Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन है \( y = 3 \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \), और हमें y का अवकलज, अर्थात \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करना है। 

\( \sin^{-1}(u) \) का सामान्य अवकलज है:

\( \frac{d}{dx} \sin^{-1}(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} \), जहाँ \( u = \frac{x}{3} \)

\( \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} \)

y का अवकलज ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम लागू करने पर:

\( \frac{dy}{dx} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{x}{3} \right)^2}} \times \frac{1}{3} \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन \( y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right) \)है, और हमें इसे सरल करना है।

\( y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right) \)

हम देखते हैं कि हम व्यंजक को इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं:

\( x - \frac{4x^3}{27} = \left( \frac{x}{3} \right) \left( 3 - 4 \left( \frac{x}{3} \right)^3 \right) \)

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

\( y = \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \left( 3 - 4 \left( \frac{x}{3} \right)^3 \right) \right) \)

यह देखते हुए कि यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एक ज्ञात सर्वसमिका के अनुरूप है:

\( \sin^{-1}(3x) = 3 \sin^{-1} \left( x \right) \)

इस प्रकार, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:

\( y = 3 \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

\( \tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \)

व्युत्क्रम स्पर्शज्या के लिए निम्न योग सूत्र का प्रयोग करें:

\( \tan^{-1}(a) + \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a + b}{1 - ab}\right) \)

\(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \) के लिए इसका उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( \tan^{-1}\left(\frac{k + \frac{1}{2}}{1 - k \cdot \frac{1}{2}}\right) = \frac{\pi}{4} \)

चूँकि \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \)है, हमारे पास है:

\( \frac{k + \frac{1}{2}}{1 - \frac{k}{2}} = 1 \)

\( k + \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2} \)

\( 2k + 1 = 2 - k \)

\( 2k + k = 2 - 1 \)

\( 3k = 1 \)

\( k = \frac{1}{3} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

• इस प्रश्न में tan^-1 और sin^-1 की प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया गया है।
• समीकरण को सरल करने के लिए sin(2φ) की सर्वसमिका लागू की जाती है:
  • sin(2φ) = 2tanφ / (1 + tan²φ)
• φ के विभिन्न मामलों में (-π, π) के लिए डोमेन प्रतिबंधों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया जाता है।

गणना:

मान लीजिये \(\frac{\tan \theta}{3}\) = tan φ

⇒ 2tan θ / (1 + tan²θ) = sin 2φ

⇒ θ = tan^-1(2 tan θ) − ½ sin^-1(sin 2φ)

मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)

⇒ φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]\)

⇒ tan φ ∈ (−1, 1), tan θ ∈ (−3, 3)

स्थिति 1:

मान लीजिये 2φ = \(\theta - \phi\)

⇒ tan θ = tan^-1(2 tan θ) − φ

⇒ tan 2τ = tan θ / 3

⇒ τ = tan^-1((1/3), 0, 1, −1)

⇒ tan θ = 0, 1, −1, 3/2

⇒ θ ∈ 0, 1, −1 और सभी डोमेन में हैं

स्थिति 2:

मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)

⇒ θ = tan^-1(2 tan θ) − (π − 2φ)

⇒ tan 2τ = cot θ = 1 / tan θ

⇒ θ = tan^-1(3/2)

⇒ τ = tan^-1(3/2)

इसलिए, θ = tan^-1(3/2), −2π/3, −π/3 ∴ θ = 1 = φ

स्थिति 3:

मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, -\pi\right]\)

⇒ θ = tan^-1(2 tan θ) − (−π − 2φ)

⇒ इसी प्रकार अन्य स्थितियों में आगे बढ़ें।

∴ कुल मान्य θ मान 3 हैं।

गणना:

स्थिति I : x > 0

\(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}=\frac{\pi}{3}\)

x = 2 - √3

स्थिति II : x < 0

\(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\pi=\frac{\pi}{3}\)

\(x=\frac{-1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \alpha=2\)

अतः सही उत्तर 2 है।

संकल्पना:

\(\rm \cot \theta = \tan \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\)​.

\(\tan^{-1} x = \dfrac{\pi}{2}-\cot^{-1} x\)

गणना:

4 tan-1 x + cot‑1 x = π

\( 4\tan^{-1}x+\left(\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)=\pi\)

\(3\tan^{-1}x=\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\)

\( \tan^{-1}x=\dfrac{\pi}{6}\)

\(x=\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}\).

