Domain or Range MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Domain or Range - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

यदि sinθ = x, तब θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए, ⇒ θ = sin^-1x, 

-π /2 ≤ x ≤ π/2 के लिए, sin^-1 (sin x) =x, 

दिया गया है कि, f(x) = sin^-1$\sqrt{x-1}$

हम जानते हैं कि sin^-1x को x ∈ [-1, 1] के लिए परिभाषित किया गया है।

∴ f(x) = sin-1$\sqrt{x-1}$ को परिभाषित किया गया है। 

⇒ 0 ≤ $\sqrt{x-1}$ ≤ 1

⇒ 0 ≤ x -1 ≤ 1

⇒ 1 ≤ x ≤ 2

∴ x ∈ [1, 2]

अवधारणा:

tan–1x + cot–1x = $\frac{{\pi }^2}{2}$

गणना:

दिया गया है, ${({\tan }^{-1}x)}^2+{({\cot }^{-1}x)}^2=\frac{5{\pi }^2}{8}$

⇒ ${({\tan }^{-1}x)}^2+{(\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}x)}^2=\frac{5{\pi }^2}{8}$

⇒ $2{({\tan }^{-1}x)}^2-\pi {\tan }^{-1}x+\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{5{\pi }^2}{8}=0$

⇒ $2{({\tan }^{-1}x)}^2-\pi {\tan }^{-1}x-\frac{3{\pi }^2}{8}=0$

⇒ ${\tan }^{-1}x=\frac{\pi \pm \sqrt{{\pi }^2+3{\pi }^2}}{4}$

⇒ tan ^-1 x = $\frac{3\pi }{4}$ , $-\frac{\pi }{4}$

⇒ x = - 1

∴ x का मान - 1 है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

यदि sinθ = x, तब θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए, θ = sin^-1x, 

-1 ≤ x ≤ 1 के लिए, sin(sin^-1 x) =x, 

हमें प्राप्त है, sin(2 tan–1 (.75))

= sin(2 tan–1 (3/4))

= sin(sin^-1$\left(\frac{2\times \frac{3}{4}}{1+\frac{9}{16}}\right)$)

= sin(sin^-1($\frac{3/2}{25/16}$))

= sin(sin^-1(24/25))

= 24/25

= 0.96

व्याख्या:

यदि sinθ = x, तब θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए, θ = sin^-1x, 

0 ≤ x ≤ π के लिए cos^-1 (cos x) =x, 

हमें प्राप्त है, ${\cos }^{-1}(\cos \frac{3\pi }{2})$

= ${\cos }^{-1}(\cos (\pi +\frac{\pi }{2}))$

= ${\cos }^{-1}(-\cos \frac{\pi }{2})$ [∵ cos(π +θ) = - cos θ]

= π - ${\cos }^{-1}(\cos \frac{\pi }{2})$ [∵ cos^-1(- θ) = π - cosθ ]

= π - π/2

=π /2 

संकल्पना:

• एक फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समुच्चय है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया गया है।
• sin θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
• sin-1 (sin θ) = θ
• sin (sin-1 x) = x

गणना:

मान लें कि sin-1 4x = θ।

⇒ sin (sin-1 4x) = sin θ

⇒ sin θ = 4x

चूँकि -1 ≤ sin θ ≤ 1

⇒ -1 ≤ 4x ≤ 1

⇒ $-{\displaystyle \frac{1}{4}}\le \mathrm{x}\le {\displaystyle \frac{1}{4}}$

⇒ x ∈ $[-{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}}]$

∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल $[-{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}}]$ ।

व्याख्या:

 -π/2 ≤ sin -1x ≤ π/2

sin-1x + cos-1 x = π/2

प्रश्न के अनुसार,

cos–1x > sin–1x

⇒ π/2 -  sin-1x > sin-1x

⇒ π/2 > 2sin-1x

⇒ sin-1x < π/4....(i)

अब हम जानते हैं  - π/2 ≤ sin -1x ≤ π/2....(ii)

(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है,

 - π/2 ≤ sin -1x < π/4

⇒  sin( - π/2) ≤ x < sin( π/4)

⇒ -1 ≤ x < $\frac{1}{\sqrt{2}}$

व्याख्या:

यदि cosθ = x, तब θ ∈ [0, π] के लिए, θ = cos^-1x, 

0 ≤ x ≤ π के लिए, cos^-1 (cos x) =x, 

माना f(x) = cos–1(2x – 1)

हम जानते हैं कि cos^-1x को x ∈ [-1, 1] के लिए परिभाषित किया गया है। 

∴ f(x) को निम्न के लिए परिभाषित किया गया है। 

⇒ -1 ≤ (2x - 1) ≤ 1

⇒ 0 ≤ 2x ≤ 2

⇒ 0 ≤ x ≤ 1

∴ x ∈ [0, 1]

