Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 7, 2025
Latest Inverse Trigonometric Functions MCQ Objective Questions
Inverse Trigonometric Functions Question 1:
Comprehension:
निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
माना कि \(y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right)\) है।
\(\frac{dy}{dx}\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 1 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
फलन है \( y = 3 \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \), और हमें y का अवकलज, अर्थात \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करना है।
\( \sin^{-1}(u) \) का सामान्य अवकलज है:
\( \frac{d}{dx} \sin^{-1}(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} \), जहाँ \( u = \frac{x}{3} \)
\( \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} \)
y का अवकलज ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम लागू करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{x}{3} \right)^2}} \times \frac{1}{3} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \)
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।
Inverse Trigonometric Functions Question 2:
Comprehension:
निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
माना कि \(y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right)\) है।
y किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 2 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
फलन \( y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right) \)है, और हमें इसे सरल करना है।
\( y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right) \)
हम देखते हैं कि हम व्यंजक को इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं:
\( x - \frac{4x^3}{27} = \left( \frac{x}{3} \right) \left( 3 - 4 \left( \frac{x}{3} \right)^3 \right) \)
इस प्रकार, फलन बन जाता है:
\( y = \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \left( 3 - 4 \left( \frac{x}{3} \right)^3 \right) \right) \)
यह देखते हुए कि यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एक ज्ञात सर्वसमिका के अनुरूप है:
\( \sin^{-1}(3x) = 3 \sin^{-1} \left( x \right) \)
इस प्रकार, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
\( y = 3 \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \)
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।
Inverse Trigonometric Functions Question 3:
यदि है, तो k का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
\( \tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \)
व्युत्क्रम स्पर्शज्या के लिए निम्न योग सूत्र का प्रयोग करें:
\( \tan^{-1}(a) + \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a + b}{1 - ab}\right) \)
\(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \) के लिए इसका उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( \tan^{-1}\left(\frac{k + \frac{1}{2}}{1 - k \cdot \frac{1}{2}}\right) = \frac{\pi}{4} \)
चूँकि \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \)है, हमारे पास है:
\( \frac{k + \frac{1}{2}}{1 - \frac{k}{2}} = 1 \)
\( k + \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2} \)
\( 2k + 1 = 2 - k \)
\( 2k + k = 2 - 1 \)
\( 3k = 1 \)
\( k = \frac{1}{3} \)
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।
Inverse Trigonometric Functions Question 4:
समीकरण \(\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^{2} \theta}\right)\) के वास्तविक हलों की कुल संख्या है
(यहाँ, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन sin-1x और tan-1x क्रमशः \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) और \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) में मान लेते हैं।)
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 4 Detailed Solution
संप्रत्यय:
- इस प्रश्न में tan-1 और sin-1 की प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया गया है।
- समीकरण को सरल करने के लिए sin(2φ) की सर्वसमिका लागू की जाती है:
- sin(2φ) = 2tanφ / (1 + tan2φ)
- φ के विभिन्न मामलों में (-π, π) के लिए डोमेन प्रतिबंधों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया जाता है।
गणना:
मान लीजिये \(\frac{\tan \theta}{3}\) = tan φ
⇒ 2tan θ / (1 + tan2θ) = sin 2φ
⇒ θ = tan-1(2 tan θ) − ½ sin-1(sin 2φ)
मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
⇒ φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]\)
⇒ tan φ ∈ (−1, 1), tan θ ∈ (−3, 3)
स्थिति 1:
मान लीजिये 2φ = \(\theta - \phi\)
⇒ tan θ = tan-1(2 tan θ) − φ
⇒ tan 2τ = tan θ / 3
⇒ τ = tan-1((1/3), 0, 1, −1)
⇒ tan θ = 0, 1, −1, 3/2
⇒ θ ∈ 0, 1, −1 और सभी डोमेन में हैं
स्थिति 2:
मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)
⇒ θ = tan-1(2 tan θ) − (π − 2φ)
⇒ tan 2τ = cot θ = 1 / tan θ
⇒ θ = tan-1(3/2)
⇒ τ = tan-1(3/2)
इसलिए, θ = tan-1(3/2), −2π/3, −π/3 ∴ θ = 1 = φ
स्थिति 3:
मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, -\pi\right]\)
⇒ θ = tan-1(2 tan θ) − (−π − 2φ)
⇒ इसी प्रकार अन्य स्थितियों में आगे बढ़ें।
∴ कुल मान्य θ मान 3 हैं।
Inverse Trigonometric Functions Question 5:
यदि \(\rm \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{2 x}\right)=\frac{\pi}{3}\) के सभी हलों का योग \(\rm α-\frac{4}{\sqrt{3}}\) है, जहाँ -1 < x < 1, x ≠ 0, तो α बराबर है ____।
Answer (Detailed Solution Below) 2
Inverse Trigonometric Functions Question 5 Detailed Solution
गणना:
स्थिति I : x > 0
\(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}=\frac{\pi}{3}\)
x = 2 - √3
स्थिति II : x < 0
\(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\pi=\frac{\pi}{3}\)
\(x=\frac{-1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \alpha=2\)
अतः सही उत्तर 2 है।
Top Inverse Trigonometric Functions MCQ Objective Questions
यदि 4 tan-1 x + cot‑1 x = π है, तो x किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
\(\rm \cot \theta = \tan \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\).
\(\tan^{-1} x = \dfrac{\pi}{2}-\cot^{-1} x\)
गणना:
4 tan-1 x + cot‑1 x = π
\( 4\tan^{-1}x+\left(\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)=\pi\)
\(3\tan^{-1}x=\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\)
\( \tan^{-1}x=\dfrac{\pi}{6}\)
\(x=\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}\).
