Definite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Definite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Mar 24, 2025

पाईये Definite Integrals उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Definite Integrals MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Definite Integrals MCQ Objective Questions

Definite Integrals Question 1:

समाकल 0π2sinθcos5θdθ का मान होगा

  1. 2231
  2. -64
  3. 1231
  4. 64231
  5. 131

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 64231

Definite Integrals Question 1 Detailed Solution

विश्लेषण:

I=0π/2sinθcos5θdθ पर विचार कीजिए

sin θ = t रखने पर

cos θ dθ = dt

यदि θ = 0 to θ=π2 तब t = 0 से t = 1

अब, I=θ=0π/2sinθcosθ(1sin2θ)2dθ

I=t=01t(1t2)2dt

I=t=01t(1+t42t2)dt

I=(t3232+t1121122t7272)01

I=23+21147

I=64231

Definite Integrals Question 2:

समाकल xcos2x का मान किसके बराबर है?

  1. x tan x
  2. log cos x
  3. x tan x + log (cos x)
  4. x tan x - log cos x
  5. log sin x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x tan x + log (cos x)

Definite Integrals Question 2 Detailed Solution

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

secx=1cosx

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

u×v dx=uvdx[dudxvdx]dx

मानक फलन का समाकल

sec2(ax+b)dx=tan(ax+b)

tanxdx=log|secx|=log cosx

मानक फलन का अवकलज

ddx(xn)=nxn1

ddx(x)=1

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास xcos2x है

जहाँ u = x और v=1cos2x=sec2x

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

u×v dx=uvdx[dudxvdx]dx

x×sec2x dx=xsec2x dx[ddxxsec2x dx]dx

x×sec2x dx=xtanx dxtanxdx

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

Definite Integrals Question 3:

x = 0 और x = 1 के बीच वक्र y=23x3/2 की लंबाई निम्न में से क्या है?

  1. 0.27
  2. 0.67
  3. 1
  4. 1.22
  5. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1.22

Definite Integrals Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

चाप लंबाई या वक्र लंबाई वक्र के खंड के साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। चाप के एक अनियमित खंड की लंबाई निर्धारित करना वक्र का परिशोधन कहलाता है।

वक्र y = f(x) की x = a से x = b तक की लंबाई निम्न प्रकार से दी गई है:

l=x=ax=b1+(dydx)2dx

या,

यदि वक्र को x = f(t) और y = g(t) के रूप में प्राचल t के साथ a से b तक प्राचलीकरण किया जाता है, तो

l=t=at=b(dxdt)2+(dydt)2dt

गणना:

y=23x3/2

dydx=23×32x12

(dydx)2=x

अब, चाप की लंबाई(l) है

l=x=0x=11+xdx

=|(1+x)3232|01

=(23×232)(23)=1.21

Definite Integrals Question 4:

समाकल2dxxlogx

  1. ∞ की ओर अपसरित होता है। 
  2. -∞ की ओर अपसरित होता है। 
  3. 2 की ओर अभिसरित होता है। 
  4. -3 की ओर अभिसरित होता है। 
  5. 0 की ओर अभिसरित होता है। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ∞ की ओर अपसरित होता है। 

Definite Integrals Question 4 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

दिया गया समाकलन पहले प्रकार का अनुचित समाकल है।

I=2(1/x)logxdx

I=[log(logx)]2

I = log [log (∞)] – log [log (2)]

I =

दिया गया समाकल ∞ की ओर अपसरित और अभिसरित होता है।

Additional Information

पहले प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएँ  -∞ या +∞ या दोनों होती हैं।

दूसरे प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएं परिमित होती हैं लेकिन उन सीमाओं के बीच कुछ मान पर फलन अपरिमित होता है।

Definite Integrals Question 5:

समाकल I = 0π/2x2sinxdx  का मान क्या है?

  1. (x + 2)/2
  2. 2/(π – 2) 
  3. π - 2
  4. π + 2
  5. π - 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : π - 2

Definite Integrals Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

ILATE का प्रयोग करके खंडश:समाकलन का प्रयोग करने पर 

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)dx[(f(x).g(x)dx]dx

गणना:

I=0π/2x2sinxdx

f(x)=x2andg(x)=sinx

I=[x2cosx(2xcosx)]0π/2

I=[x2cosx+2×(xsinxsinx)]0π/2

I=[x2cosx+2×(xsinx+cosx)]0π/2

I=[02(π2(1)+0)][0+2(0+1)]

I=π2

Top Definite Integrals MCQ Objective Questions

निश्चित समाकल 1exln(x)dx का मान क्या है?