व्याख्या:

यदि sinθ = x, तब θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए, ⇒ θ = sin^-1x, 

-π /2 ≤ x ≤ π/2 के लिए, sin^-1 (sin x) =x, 

दिया गया है कि, f(x) = sin^-1$\sqrt{x-1}$

हम जानते हैं कि sin^-1x को x ∈ [-1, 1] के लिए परिभाषित किया गया है।

∴ f(x) = sin-1$\sqrt{x-1}$ को परिभाषित किया गया है। 

⇒ 0 ≤ $\sqrt{x-1}$ ≤ 1

⇒ 0 ≤ x -1 ≤ 1

⇒ 1 ≤ x ≤ 2

∴ x ∈ [1, 2]

व्याख्या:

sin^-1y को y ∈ [-1, 1] के लिए परिभाषित किया गया है

∴ sin-1 $\left(\frac{x+1}{3}\right)$ को $\frac{x+1}{3}\in [-1,1]$ के लिए परिभाषित किया गया है

⇒ $-1\le \frac{x+1}{3}\le 1$

⇒ $-3\le x+1\le 3$

⇒ $-3-1\le x\le 3-1$

⇒ $-4\le x\le 2$

इसलिए, sin-1 $\left(\frac{x+1}{3}\right)$ का प्रांत [-4, 2] है।

व्याख्या:

यदि sinθ = x, तब θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए, θ = sin^-1x, 

tan-1x + cot-1x = π/2

हमें प्राप्त है, tan–1x + tan–1y = 4π/5

⇒ (π/2 - cot–1x) + (π/2 - cot–1y) = 4π/5

⇒ π - (cot–1x + cot–1y) = 4π/5

⇒ cot–1x + cot–1y = π - 4π/5

⇒ cot–1x + cot–1y = π/5

संकल्पना:

• एक फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समुच्चय है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया गया है।
• sin θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
• sin-1 (sin θ) = θ
• sin (sin-1 x) = x

गणना:

मान लें कि sin-1 5x = θ

⇒ sin (sin-1 5x) = sin θ

⇒ sin θ = 5x

चूँकि -1 ≤ sin θ ≤ 1

⇒ -1 ≤ 5x ≤ 1

⇒ $-{\displaystyle \frac{1}{5}}\le \mathrm{x}\le {\displaystyle \frac{1}{5}}$

⇒ x ∈ $[-{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{1}{5}}]$

∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल $[-{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{1}{5}}]$ ।

संकल्पना:

cos^-1 x का डोमेन [-1, 1] है। 

एक असमानता के दोनों पक्षों से समान मात्रा को जोड़ने या घटाने पर असमानता चिन्ह अपरिवर्तित रहता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = cos^-1 (x - 2)

चूँकि हम जानते हैं, cos^-1 x का डोमेन [-1, 1] है। 

इसलिए, -1 ≤ (x - 2) ≤ 1

उपरोक्त असमानता में 2 जोड़ने पर,

⇒ -1 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 1 + 2

⇒ 1 ≤ x ≤ 3

∴ cos^-1 (x - 2) का डोमेन [1, 3] है। 

अवधारणा:

डोमेन प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की सीमा है।

गणना:

दिया गया है: f(x) = sin-1 (x + 1) 

⇒ y = sin-1 (x + 1) 

दिए गए फलन को sin y = x + 1 के रूप में लिखा जा सकता है

हम जानते हैं कि sin y एक ऐसा फलन है जो -1 और 1 के बीच दोलन करता है

अर्थात यह अंतराल [-1, 1] में मान के रूप में सभी वास्तविक संख्याओं को ले सकता है 

तो, -1 ≤ sin y ≤ 1

⇒ -1 ≤ x + 1 ≤ 1

⇒ -1 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ x ≤ 0

∴ x ∈ [-2, 0]

व्याख्या:

यदि sinθ = x, तब θ ∈ [-π/2, π/2] के लिए, θ = sin^-1x, 

0 ≤ x ≤ π के लिए cos^-1 (cos x) =x, 

हमें प्राप्त है, ${\cos }^{-1}(\cos \frac{3\pi }{2})$

= ${\cos }^{-1}(\cos (\pi +\frac{\pi }{2}))$

= ${\cos }^{-1}(-\cos \frac{\pi }{2})$ [∵ cos(π +θ) = - cos θ]

= π - ${\cos }^{-1}(\cos \frac{\pi }{2})$ [∵ cos^-1(- θ) = π - cosθ ]

= π - π/2

=π /2