\(\rm cot^{-1}{1\over3} - 2 \tan^{-1}{2\over3} = ?\)
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 7 Detailed Solution
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- \(\rm \tan^{-1}x + \tan^{-1}y=\tan^{-1}{x+y\over 1-xy}\)
- \(\rm cot^{-1}{x} = {\pi\over2}- \tan^{-1}{x}\)
- \(\rm 2tan^{-1}\ x =tan^{-1} ({\frac {2x}{1\ -\ x^2}})\)
गणना:
S = \(\rm cot^{-1}{1\over3} - 2 \tan^{-1}{2\over3} \)
S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{2\times \frac{2}{3}}\over1-{(\frac{2}{3})^2}}\)
S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{\frac{4}{3}}\over1-{\frac{4}{9}}}\)
S = \(\rm {\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3} - \tan^{-1}{\frac{12}{5}}\)
S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{12\over5}+\tan^{-1}{1\over3}\right]\)
S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{{12\over5}+{1\over3}\over1-{12\over5}\times{1\over3}}\right]\)
S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{41\over3}\right]\)
S = \(\rm \cot^{-1}{41\over3}\)
sin-1 4x का डोमेन क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 8 Detailed Solution
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- एक फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समुच्चय है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया गया है।
- sin θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
- sin-1 (sin θ) = θ
- sin (sin-1 x) = x
गणना:
मान लें कि sin-1 4x = θ।
⇒ sin (sin-1 4x) = sin θ
⇒ sin θ = 4x
चूँकि -1 ≤ sin θ ≤ 1
⇒ -1 ≤ 4x ≤ 1
⇒ \(\rm -\dfrac{1}{4}\leq x \leq \dfrac{1}{4}\)
⇒ x ∈ \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\)
∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\) ।
यदि sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3\pi}{4}\) है, तो cos-1 x + cos-1 y का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 9 Detailed Solution
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sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)
गणना:
sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\)
⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\)
⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)
⇒ cos-1 x + cos-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\)
सही विकल्प 2 है।
\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right)\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 10 Detailed Solution
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यदि \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\) है, तो \({\sin ^{ - 1}}\ (sin x) = x\) है लेकिन यदि\(x{ \notin }\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\) है, तो प्रमुख शाखा के अंदर x का मान लाने के लिए\(\sin x = \sin \left( {\pi - x} \right)\) का प्रयोग कीजिए।
हल:
\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right)\) but \(\frac{{4\pi }}{5}\notin{ }\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\)
इसलिए, संबंध का प्रयोग करने पर,
\(\sin \frac{{4\pi }}{5} = \sin \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{5}} \right)\)
\(= \sin \left( {\frac{\pi }{5}} \right)\)
इसलिए,
\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right) = {\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)\)
\( = \frac{\pi }{5}\)
यदि 3 sin-1 x + cos-1 x = π तो x का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]
गणना:
दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π
⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π
जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]
⇒ 2 sin-1 x + [π /2] = π
⇒ 2 sin-1 x = π - π/2
⇒ 2 sin-1 x = π/2
⇒ sin-1 x = π/4
⇒ x = sin π/4 = 1/√2
समीकरण \(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) का प्रमुख हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
\(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
संकल्पना:
त्रिकोणमितीय समीकरण के मुख्य समाधान वे समाधान होते हैं जो 0 और 2π के बीच होते हैं।
सूत्र:
tan(x) = tan(α) का सामान्य हल इस प्रकार दिया गया है;
x = nπ + α जहां α ∈ (-π/2 , π/2) और n ∈ Z है
गणना:
∵ \(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan(x) = tan(-π/6)
∴ α = -π/6
⇒ x = nπ + (-π/6) , n ∈ Z
n = 1 और 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है -
x = 5π/6 और 11π/6
cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 13 Detailed Solution
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tan-1 x + cot-1 x = \(\rm \frac {π}{2}\)
गणना:
ज्ञात करना है: cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) का मान
cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos 2(tan-1 x + cot-1 x)
जैसा कि हम जानते हैं, tan-1 x + cot-1 x = \(\rm \frac {π}{2}\)
cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos [2 × \(\rm \frac {π}{2}\) ]
= cos π
= -1
ΔABC में, AB = 20 सेमी, BC = 21 सेमी और AC = 29 सेमी है, तो cot C + cosec C - 2tan A का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
AB = 20 सेमी
BC = 21 सेमी
AC = 29 सेमी
प्रयुक्त अवधारणा:
पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
गणना:
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ 292 = 202 + 212
ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।
⇒ cot C = BC/AB = 21/20
⇒ cosec C = AC/AB = 29/20
⇒ tan A = BC/AB = 21/20
cot C + cosec C - 2tan A = 21/20 + 29/20 - 2 × 21/20
⇒ 8/20
⇒ 2/5
अतः cot C + cosec C - 2tan A का मान = 2/5
\(\rm tan^{-1}x+cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) लागू होता है, जब ____ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Inverse Trigonometric Functions Question 15 Detailed Solution
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\(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({y})\) = \(\rm tan^{-1}\frac{x+y}{1-x\times y}\)
\(\rm cot^{-1}x=\) \(\rm tan^{-1}({1\over x})\)
गणना:
दिया गया है, \(\rm tan^{-1}x+cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)
⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)
⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)
⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{1-x\times \frac{1}{x}} = \frac{\pi}{2}\)
⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)
⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)
⇒ \(\rm tan^{-1}({\infty}) = \frac{\pi}{2}\)
यह सभी x ∈ R के लिए सत्य है