = 0

अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 

2a

2b

संयुग्म अक्ष की लम्बाई 

2b

2a

शीर्ष 

(± a, 0)

(0, ± b)

केंद्र-बिंदु 

(± ae, 0)

(0, ± be)

संचालिका

x = ± a/e

y = ± b/e

केंद्र

(0, 0)

(0, 0)

उत्केंद्रता 

1+b2a2

1+a2b2

नाभिकेंद्र की लम्बाई 

2b2a

2a2b

बिंदु (x, y) की फोकल दूरी

ex ± a

ey ± a

 

गणना:

दिया गया है:

16x2 – 9y2 = 1

x2116y219=1

 x2a2y2b2=1 के साथ तुलना करने पर 

∴ a2 = 1/16 और b2 = 1/9

उत्केंद्रता = 1+b2a2=1+(19)(116)=1+169=259=53 

परवलय x2 = 16y का केंद्र बिंदु क्या है?

  1. (4, 0)
  2. (0, 4)
  3. (0, -4)
  4. (4, 4)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : (0, 4)

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

परवलय: बिंदु का वह मूल पथ जो इस प्रकार गति करता है जिससे निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी के बराबर (उत्केंद्रता = e =1) होती है। 

समीकरण

x2 = 4ay; 

शीर्ष 

(0, 0)

केंद्र बिंदु 

(0, a)

संचालिका का समीकरण 

y = -a

अक्ष का समीकरण 

x = 0

लैटस रेक्टम की लम्बाई 

4a

फ़ोकस दूरी

y + a

 

गणना:

दिया गया है: x2 = 16y

⇒ x2 = 4 × 4 × y

परवलय के मानक समीकरण x2 = 4ay के साथ तुलना करने पर

इसलिए, a = 4

अतः केंद्र बिंदु = (0, a) = (0, 4)

दीर्घवृत्त x225+y249=1 के नाभिलंब की लंबाई क्या है?

  1. 985
  2. 507
  3. 257
  4. 495

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 507

Parabola, Ellipse and Hyperbola Question 15 Detailed Solution

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अवधारणा:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण, x2a2+y2b2=1 है

                  quesImage6642 

नाभिलंब की लंबाई , L.R = 2a2b , यदि  b > a

गणना:

x225+y249=1 ,

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर , a = 5 और b = 7 

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लंबाई = 2a2b है

⇒ L.R = 2×527 =  507 

सही विकल्प 2 है।

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