Vector Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

सदिश $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ मात्रक सदिश हैं।

चूँकि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ मात्रक सदिश हैं, हम जानते हैं:

$|\overrightarrow{a}|=1\text{और}|\overrightarrow{b}|=1$.

सदिश गुणनफल $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta =1\times 1\times \sin \theta =\sin \theta$.

चूँकि $(|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=1$ है, हमारे पास है:

$\sin \theta =1$, इसलिए $\theta ={90}^{\circ }$, जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ लंबवत हैं।

अदिश गुणनफल $(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$ है:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta =1\times 1\times \cos {90}^{\circ }=0$.

∴ $(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$ का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

बिंदु A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ हैं, और $\overrightarrow{c}={\cos }^2\theta \overrightarrow{a}+{\sin }^2\theta \overrightarrow{b}$ है। 

जिसका मान ज्ञात करना है वह व्यंजक है: $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})+(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})$.

सबसे पहले, समीकरण में $\overrightarrow{c}$ को प्रतिस्थापित करने पर:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})+(\overrightarrow{b}\times ({\cos }^2\theta \overrightarrow{a}+{\sin }^2\theta \overrightarrow{b}))+({\cos }^2\theta \overrightarrow{a}+{\sin }^2\theta \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{a}$.

सदिश गुणनफल के वितरण गुण का उपयोग करने पर:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})+[(\overrightarrow{b}\times {\cos }^2\theta \overrightarrow{a})+(\overrightarrow{b}\times {\sin }^2\theta \overrightarrow{b})]+[({\cos }^2\theta \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a})+({\sin }^2\theta \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a})]$.

चूँकि $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}=0$ और $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=0$, हमारे पास निम्न शेष है:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})+{\cos }^2\theta (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a})+{\sin }^2\theta (-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$.

व्यंजक में $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}=-(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ को प्रतिस्थापित करने पर:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})+{\cos }^2\theta (-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})+{\sin }^2\theta (-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$.

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ को बाहर निकालने पर:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}[1-{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ]$.

चूँकि ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, व्यंजक बन जाता है:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}[1-1]=0$.

∴ अंतिम परिणाम $\overrightarrow{0}$ है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

$3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0$

$\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}$

सदिश $\overrightarrow{AB}$ है:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

सदिश $\overrightarrow{BC}$ है:

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}$ प्रतिस्थापित करने पर:

$\overrightarrow{BC}=(4\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a})-\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}$

चरण 4: अब, $\overrightarrow{BC}=3(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$, जो निम्न देता है:

$AB:BC=1:3$

∴ सही अनुपात AB : BC = 1 : 3 है,

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

सदिश $\overrightarrow{d}=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}$

कथन I: $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के साथ समतलीय है।

हम इस सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}$.

यह दर्शाता है कि $\overrightarrow{d}$ $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ का एक रैखिक संयोजन है, इसलिए $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के साथ समतलीय है।

इसलिए, कथन I सही है।

कथन II: $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{c}$ के लंबवत है।

इसे जाँचने के लिए, अदिश गुणनफल ​$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{c}$ की गणना करें। सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करके, हम पाते हैं:

$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})=0$,

जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{d}$ $\overrightarrow{c}$ के लंबवत है।

इसलिए, कथन II सही है।

∴ कथन I और कथन II दोनों सही हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

${\cos }^2(\alpha )+{\cos }^2(\beta )+{\cos }^2(\gamma )=1$

सर्वसमिका ${\cos }^2(x)=1-{\sin }^2(x)$ का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

$(1-{\sin }^2(\alpha ))+(1-{\sin }^2(\beta ))+(1-{\sin }^2(\gamma ))=1$

समीकरण को सरल करने पर:

$3-({\sin }^2(\alpha )+{\sin }^2(\beta )+{\sin }^2(\gamma ))=1$

साइन पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

${\sin }^2(\alpha )+{\sin }^2(\beta )+{\sin }^2(\gamma )=2$

अब, अदिश गुणनफल की गणना करने पर:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\sin }^2(\alpha )+{\sin }^2(\beta )+{\sin }^2(\gamma )=2$

∴  $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ का मान 2 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

धारणा:

संरेखीय वेक्टर की स्थितियां:

