Principal Values MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Principal Values - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

• मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: सभी वास्तविक x के लिए sin²x + cos²x = 1 सत्य है।
• sin²x + cos²x = 1 + sin2x की तुलना करने पर 1 = 1 + sin2x ⇒ sin2x = 0।
• tanθ मान: tan15° = 2 - √3, tan75° = 2 + √3, tan45° = 1
• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: सभी x ∈ [-1, 1] के लिए sin^-1x + cos^-1x = π/2
• tanx = √3 ⇒ x = π/3 + nπ. हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए अंतराल में गणना करें।

गणना:

दिया गया है, [0, 2π] में sin²x + cos²x = 1 + sin2x

⇒ sin²x + cos²x = 1

⇒ 1 = 1 + sin2x

⇒ sin2x = 0

⇒ 2x = nπ

⇒ x = nπ/2

⇒ x ∈ [0, 2π]

⇒ x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π

⇒ कुल 5 मान

⇒ इन पर sin2x = 0 जांचें

⇒ सभी 5 के लिए मान्य

⇒ LHS = 1, RHS = 1 + 0 = 1

⇒ समीकरण मान्य है

⇒ लेकिन sin²x + cos²x = 1 हमेशा, इसलिए केवल तभी मान्य जब sin2x = 0

⇒ इसलिए हलों की संख्या = 5

⇒ लेकिन LHS = RHS से विरोधाभास के कारण, वास्तविक मान्य हल वे हैं जहाँ केवल sin2x = 0

⇒ इस प्रकार, a → P = 2 हल

अब, tan15° + tan75° - tan45°

(2 - √3) + (2 + √3) - 1

4 - 1 = 3

⇒ b → Q

[0, 3π] में tanx = √3

⇒ tanx = √3

⇒ x = π/3 + nπ

⇒ सामान्य हल: x = π/3, 4π/3, 7π/3

⇒ सभी ≤ 3π

⇒ c → R = 3 हल

इसके अलावा, cos^-1(x) + sin^-1(x) = π/2

⇒ सभी x ∈ [-1, 1] के लिए सर्वसमिका सत्य है

⇒ अनंत मान

⇒ d → S

इसलिए, सही मिलान:
(a) → P
(b) → Q
(c) → R
(d) → S
इसलिए, सही विकल्प (B) है।

व्याख्या:

यदि sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x, θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए,

cot (cot^-1 x) =x, x ∈ R के लिए,

हमें प्राप्त है, $\cot [{\cos }^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)]$

माना ${\cos }^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)$= θ

⇒ cosθ = 7/25

⇒ sinθ = 24/25

⇒ cotθ = 7/24

∴  $\cot [{\cos }^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)]$

= cotθ 

= 7/24

व्याख्या:

यदि sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x,  θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए,

sin (sin^-1 x) =x, -π/2 ≤ x ≤ π/2  के लिए

हमारे पास है, ${\sin }^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$

= sin^-1(sin( $\frac{-\pi }{3}$))  ----- चूँकि  $\frac{-\pi }{3}$ ∈ [$\frac{-\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$]

∴ sin-1(sin( $\frac{-\sqrt{3}}{2}$)) = $\frac{-\pi }{3}$

Additional Informationव्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का मुख्य मान:

गणना

16(sec⁻¹ x)² + (cosec⁻¹ x)²

${\mathrm{Sec}}^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{a}\in [0,\pi ]-\left\{\frac{\pi }{2}\right\}$

${\mathrm{cosec}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{a}$

= $16[{\mathrm{a}}^2+{(\frac{\pi }{2}-\mathrm{a})}^2]=16[2{\mathrm{a}}^2-\pi \mathrm{a}+\frac{{\pi }^2}{4}]$

$max{]}_{a=\pi }=16[2{\pi }^2-{\pi }^2+\pi \frac{2}{4}]=20{\pi }^2$

$min{]}_{a=\frac{\pi }{4}}=16[\frac{2\times {\pi }^2}{16}-\frac{{\pi }^2}{4}+\frac{{\pi }^2}{4}]=2{\pi }^2$

योग = 22π²

अतः विकल्प 4 सही है। 

गणना

दिया गया है,

tan^-1x + tan^-1 2x = $\frac{\pi }{4}$; x > 0

⇒ tan-1 2x = $\frac{\pi }{4}$ - tan-1x

दोनों पक्षों में tan लेने पर

⇒ 2x = $\frac{1-x}{1+x}$

⇒ 2x² + 3x - 1 = 0

⇒ x = $\frac{-3\pm \sqrt{9+8}}{8}=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{8}$