  1. 49e3+29
  2. 29e349
  3. 29e3+49
  4. 49e329

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 29e3+49

Definite Integrals Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

हम जानते हैं कि,

खंडशः विधि द्वारा

uvdx=uvdx[dudxvdx]dx

जहाँ u, v को ILATE अनुक्रम का पालन करना चाहिए। [I= व्युत्क्रम, L= लघुगुणक, A= बीजगणित, T= त्रिकोणमिति, E= घातांकीय पद]

गणना:

दिया गया है:

दिए गए समीकरण से 1exln(x)dx

u = ln(x), v = √x

अब,

uvdx=uvdx[dudxvdx]dx

1elnxxdx=lnx1exdx1e[dudxxdx]dx  

1elnxxdx=[ln(x)×x3232]1e[1x×x3232]dx

 1elnxxdx=[ln(x)×x32×2349×x32]1e

∴  1exln(x)dx  =29e3+49     

I=11e|x|dx का मान क्या है?

  1. (e - 1)
  2. 2(e - 1)
  3. 3(e - 1)
  4. 2(1 - e)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2(e - 1)

Definite Integrals Question 7 Detailed Solution

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11e|x|dx.

=10exdx+01exdx

=[ex]10+[ex]01

= [-e-0 + e1] + [e1 - e0]

= -1 + e1 + e - 1

= 2 (e - 1)

यदि शून्येतर x के लिए, af(x)+bf(1x)=1x25 है, जहाँ a ≠ b है, तब 12f(x)dx का मान ज्ञात कीजिए?
 

  1. 1a2b2[a(ln225)+47b2]
  2. 1a2b2[a(2ln225)47b2]
  3. 1a2b2[a(2ln225)+47b2]
  4. 1a2b2[a(ln225)47b2]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1a2b2[a(ln225)+47b2]

Definite Integrals Question 8 Detailed Solution

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दिया गया है, x के शून्येतर के रूप के लिए है,

af(x)+bf(1x)=1x25       ---(1)

x को 1/x के रूप में मानने पर,

af(1x)+bf(11x)=x25

af(1x)+bf(x)=x25       ---(2)

समीकरण 1 को a और 2 को b से गुणा करने पर और दोनों को घटा देने पर,

a2f(x)+abf(1x)abf(1x)b2f(x)=ax25abx+25b

a2f(x)b2f(x)=ax25abx+25b

f(x)=ax(a2b2)bxa2b225(ab)a2b2

12f(x)dx=1a2b2[a(ln225)+47b2]

हल करें:

0π2f(x)f(x)+f(π2x)dx = ?

  1. π/2
  2. 1
  3. 0
  4. π/4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : π/4

Definite Integrals Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

abf(x)dx=f(a+bx)dx

गणना:

⇒ माना, I = 0π2f(x)f(x)+f(π2x)dx    ----- समीकरण(1)

⇒ I = 0π2f(π2x)f(π2x)+f(π2(π2x))dx

⇒ I = 0π2f(π2x)f(x)+f(π2x)dx     ---- समीकरण(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर

⇒ 2I = 0π2f(x)+f(π2x)f(x)+f(π2x)dx

⇒ 2I = 0π2dx

⇒ 2I = π2

⇒ I = π4

∴ 0π2f(x)f(x)+f(π2x)dx का मान π4 है। 

समाकल 02π(39+sin2θ)dθ का मान है:

  1. 2π10
  2. 210π
  3. 10π
  4. π

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 2π10

Definite Integrals Question 10 Detailed Solution

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02af(x)dx={20af(x)dx,f(2ax)=f(x)0,f(2ax)=f(x)

उपरोक्त समाकलन के गुणधर्म से, दिया गया समाकल इस प्रकार परिवर्तित किया जा सकता है:

=20π(39+sin2θ)dθ

=40π2(39+sin2θ)dθ

=40π2(39+cos2θcos2θsin2θ)dθ

=120π2(sec2θ9sec2θ+tan2θ)dθ

=120π2(sec2θ9(1+tan2θ)+tan2θ)dθ

=120π2(sec2θ9+10tan2θ)dθ

tan θ = t रखने पर

⇒ sec2θ dθ = dt

=120(19+10t2)dt

=12100(1910+t2)dt

=1210×1310[tan1(t310)]0

=410[π20]=2π10

समाकल xcos2x का मान किसके बराबर है?