अवधारणा:

• \(\rm \tan^{-1}x + \tan^{-1}y=\tan^{-1}{x+y\over 1-xy}\)
• \(\rm cot^{-1}{x} = {\pi\over2}- \tan^{-1}{x}\)
• \(\rm 2tan^{-1}\ x =tan^{-1} ({\frac {2x}{1\ -\ x^2}})\)

गणना:

S = \(\rm cot^{-1}{1\over3} - 2 \tan^{-1}{2\over3} \)

S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{2\times \frac{2}{3}}\over1-{(\frac{2}{3})^2}}\)

S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{\frac{4}{3}}\over1-{\frac{4}{9}}}\)

S = \(\rm {\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3} - \tan^{-1}{\frac{12}{5}}\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{12\over5}+\tan^{-1}{1\over3}\right]\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{{12\over5}+{1\over3}\over1-{12\over5}\times{1\over3}}\right]\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{41\over3}\right]\)

S = \(\rm \cot^{-1}{41\over3}\)

संकल्पना:

• एक फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समुच्चय है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया गया है।
• sin θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
• sin-1 (sin θ) = θ
• sin (sin-1 x) = x

गणना:

मान लें कि sin-1 4x = θ।

⇒ sin (sin-1 4x) = sin θ

⇒ sin θ = 4x

चूँकि -1 ≤ sin θ ≤ 1

⇒ -1 ≤ 4x ≤ 1

⇒ \(\rm -\dfrac{1}{4}\leq x \leq \dfrac{1}{4}\)

⇒ x ∈ \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\)

∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\) ।

संकल्पना:

sin^-1 x + cos^-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

गणना:

sin^-1 x + sin^-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\) 

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\) 

⇒ π - ( cos^-1 x + cos^-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)

⇒ cos^-1 x + cos^-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\) 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

 यदि \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\) है, तो \({\sin ^{ - 1}}\ (sin x) = x\) है लेकिन यदि\(x{ \notin }\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\) है, तो प्रमुख शाखा के अंदर x का मान लाने के लिए\(\sin x = \sin \left( {\pi - x} \right)\) का प्रयोग कीजिए। 

हल:

\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right)\) but \(\frac{{4\pi }}{5}\notin{ }\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\)

इसलिए, संबंध का प्रयोग करने पर,

\(\sin \frac{{4\pi }}{5} = \sin \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{5}} \right)\)

\(= \sin \left( {\frac{\pi }{5}} \right)\)

इसलिए,

\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right) = {\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)\)

\( = \frac{\pi }{5}\)

धारणा:

sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

गणना:

दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π 

 ⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π 

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

⇒  2 sin-1 x + [π /2] = π

⇒ 2 sin-1 x = π - π/2

⇒ 2 sin-1 x = π/2

⇒ sin^-1 x = π/4

⇒ x = sin π/4 = 1/√2

दिया गया है:

\(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय समीकरण के मुख्य समाधान वे समाधान होते हैं जो 0 और 2π के बीच होते हैं।

सूत्र:

tan(x) = tan(α) का सामान्य हल इस प्रकार दिया गया है;

x = nπ + α जहां α ∈ (-π/2 , π/2) और n ∈ Z है

गणना:

∵ \(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

⇒ tan(x) = tan(-π/6)

∴ α = -π/6

⇒ x = nπ + (-π/6) , n ∈ Z

n = 1 और 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है -

x = 5π/6 और 11π/6

अवधारणा:

tan-1 x + cot-1 x = \(\rm \frac {π}{2}\)

गणना:

ज्ञात करना है: cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) का मान

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos 2(tan-1 x + cot-1 x)

जैसा कि हम जानते हैं, tan-1 x + cot-1 x = \(\rm \frac {π}{2}\)

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos [2 × \(\rm \frac {π}{2}\) ]

= cos π 

= -1

दिया गया है:

AB = 20 सेमी

BC = 21 सेमी 

AC = 29 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

गणना:

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²

⇒ 29² = 20² + 21²

ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

⇒ cot C = BC/AB = 21/20

⇒ cosec C = AC/AB = 29/20

⇒ tan A = BC/AB = 21/20

cot C + cosec C - 2tan A = 21/20 + 29/20 - 2 × 21/20

⇒ 8/20

⇒ 2/5

अतः cot C + cosec C - 2tan A का मान = 2/5

अवधारणा:

\(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({y})\) = \(\rm tan^{-1}\frac{x+y}{1-x\times y}\)

\(\rm cot^{-1}x=\) \(\rm tan^{-1}({1\over x})\)

गणना:

दिया गया है, \(\rm tan^{-1}x+cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{1-x\times \frac{1}{x}} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}({\infty}) = \frac{\pi}{2}\)

यह सभी x ∈ R के लिए सत्य है