• स्थिति वेक्टर $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}and\overrightarrow{c}$ के साथ तीन बिंदु संरेखीय हैं यदि और केवल यदि वेक्टर $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ और $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\right)$ समानांतर हैं। ⇔$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\lambda \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\right)$
• यदि बिंदु (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) संरेखीय हैं तो $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0$

समाधान:

हम जानते हैं कि, यदि  (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) अंक समरेख हो तो

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0$

 दिया हुआ  $\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$, $\lambda \hat{i}+4\hat{j}+7\hat{k}$, $-3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k}$  समरेख है

∴ $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \lambda & 4& 7\\ -3& -2& -5\end{array}\right|=0$

⇒ 1 (-20 + 14) – (2) (-5λ + 21) + 3 (-2λ + 12) = 0

⇒ -6 + 10λ – 42 - 6λ + 36  = 0

⇒ 4λ = 12

∴ λ = 3

संकल्पना:

माना कि $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{y}\overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{z}\overrightarrow{\mathrm{k}}$ है, तो a के सदिश का परिमाण =$\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2}$

गणना:

माना कि $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = p(2î - ĵ + 2k̂) है। 

दिया गया है, $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=3$

⇒ $\sqrt{4{\mathrm{p}}^2+{\mathrm{p}}^2+4{\mathrm{p}}^2}=3$

⇒ $\sqrt{9{\mathrm{p}}^2}=3$

⇒ 3p = 3

∴ p = 1

संकल्पना:

दो सदिशों के बिंदु गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\overrightarrow{\mathrm{A}}.\overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\mathrm{A}\right|\times \left|\mathrm{B}\right|\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta$

दो सदिशों के अन्योन्य/सदिश गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\overrightarrow{\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\mathrm{A}\right|\times \left|\mathrm{B}\right|\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \times \hat{\mathrm{n}}$

जहां θ, $\overrightarrow{\mathrm{A}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{B}}$ बीच का कोण है

गणना:

ज्ञात करना है: $\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{a}}$ का मान

यहाँ उनके बीच का कोण 0° है

$\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{a}}=\left|\mathrm{a}\right|\times \left|\mathrm{a}\right|\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}0\times \hat{\mathrm{n}}=0$

संकल्पना:

यदि $\overrightarrow{\mathrm{A}}=\mathrm{x}\hat{\mathrm{i}}-\mathrm{y}\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{z}\hat{\mathrm{k}}$ है, तो $|\overrightarrow{\mathrm{A}}|=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2}$ है। 

गणना:

दिया गया है A = $5\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}+4\hat{\mathrm{k}}$ और B = $\hat{\mathrm{i}}+3\hat{\mathrm{j}}-7\hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}$

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = $\hat{\mathrm{i}}+3\hat{\mathrm{j}}-7\hat{\mathrm{k}}-(5\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}+4\hat{\mathrm{k}})$

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = $-4\hat{\mathrm{i}}+5\hat{\mathrm{j}}-11\hat{\mathrm{k}}$

अब $|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}|=\sqrt{(-4{)}^2+5^2+(-11{)}^2}$

$|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}|=\sqrt{16+25+121}$

$|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}|=\sqrt{162}$ = 9√2

संकल्पना:

यदि बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है, तो तीन या तीन से अधिक बिंदुओं को संरेखीय कहा जाता है। 

यहाँ, $5\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}},8\hat{\mathrm{i}}-3\hat{\mathrm{j}},\mathrm{a}\hat{\mathrm{i}}-12\hat{\mathrm{j}}$

माना कि, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12) है। 

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान ....(∵ बिंदु संरेखीय हैं।)

 $$\begin{gathered} \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{\mathrm{a}-8} \\ \Rightarrow \frac{-1}{3}=\frac{-9}{\mathrm{a}-8} \end{gathered}$$

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

दो सदिश $\overrightarrow{m}and\overrightarrow{n}$ के संरेखीय होने के लिए​ $\overrightarrow{m}=\lambda \overrightarrow{n}$ है, जहाँ λ अदिश है। 

गणना:

दिया गया है कि, सदिश$4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ & $p\hat{i}+q\hat{j}-2\hat{k}$संरेखीय हैं।

