Linear Inequations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Inequations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

असमिका: (x + 2)/(x + 3) > 1

प्रयुक्त सूत्र:

(a/b) > 1 के रूप की परिमेय असमिका के लिए, हम महत्वपूर्ण बिंदुओं और अंतरालों के बीच परीक्षण मानों का विश्लेषण करते हैं।

गणना:

(x + 2)/(x + 3) > 1

⇒ (x + 2) - (x + 3) > 0

⇒ x + 2 - x - 3 > 0

⇒ -1 > 0

यह संभव नहीं है।

चूँकि असमिका कभी संतुष्ट नहीं होती है, इसलिए कोई धनात्मक पूर्णांक हल नहीं हैं।

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

गणना:

दिया गया है,

असमिका इस प्रकार है: $k<(\surd 2+1{)}^3<k+2$, जहाँ k एक प्राकृत संख्या है।

हमें $(\surd 2+1{)}^3$ की गणना करने की आवश्यकता है।

$(\surd 2+1{)}^3=2\surd 2+6+3\surd 2+1=5\surd 2+7$

√ 2≈ 1.414 का सन्निकटन करते हुए, हम पाते हैं:

$5\surd 2+7\approx 5\times 1.414+7=7.07+7=14.07$

असमिका निम्नवत हो जाती है:

$k<14.07<k+2$

इसका अर्थ है कि k > 12.07, इसलिए k का सबसे छोटा पूर्णांक मान है:

$k=13$

∴ k का मान 13 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

संप्रत्यय:

असमिका का हल क्षेत्र:

• किसी असमिका का हल क्षेत्र उन सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है जो असमिका को संतुष्ट करते हैं।
• रैखिक असमिकाओं के लिए, हल क्षेत्र आमतौर पर एक अर्धतल या रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र होता है।
• दी गई असमिका है: 2x + 4y ≤ 9।
• हम असमिका को एक रेखा समीकरण के रूप में लिख सकते हैं: 2x + 4y = 9 और इसे निर्देशांक तल पर आलेखित कर सकते हैं।
• हल क्षेत्र में वे सभी बिंदु शामिल होते हैं जो असमिका को संतुष्ट करते हैं, जो आमतौर पर रेखा का एक भाग होता है।

गणना:

दी गई असमिका है: 2x + 4y ≤ 9

सबसे पहले, असमिका को एक रेखा के समीकरण के रूप में लिखें:

2x + 4y = 9

अब, y के लिए हल करें:

4y = 9 - 2x

y = (9 - 2x) / 4

y = 9/4 - x/2

रेखा की ढलान -1/2 है और y-अंतःखंड 9/4 है।

निर्देशांक तल पर रेखा y = (9 - 2x)/4 को आलेखित करें।

हल क्षेत्र इस रेखा के नीचे का क्षेत्र होगा क्योंकि असमिका ≤ है (अर्थात, असमिका को संतुष्ट करने वाले बिंदु रेखा के नीचे या पर स्थित हैं)।

इस प्रकार, हल क्षेत्र रेखा 2x + 4y = 9 के नीचे और उस पर स्थित अर्धतल है।

∴ हल क्षेत्र रेखा 2x + 4y = 9 के नीचे और उस पर स्थित क्षेत्र है।

गणना:

सुसंगत क्षेत्र x - 2y = 2, 4x + 5y = 20 के मूलबिंदु की ओर और 5x + 2y = 10 के मूलबिंदु से विपरीत दिशा में, प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

इसलिए, सही आलेखीय हल समुच्चय चित्र 2 है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

असमिकाएँ और ऋणात्मक संख्याओं से भाग:

• जब हम किसी असमिका को किसी ऋणात्मक संख्या से विभाजित या गुणा करते हैं, तो असमिका चिह्न उलट जाता है।
• दिया गया है: a, b, x ∈ ℝ और a < b, और x < 0
• यह एक क्लासिक मामला है जहाँ हम किसी असमिका के दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक राशि से विभाजित करते हैं।
• यदि a < b और x < 0, तो दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर असमिका उलट जाएगी।

गणना:

दिया गया है,

a < b और x < 0

असमिका a < b के दोनों पक्षों को x से विभाजित करें

⇒ a / x > b / x (चूँकि x ऋणात्मक है)

∴ a / x > b / x

[सही विकल्प (2) है]

संकल्पना:

दिया गया है $\frac{1}{5}\left(\frac{3x}{5}+4\right)\ge \frac{1}{3}(x-6)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 3\left(\frac{3x}{5}+4\right)\ge 5(x-6)\\ \Rightarrow \left(\frac{9x}{5}+12\right)\ge 5x-30\\ \Rightarrow \left(30+12\right)\ge -\frac{9x}{5}+5x\\ \Rightarrow 42\ge \frac{-9x+25x}{5}\\ \Rightarrow 42\ge \frac{16x}{5}\\ \Rightarrow \frac{42\times 5}{16}\ge x\\ \Rightarrow x\le \frac{105}{8}\end{array}$

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है। 

संकल्पना:

असमानता का प्रयोग करके तुलना करने पर:

किसी दो वास्तविक संख्या $a$ और $b$ के लिए यदि $|\mathrm{a}|<|\mathrm{b}|$  है, तो${\mathrm{a}}^2<{\mathrm{b}}^2$ है। 

गणना:

दिए गए असमानता का प्रयोग करने और निम्न रूप में आगे बढ़ने पर:

$$\begin{gathered} |2\mathrm{x}-3|<|\mathrm{x}+5| \\ (2\mathrm{x}-3{)}^2<(\mathrm{x}+5{)}^2 \\ 4{\mathrm{x}}^2+9-12\mathrm{x}<{\mathrm{x}}^2+25+10\mathrm{x} \\ 3{\mathrm{x}}^2-22\mathrm{x}-16<0 \\ 3{\mathrm{x}}^2-24\mathrm{x}+2\mathrm{x}-16<0 \\ 3\mathrm{x}(\mathrm{x}-8)+2(\mathrm{x}-8)<0 \\ (3\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}-8)<0 \end{gathered}$$

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि$(-{\displaystyle \frac{2}{3}},8)$ है।

संकल्पना:

असमिकाओं पर संचालन के नियम:

• असमिका के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या को घटाना असमिका के चिह्न की दिशा को नहीं बदलता है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

गणना

दिया हुआ: 0 < − x/2 < 3

उपरोक्त असमिका में 2 से गुणा करें (यहाँ 2 एक धनात्मक संख्या है इसलिए असमिका की दिशा नहीं बदलती है)

⇒ 0 < −x < 6

⇒ −6 < x < 0

संकल्पना:

असमिकाओं पर संचालन के नियम:

• असमिका के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या को घटाना असमिका के चिह्न की दिशा को नहीं बदलता है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

गणना:

दिया हुआ:

$\frac{2x+4}{x-1}\ge 5$

$\Rightarrow \frac{2x+4}{x-1}-5\ge 0$

$\Rightarrow \frac{2x+4-5(x-1)}{x-1}\ge 0$

$\Rightarrow \frac{2x+4-5x+5}{x-1}\ge 0$

$\Rightarrow \frac{9-3x}{x-1}\ge 0$

$\Rightarrow \frac{-3(x-3)}{x-1}\ge 0$

एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या (-1/3) से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

$\Rightarrow \frac{(x-3)}{x-1}\le 0$, यहाँ x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

अवधारणा:

हल समुच्चय: x के सभी संभावित मानों का समुच्चय।

जब (a > 0 और b < 0) या (a < 0 और b > 0) तो $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}<0$

जब (a > 0 और b > 0) या (a < 0 और b < 0) तो $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}>0$

गणना:

यहां, $\frac{1}{x-2}<0$

इसलिए, x - 2 < 0

⇒ x < 2

∴ x ∈ (-∞ , 2)

गणना:

यहाँ, प्रतिबन्ध: x ≤ 40, y ≤ 20 और x, y ≥ 0 

हमें P का न्यूनतम मान मिलता है केवल जब x = 0 और y = 0

तो P = 6(0) + 16(0) = 0

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

दिया गया है $\frac{x}{4}>\frac{x}{2}+1$

$\Rightarrow \frac{x}{4}-\frac{x}{2}>1$

$\Rightarrow \frac{x-2x}{4}>1$

$\Rightarrow \frac{-x}{4}>1$

$\Rightarrow \frac{-x}{4}>1$

$\Rightarrow -x>4$

$\Rightarrow x<-4$

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है। 

अवधारणा

यदि f (x) = |x|, तब 

गणना:

दिया गया है: |x² - 3x + 2| > x² - 3x + 2

स्थिति-1: यदि x ≥ 0

⇒ x² - 3x + 2 > x² - 3x + 2

∴ x का कोई भी वास्तविक मान उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नही करता है।

स्थिति -2:- यदि x < 0

⇒ - (x² - 3x + 2) > x² - 3x + 2

⇒ x² - 3x + 2 < 0

⇒ (x - 1) (x - 2) < 0

संकल्पना:

सबसे पहले, "बराबर" रेखा को आरेखित करें, फिर सही क्षेत्र में छायांकित करें।

तीन चरण हैं:

• समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि "y" बाईं ओर और दाईं ओर बाकी सब कुछ हो।
• "y =" रेखा को प्लॉट करें (इसे y ≤ या y ≥ के लिए एक ठोस रेखा और y < या y > के लिए एक डैश रेखा बनाएं)
• "से अधिक" (y > या y ≥) के लिए रेखा के ऊपर या "से कम" (y < या y≤) के लिए रेखा के नीचे छायांकित करें।

गणना:

दिया हुआ: अवरोध –x + y ≤ 1, −x + 3y ≤ 9 और x, y ≥ 0

–x + y ≤ 1

⇒ y ≤ 1 + x

इसलिए रेखा के नीचे छायांकित करें।

−x + 3y ≤ 9

3y ≤ 9 + x

⇒ y ≤ 3 + x/3

इसलिए रेखा के नीचे छायांकित करें।

हम ऊपरवाले आरेख क्षेत्र के माध्यम से अपरिबद्ध संभव स्थान है यह देख सकते हैं 

संकल्पना:

असमिकाओं पर संचालन के नियम:

• असमिका के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या को घटाना असमिका के चिह्न की दिशा को नहीं बदलता है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

गणना:

दिया हुआ:

$\frac{4}{x}<\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{4}{x}-\frac{1}{3}<0$

$\Rightarrow \frac{12-x}{3x}<0$

$\Rightarrow \frac{-(x-12)}{3x}<0$

• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

$\Rightarrow \frac{(x-12)}{3x}>0$, यहाँ x ≠ 0

∴ x < 0 या x > 12