Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 7, 2025

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Latest Inverse Trigonometric Functions MCQ Objective Questions

Inverse Trigonometric Functions Question 1:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
माना कि  \(y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right)\) है। 

\(\frac{dy}{dx}\) किसके बराबर है?

  1. \(\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}\)
  2. \(\frac{1}{\sqrt{3-x^2}}\)
  3. \(\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\)
  4. \(\frac{9}{\sqrt{9-x^2}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\)

Inverse Trigonometric Functions Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

फलन है \( y = 3 \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \), और हमें y का अवकलज, अर्थात \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करना है। 

\( \sin^{-1}(u) \) का सामान्य अवकलज है:

\( \frac{d}{dx} \sin^{-1}(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} \), जहाँ \( u = \frac{x}{3} \)

\( \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} \)

y का अवकलज ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम लागू करने पर:

\( \frac{dy}{dx} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{x}{3} \right)^2}} \times \frac{1}{3} \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Inverse Trigonometric Functions Question 2:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
माना कि  \(y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right)\) है। 

y किसके बराबर है?

  1. sin-1x
  2. sin-1 \( \frac{x}{3}\)
  3. 3sin-1x
  4. 3sin-1\((\frac{x}{3})\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 3sin-1\((\frac{x}{3})\)

Inverse Trigonometric Functions Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

फलन \( y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right) \)है, और हमें इसे सरल करना है।

\( y = \sin^{-1} \left( x - \frac{4x^3}{27} \right) \)

हम देखते हैं कि हम व्यंजक को इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं:

\( x - \frac{4x^3}{27} = \left( \frac{x}{3} \right) \left( 3 - 4 \left( \frac{x}{3} \right)^3 \right) \)

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

\( y = \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \left( 3 - 4 \left( \frac{x}{3} \right)^3 \right) \right) \)

यह देखते हुए कि यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एक ज्ञात सर्वसमिका के अनुरूप है:

\( \sin^{-1}(3x) = 3 \sin^{-1} \left( x \right) \)

इस प्रकार, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:

\( y = 3 \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

Inverse Trigonometric Functions Question 3:

यदि  है, तो k का मान क्या है?

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1/3

Inverse Trigonometric Functions Question 3 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

\( \tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \)

व्युत्क्रम स्पर्शज्या के लिए निम्न योग सूत्र का प्रयोग करें:

\( \tan^{-1}(a) + \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a + b}{1 - ab}\right) \)

\(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \) के लिए इसका उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( \tan^{-1}\left(\frac{k + \frac{1}{2}}{1 - k \cdot \frac{1}{2}}\right) = \frac{\pi}{4} \)

चूँकि \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \)है, हमारे पास है:

\( \frac{k + \frac{1}{2}}{1 - \frac{k}{2}} = 1 \)

\( k + \frac{1}{2} = 1 - \frac{k}{2} \)

\( 2k + 1 = 2 - k \)

\( 2k + k = 2 - 1 \)

\( 3k = 1 \)

\( k = \frac{1}{3} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Inverse Trigonometric Functions Question 4:

समीकरण \(\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^{2} \theta}\right)\) के वास्तविक हलों की कुल संख्या है

(यहाँ, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन sin-1x और tan-1x क्रमशः \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) और \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) में मान लेते हैं।)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 3

Inverse Trigonometric Functions Question 4 Detailed Solution

संप्रत्यय:

  • इस प्रश्न में tan-1 और sin-1 की प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया गया है।
  • समीकरण को सरल करने के लिए sin(2φ) की सर्वसमिका लागू की जाती है:
    • sin(2φ) = 2tanφ / (1 + tan2φ)
  • φ के विभिन्न मामलों में (-π, π) के लिए डोमेन प्रतिबंधों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया जाता है।

गणना:

मान लीजिये \(\frac{\tan \theta}{3}\) = tan φ

⇒ 2tan θ / (1 + tan2θ) = sin 2φ

⇒ θ = tan-1(2 tan θ) − ½ sin-1(sin 2φ)

मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)

⇒ φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]\)

⇒ tan φ ∈ (−1, 1), tan θ ∈ (−3, 3)

स्थिति 1:

मान लीजिये 2φ = \(\theta - \phi\)

⇒ tan θ = tan-1(2 tan θ) − φ

⇒ tan 2τ = tan θ / 3

⇒ τ = tan-1((1/3), 0, 1, −1)

⇒ tan θ = 0, 1, −1, 3/2

⇒ θ ∈ 0, 1, −1 और सभी डोमेन में हैं

स्थिति 2:

मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\)

⇒ θ = tan-1(2 tan θ) − (π − 2φ)