एकमात्र संभव मान, x = $\frac{-3+\sqrt{17}}{8}$

इसलिए विकल्प (2) सही है। 

दिया गया है:

$\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय समीकरण के मुख्य समाधान वे समाधान होते हैं जो 0 और 2π के बीच होते हैं।

सूत्र:

tan(x) = tan(α) का सामान्य हल इस प्रकार दिया गया है;

x = nπ + α जहां α ∈ (-π/2 , π/2) और n ∈ Z है

गणना:

∵ $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ tan(x) = tan(-π/6)

∴ α = -π/6

⇒ x = nπ + (-π/6) , n ∈ Z

n = 1 और 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है -

x = 5π/6 और 11π/6

संकल्पना:

sin-1 (sin x) = x

गणना:

संकल्पना:

sin (π - θ) = sin θ 

${\sin }^{-1}(sinx)=x$, x ∈ [$\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}$]

गणना:

${\sin }^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{3\pi }{5})$

$={\sin }^{-1}[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi -\frac{2\pi }{5})]$

$={\sin }^{-1}(sin\frac{2\pi }{5})$                       (∵ sin (π - θ) = sin θ)

$=\frac{2\pi }{5}$

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:​ 

यदि $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ है, तो sin-1 (sin θ ) = θ है। 

गणना:

हमारे पास θ = 9 रेडियन है, जो $-\frac{\pi }{2}$ और $\frac{\pi }{2}$के बीच में नहीं है। लेकिन 3π - θ अर्थात् 3π - 9, $-\frac{\pi }{2}$ और $\frac{\pi }{2}$ के बीच में है।  

साथ ही, sin (3π - 9) = sin 9

∴  sin^-1 (sin 9) = sin^-1 ( sin (3π - 9) ) = 3π - 9

सही विकल्प 4 है। 

Alternate Method 

Referring to the graph of the given periodic function,

For x = 9 ϵ [2.5π  3π]

⇒ sin-1 (sin x) = - (x -3π) =  3π - x 

⇒ sin-1 (sin 9) = - (9 -3π) =   3π - 9

संकल्पना:

त्रिकोणमिति सर्वसमिका:

व्युत्क्रम त्रिकोणमिति फलन के प्रमुख मान:

ऋणात्मक तर्क के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमिति फलन:

गणना:

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर, हम निम्न रूप में दिए गए समीकरण का प्रमुख मान ज्ञात कर सकते हैं:

${\sin }^{-1}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+{\cos }^{-1}(\cos \left({\displaystyle \frac{7\pi }{6}}\right))$

$=-{\sin }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\cos }^{-1}(\cos (\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{6}}))$

$=-{\sin }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\cos }^{-1}(-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

$=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+(\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

$={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

वर्णन:

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान:

दिया गया है: x∈ [-π/2, π/2] 

sin-1 (sin x) = x

संकल्पना:

cos (-θ) = cos θ 

$\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

गणना:

x = ${\tan }^{-1}[\cos (-\frac{\pi }{2})]$

x = ${\tan }^{-1}[\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)]$

x = ${\tan }^{-1}\left[0\right]$

∵ प्रमुख मान ∈ $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ हो सकता है। 

∴ x = 0

अवधारणा:

गणना: 

जैसा कि हम जानते हैं sin-1 (-x) = - sin-1 x

तो ${\sin }^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)=-{\sin }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

माना कि ${\sin }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ = θ 

⇒ sin θ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = sin 45° 

∴ θ = 45° 

इसलिए ${\sin }^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$ = -θ = -45°

अवधारणा:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के मुख्य मान:

गणना:

मान कि sin-1 2x = y

⇒ 2x = sin y

हम जानते हैं कि, साइन फलन का अधिकतम और न्यूनतम मान -1 से 1 के बीच होता है

⇒ -1 ≤ sin y ≤ 1

⇒ -1 ≤ 2x ≤ 1

उपरोक्त असमिका के लिए sin-1 लागू करें

⇒ sin-1 (-1) ≤ sin-1 2x ≤ sin-1 (1)

⇒ (-π /2) ≤ sin-1 2x ≤ (π /2)

इसलिए, sin-1 2x का मुख्य मान अंतराल $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ में है

व्याख्या:

यदि sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x, θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए,

cot (cot^-1 x) =x, x ∈ R के लिए,

हमें प्राप्त है, $\cot [{\cos }^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)]$

माना ${\cos }^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)$= θ

⇒ cosθ = 7/25

⇒ sinθ = 24/25

⇒ cotθ = 7/24

∴  $\cot [{\cos }^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)]$

= cotθ 

= 7/24