चूँकि दो सदिश $\overrightarrow{m}and\overrightarrow{n}$ संरेखीय हैं, तो $\overrightarrow{m}=\lambda \overrightarrow{n}$ है, जहाँ λ अदिश है।

⇒ $4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}=\lambda \times (p\hat{i}+q\hat{j}-2\hat{k})$

⇒ $4\hat{i}+1\hat{j}-3\hat{k}=\lambda p\hat{i}+\lambda q\hat{j}-2\lambda \hat{k}$

⇒ λp = 4,  λq = 1 और -2λ = -3

⇒  λ = 3/2

इसलिए, λp = 4 और λq = 1 में λ = 3/2 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (3/2)p = 4 और (3/2)q = 1

⇒ p = 8/3 और q  = 2/3

∴  $\frac{8}{3},\frac{2}{3}$ सही उत्तर है।

धारणा:

यदि $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}and\overrightarrow{b}=b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ तो $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\times \left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta$

गणना:

दिया हुआ: $\overrightarrow{a}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=7,\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{26}and\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-7$

$\Rightarrow \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\times \left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-7}{7\times \sqrt{26}}=-\frac{1}{\sqrt{26}}$

$\Rightarrow {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-\frac{1}{26}=\frac{25}{26}$

संकल्पना:

माना कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है। 

$\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=2\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta$

गणना:

माना कि, $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$के बीच का कोण $\theta$ है। 

दिया गया है, $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

⇒$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$

⇒$|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|-\overrightarrow{\mathrm{c}}|$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒$|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}{|}^2=|-\overrightarrow{\mathrm{c}}{|}^2$

⇒$|\overrightarrow{\mathrm{a}}{|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}+|\overrightarrow{\mathrm{b}}{|}^2=|-\overrightarrow{\mathrm{c}}{|}^2$

⇒$|\overrightarrow{\mathrm{a}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{b}}{|}^2+2\mathrm{a}\mathrm{b}\cos \theta =|-\overrightarrow{\mathrm{c}}{|}^2$

⇒$(3){|}^2+(5{)}^2+2(3)(5)\cos \theta =(7{)}^2$

⇒$30\cos \theta =15$

⇒$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

⇒ $\theta$ = π / 3

अतः यदि $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0},|\overrightarrow{a}|=3,|\overrightarrow{b}|=5$ और $|\overrightarrow{c}|=7$ तो $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$के बीच का कोण π / 3 है। 

संकल्पना:

यदि $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{b}}$ या $\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}=0$ है। 

गणना:

दिया गया है:

 $\overrightarrow{\mathrm{i}}-\mathrm{a}\overrightarrow{\mathrm{j}}+5\overrightarrow{\mathrm{k}}$ और $3\overrightarrow{\mathrm{i}}-6\overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{b}\overrightarrow{\mathrm{k}}$ समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, $\overrightarrow{\mathrm{i}}-\mathrm{a}\overrightarrow{\mathrm{j}}+5\overrightarrow{\mathrm{k}}=\lambda (3\overrightarrow{\mathrm{i}}-6\overrightarrow{\mathrm{j}}+\mathrm{b}\overrightarrow{\mathrm{k}})$

 $\overrightarrow{\mathrm{i}},\overrightarrow{\mathrm{j}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{k}}$के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ 1 = 3λ, ∴ λ = 1/3            

⇒ -a = -6λ 

⇒ 5 = bλ                 .... (1)

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

5 = b × (1/3)

अतः b = 15

गणना:

$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}},\overrightarrow{\mathrm{b}}=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ और c = î - ĵ - k̂

दिया गया है:  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ के तल में सदिश $\overrightarrow{\mathrm{v}}$,

इसलिए, $\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{b}}$

$\overrightarrow{\mathrm{v}}=(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+\lambda (\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$

= (1 + )î + (1 - λ)ĵ + (1 + λ)k̂ .... (1)

$\frac{\overrightarrow{\mathrm{c}}}{|\overrightarrow{\mathrm{c}}|}$ पर $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ का प्रक्षेपण = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\overrightarrow{\mathrm{v}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{c}}}{|\overrightarrow{\mathrm{c}}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ $\frac{(1+\lambda )-(1-\lambda )-(1+\lambda )}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ -(1 - λ) = 1

∴ λ = 2 

अब, λ का मान समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है 

$\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = 3î - + 3k̂