⇒ tan 2τ = cot θ = 1 / tan θ

⇒ θ = tan-1(3/2)

⇒ τ = tan-1(3/2)

इसलिए, θ = tan-1(3/2), −2π/3, −π/3 ∴ θ = 1 = φ

स्थिति 3:

मान लीजिये 2φ ∈ \(\left[-\frac{\pi}{2}, -\pi\right]\)

⇒ θ = tan-1(2 tan θ) − (−π − 2φ)

⇒ इसी प्रकार अन्य स्थितियों में आगे बढ़ें।

∴ कुल मान्य θ मान 3 हैं।

Inverse Trigonometric Functions Question 5:

यदि  \(\rm \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{2 x}\right)=\frac{\pi}{3}\) के सभी हलों का योग \(\rm α-\frac{4}{\sqrt{3}}\) है, जहाँ -1 < x < 1, x ≠ 0, तो α बराबर है ____। 

Answer (Detailed Solution Below) 2

Inverse Trigonometric Functions Question 5 Detailed Solution

गणना:

स्थिति I : x > 0

\(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}=\frac{\pi}{3}\)

x = 2 - √3

स्थिति II : x < 0

\(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}+\pi=\frac{\pi}{3}\)

\(x=\frac{-1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \alpha=2\)

अतः सही उत्तर 2 है।

Top Inverse Trigonometric Functions MCQ Objective Questions

यदि 4 tan-1 x + cot‑1 x = π है, तो x किसके बराबर है?

  1. 1
  2. -1
  3. √3
  4. \(\dfrac{1}{\sqrt3}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\dfrac{1}{\sqrt3}\)

Inverse Trigonometric Functions Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm \cot \theta = \tan \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\)​.

\(\tan^{-1} x = \dfrac{\pi}{2}-\cot^{-1} x\)

गणना:

4 tan-1 x + cot‑1 x = π

\( 4\tan^{-1}x+\left(\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)=\pi\)

\(3\tan^{-1}x=\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\)

\( \tan^{-1}x=\dfrac{\pi}{6}\)

\(x=\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}\).

\(\rm cot^{-1}{1\over3} - 2 \tan^{-1}{2\over3} = ?\)

  1. 1
  2. -1
  3. \(\rm \cot^{-1}{41\over3}\)
  4. \(\rm \tan^{-1}{41\over3}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\rm \cot^{-1}{41\over3}\)

Inverse Trigonometric Functions Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

  • \(\rm \tan^{-1}x + \tan^{-1}y=\tan^{-1}{x+y\over 1-xy}\)
  • \(\rm cot^{-1}{x} = {\pi\over2}- \tan^{-1}{x}\)
  • \(\rm 2tan^{-1}\ x =tan^{-1} ({\frac {2x}{1\ -\ x^2}})\)


गणना:

S = \(\rm cot^{-1}{1\over3} - 2 \tan^{-1}{2\over3} \)

S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{2\times \frac{2}{3}}\over1-{(\frac{2}{3})^2}}\)

S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{\frac{4}{3}}\over1-{\frac{4}{9}}}\)

S = \(\rm {\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3} - \tan^{-1}{\frac{12}{5}}\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{12\over5}+\tan^{-1}{1\over3}\right]\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{{12\over5}+{1\over3}\over1-{12\over5}\times{1\over3}}\right]\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{41\over3}\right]\)

S = \(\rm \cot^{-1}{41\over3}\)

sin-1 4x का डोमेन क्या है?

  1. [0, 1]
  2. [-1, 1]
  3. \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\)
  4. [-3, 3]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\)

Inverse Trigonometric Functions Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • एक फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समुच्चय है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया गया है।
  • sin θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
  • sin-1 (sin θ) = θ
  • sin (sin-1 x) = x

 

गणना:

मान लें कि sin-1 4x = θ।

⇒ sin (sin-1 4x) = sin θ

⇒ sin θ = 4x

चूँकि -1 ≤ sin θ ≤ 1

⇒ -1 ≤ 4x ≤ 1

\(\rm -\dfrac{1}{4}\leq x \leq \dfrac{1}{4}\)

⇒ x ∈ \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\)

∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\)

यदि sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3\pi}{4}\) है, तो cos-1 x + cos-1 y का मान क्या है?