  1. x tan x
  2. log cos x
  3. x tan x + log (cos x)
  4. x tan x - log cos x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x tan x + log (cos x)

Definite Integrals Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

secx=1cosx

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

u×v dx=uvdx[dudxvdx]dx

मानक फलन का समाकल

sec2(ax+b)dx=tan(ax+b)

tanxdx=log|secx|=log cosx

मानक फलन का अवकलज

ddx(xn)=nxn1

ddx(x)=1

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास xcos2x है

जहाँ u = x और v=1cos2x=sec2x

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

u×v dx=uvdx[dudxvdx]dx

x×sec2x dx=xsec2x dx[ddxxsec2x dx]dx

x×sec2x dx=xtanx dxtanxdx

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान निकालें और सही उत्तर चुनियें:

12 x . dx

  1. 32
  2. 23
  3. 35
  4. 25

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 32

Definite Integrals Question 12 Detailed Solution

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प्रयुक्त अवधारणा:

 

ab xn.dx = (xn+1/n+1)ab

गणना:

12 x . dx = x1+1/1+1 = (x2/2)12 = 4/2 - 1/2 = 2 - 1/2 = 3/2.

अतः, विकल्प 1 सही है।

समाकलdx1+x2 का मान है: 

  1. π2
  2. π/2
  3. π

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : π

Definite Integrals Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

अनंत समाकल: यदि [a, b] पर किसी फलन f का अनंत मान है तो इसे अनुचित समाकल कहते हैं

प्रथम प्रकार का अनंत समाकल:

abf(x)dx प्रथम प्रकार का अनंत समाकल कहा जाता है यदि a = - या b = ∞ या दोनों 

द्वितीय प्रकार का अनंत समाकल:

abf(x)dx द्वितीय प्रकार का अनंत समाकल कहा जाता है यदि a या b परिमित है लेकिन f(x) कुछ x  [a, b] के लिए अनंत है।

यदि अनंत समाकल का समाकलन मौजूद होता है तो उसे अभिसरण कहते हैं, लेकिन यदि समाकलन की सीमा का अस्तित्व न हो तो अनंत समाकल को अपसारी कहते हैं।

गणना:

दिया है:

माना tan-1x = y

(11+x2)dx=dy

जब, x = -∞, y = -π/2, x = ∞, y = π/2

dx1+x2

π/2π/2dy

[y]π/2π/2

π2(π2)=π

 

निश्चित समाकलन का मान निकालिये:

ab ex ⋅ dx:

  1. ea − eb
  2. e− ea
  3. eab
  4. ebea

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : e− ea

Definite Integrals Question 14 Detailed Solution

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गणना:

x के संबंध में ex का प्रतिअवकलन ex है।

इसलिए, पूर्व dx के a से b तक निश्चित समाकलन की गणना ऊपरी सीमा पर प्रतिअवकलन लेकर और निचली सीमा पर प्रतिअवकलन घटाकर की जा सकती है।

सूत्र के संदर्भ में, हम इसे इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं:

abex dx = [eb - ea]

यह सीधे कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से लागू होता है।

अतः, विकल्प 2 सही है।

0π4dxcos3x2sin2x = _______

  1. 65
  2. 35
  3. 15
  4. 25

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 65

Definite Integrals Question 15 Detailed Solution

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दिया गया है:

दिया गया निश्चित समाकलन इस प्रकार है,

0π4dxcos3x2sin2x

संकल्पना:

abxndx=|xn+1n+1|ab

हल:

दिए गए समाकलन को इस प्रकार सरल करने पर,

0π4dxcos3x2sin2x

0π4sec3xdx4sinxcosx

0π4sec3xdx2cosxtanx

0π4sec4xdx2tanx

y = tanx रखने पर,

x = 0, y = 0 पर,

x = π4, y = 1 पर,

dy = sec2xdx

1201(1+y2)dyy

12|[2y]01+[y5252]01|

12|[2+[25]|=65

0π4dxcos3x2sin2x=65

अतः विकल्प 1 सही है।

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