  1. -3π/4
  2. π/4 
  3. -π/4
  4. 3π/2 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : π/4 

Inverse Trigonometric Functions Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

गणना:

sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\) 

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\) 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)

cos-1 x + cos-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\) 

सही विकल्प 2 है।

\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right)\) का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. π/5
  2. 2π/5
  3. 4π/5 
  4. -4π/5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : π/5

Inverse Trigonometric Functions Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

 यदि \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\) है, तो \({\sin ^{ - 1}}\ (sin x) = x\) है लेकिन यदि\(x{ \notin }\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\) है, तो प्रमुख शाखा के अंदर x का मान लाने के लिए\(\sin x = \sin \left( {\pi - x} \right)\) का प्रयोग कीजिए। 

हल:

\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right)\) but \(\frac{{4\pi }}{5}\notin{ }\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\)

इसलिए, संबंध का प्रयोग करने पर,

\(\sin \frac{{4\pi }}{5} = \sin \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{5}} \right)\)

\(= \sin \left( {\frac{\pi }{5}} \right)\)

इसलिए,

\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right) = {\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)\)

\( = \frac{\pi }{5}\)

यदि 3 sin-1 x + cos-1 x = π तो x का मान ज्ञात करें।

  1. 0
  2. 1/√2
  3. -1
  4. 1/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1/√2

Inverse Trigonometric Functions Question 11 Detailed Solution

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धारणा:

sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

गणना:

दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π 

 ⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π 

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

⇒  2 sin-1 x + [π /2] = π

⇒ 2 sin-1 x = π - π/2

⇒ 2 sin-1 x = π/2

⇒ sin-1 x = π/4

⇒ x = sin π/4 = 1/√2

समीकरण \(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) का प्रमुख हल क्या है?

  1. \(\frac{9 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{3}\)
  2. \(\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\)
  3. \(\frac{3 \pi}{6}, \frac{2 \pi}{6}\)
  4. \(\frac{11 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{11 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\)

Inverse Trigonometric Functions Question 12 Detailed Solution

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दिया गया है:

\(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय समीकरण के मुख्य समाधान वे समाधान होते हैं जो 0 और 2π के बीच होते हैं।

सूत्र:

tan(x) = tan(α) का सामान्य हल इस प्रकार दिया गया है;

x = nπ + α जहां α ∈ (-π/2 , π/2) और n ∈ Z है

गणना:

\(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

⇒ tan(x) = tan(-π/6)

∴ α = -π/6

⇒ x = nπ + (-π/6) , n ∈ Z

n = 1 और 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है -

x = 5π/6 और 11π/6

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) का मान क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -1

Inverse Trigonometric Functions Question 13 Detailed Solution

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अवधारणा:

tan-1 x + cot-1 x = \(\rm \frac {π}{2}\)

 

गणना:

ज्ञात करना है: cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) का मान

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos 2(tan-1 x + cot-1 x)

जैसा कि हम जानते हैं, tan-1 x + cot-1 x = \(\rm \frac {π}{2}\)

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos [2 × \(\rm \frac {π}{2}\) ]

= cos π 

= -1

ΔABC में, AB = 20 सेमी, BC = 21 सेमी और AC = 29 सेमी है, तो cot C + cosec C - 2tan A का मान क्या है?

  1. \(\frac{3}{5}\)
  2. \(\frac{9}{20}\)
  3. \(\frac{2}{5}\)
  4. \(\frac{7}{20}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{2}{5}\)

Inverse Trigonometric Functions Question 14 Detailed Solution

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दिया गया है:

AB = 20 सेमी

BC = 21 सेमी 

AC = 29 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

गणना:

SSC CGL 2017 18th feb 50 1 Hindi hrev images Q13

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC2 = AB2 + BC2

⇒ 292 = 202 + 212

ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

⇒ cot C = BC/AB = 21/20

⇒ cosec C = AC/AB = 29/20

⇒ tan A = BC/AB = 21/20

cot C + cosec C - 2tan A = 21/20 + 29/20 - 2 × 21/20

⇒ 8/20

⇒ 2/5

अतः cot C + cosec C - 2tan A का मान = 2/5

\(\rm tan^{-1}x+cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) लागू होता है, जब ____ है।

  1. x ∈ R
  2. केवल x ∈ R - (-1, 1) 
  3. केवल x ∈ R - {0} 
  4. केवल x ∈ R - [-1, 1] 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x ∈ R

Inverse Trigonometric Functions Question 15 Detailed Solution

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अवधारणा:

\(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({y})\) = \(\rm tan^{-1}\frac{x+y}{1-x\times y}\)

\(\rm cot^{-1}x=\) \(\rm tan^{-1}({1\over x})\)

गणना:

दिया गया है, \(\rm tan^{-1}x+cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{1-x\times \frac{1}{x}} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}({\infty}) = \frac{\pi}{2}\)

यह सभी x ∈ R के लिए सत्य है

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