Continuity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त संकल्पना:-

जब किसी दिए गए बिंदु, x=a पर बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा मान बराबर होते हैं, तो उस बिंदु पर फलन को संतत कहा जाता है।

L.H.L = R.H.L = f(a) = 0

जब किसी दिए गए बिंदु x=a पर किसी फलन के बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज मान बराबर होते हैं, तो उस बिंदु पर फलन को अवकलनीय कहा जाता है।

L.H.D= R.H.D = f(a) = 0

स्पष्टीकरण:-

दिया गया फलन है,

 $f(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{sin{x}^2}{x},& \text{x ≠ 0}\\ 0,& x=0\end{array}$ 

इस फलन को निम्न रूप में पुनः लिखने पर,

$f(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{x.sin{x}^2}{x^2},& \text{x ≠ 0}\\ 0,& x=0\end{array}$

यहाँ, x=0 पर बाएँ पक्ष की सीमा मान,

⇒L.H.L= 0(1)=0

जो x = 0 पर दाएँ पक्ष की सीमा के बराबर है।

⇒R.H.L= f(0)

अत: फलन x = 0 पर संतत है।

उपरोक्त  फलन को x के सापेक्ष में अवकलित करने पर, हम निम्न प्राप्त करते हैं,

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{2x^2.cos{x}^2-sin{x}^2}{x^2},& \text{x ≠ 0}\\ 0,& x=0\end{array}$

यहाँ, x=0 पर बाएँ पक्ष के अवकलज का मान,

⇒L.H.D = 0 - 0

⇒L.H.D = 0

जो x = 0 पर दाएँ हाथ के अवकलज के बराबर है।

⇒R.H.D = f'(0)

इसलिए, फलन x = 0 पर अवकलनीय है।

इसलिए, दिया गया फलन x = 0 पर संतत और अवकलनीय है।

सही विकल्प 1 है।

अवधारणा-   यदि f दिए गए अंतराल  $[a,b]$ और अंत बिंदुओं पर संतत है। 

f को परिभाषित किया गया है, तो f दिए गए अंतराल $[a,b]$ पर समान रूप से संतत है। 

व्याख्या-  यहाँ दिया गया है, $f(x)=\frac{x}{x+1}$ और यह x = -1 को छोड़कर संतत है। 

इसलिए, f $[0,2]$ पर संतत है और x = 0 पर, f(0), 0 है।

इसी प्रकार x = 2 पर, f (2) = $\frac{2}{3}$ 

इसलिए दिए गए फलन को अंतिम बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है।

अतः यह $[0,2]$ पर एकसमान रूप से संतत है।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।

अवधारणा-  यदि f(x) को [a,b] पर परिभाषित किया गया है और यह संततता है तथा अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर f को परिभाषित किया गया है, तो f समान रूप से सतत है।

व्याख्या-  यहाँ f(x) = $\sqrt{x}$ और यह f (0) = 0 पर संतत है। 

f(2) = $\sqrt{2}$  तब, f एकसमान रूप से संतत है। 

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।

दिया गया है:

U और V [a, b] पर संतत हैं और [a, b] में समान परिमित अवकलज हैं।

प्रयुक्त संकल्पना:

दो फलन का उदाहरण लेते हुए, U और V दोनों संतत हैं और [a, b] में समान परिमित अवकलज हैं।

हल:

हमें  प्राप्त है,

u और v दोनों संतत फलन हैं।

मान लीजिए कि u और v दो बहुपद फलन हैं, क्योंकि बहुपद फलन संतत होते हैं।

और फिर हमारी स्थिति इस प्रकार है,

फलन u और v दोनों के [a, b] में समान परिमित अवकलज हैं।

⇒ [a, b] में $\frac{du}{dx}$ = $\frac{dv}{dx}$ 

⇒ u = v + c {समाकलन करने पर}

⇒ u - v = c {यहाँ स्थिरांक है}

अतः u - v स्थिरांक है।

$\therefore$  विकल्प 4 सही है।

अवधारणा-

प्रत्येक एकसमान सतत फलन किसी भी प्रांत पर सतत होता है।

व्याख्या:
 

किसी अंतराल पर प्रत्येक एकसमान सतत फलन उस अंतराल पर सतत होता है।

(1) सत्य है  

संकल्पना:

एक फलन f(x), x = a पर संतत है, यदि फलन x = a पर परिभाषित है और,

बायीं सीमा = दायीं सीमा = फलन मान = वास्तविक और परिमित

एक फलन को x =a पर अवकलनीय कहा जाता है यदि,

बायां अवकलज = दायां अवकलज = अच्छी तरह से परिभाषित

विश्लेषण:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-3x-4}{x^2+3x-4}$

यह फलन निम्न के लिए परिभाषित नहीं है:

x² + 3x – 4 = 0

⇒ (x + 4)(x - 1) = 0 अर्थात 

x = 1 और x = - 4 पर 

संकल्पना:

एक फलन को सतत कहा जाता है यदि

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})}$

गणना:

दिया गया:

f(x) = (x + 1)cotx

दोनों तरफ से log लेना

log (f(x)) = cot x log (x + 1)

x = 0 पर निरंतरता की जाँच के लिए

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\cot \mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{x}+1)}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{x}+1)}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}}}}$ = 0/0

L--हॉस्पिटल नियम का उपयोग करना

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)}}}$

$={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\mathrm{x}}{(\mathrm{x}+1)}}$

⇒ log (f(0)) = 1

⇒ f(0) = e1 = e

संकल्पना:

एक फलन जिसे दो बहुपद फलनों के अनुपात के रूप में लिखा जाता है उसे एक परिमेय फलन कहा जाता है।

परिमेय फलन उन बिंदुओं को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत होता हैं जहां हर शून्य हो जाता है।

$f(x)={\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}$

जहाँ P(x) और Q(x) बहुपद हैं और Q(x) ≠ 0।

f(x) उन बिंदुओं पर असतत होगा जहां Q(x) = 0 है।

गणना:

दिया हुआ:

$f(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{4x-x^3}}$

यह एक परिमेय फलन है, इसलिए यह उन बिंदुओं पर असतत हो जाएगा जहां हर शून्य हो जाता है।

4x - x3 = 0

x(4 - x2) = 0

x(22 - x2) = 0

x(2 + x)(2 - x) = 0

x = 0, x = - 2 और x = 2

इसलिए फलन $f(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{4x-x^3}}$ ठीक तीन बिंदुओं 0, - 2 और 2 पर असतत होगा।

Mistake Points 

इसमें संदेह हो सकता है कि कुछ कारक एक-दूसरे को समाप्त कर रहे हैं इसलिए पहले हमें इसे सरल बनाना होगा।

ध्यान दें कि

यदि (4 - x2) = 0 तब f(x) अनिश्चित या 0/0 रूप में आएगा।

इसलिए, फलन x = ± 2 के लिए कोई मान नहीं होगा। तो, ये असतत के बिंदु भी होंगे।

इसके अलावा यदि (4 - x2) ≠ 0

⇒ $f(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{4x-x^3}}=\frac{1}{x}$

यहाँ, x = 0 भी असतत का बिंदु है।

ठीक तीन बिंदु 0, - 2 और 2 होंगे।

संकल्पना:

एक फलन f(x), x = a पर निरंतर है यदि

माना कि वाम सीमा = दक्षिण सीमा = फलन मूल्य = वास्तविक और परिमित

किसी फलन को x = a पर अवकलनीय होना कहा जाता है यदि

वाम अवकलज = दक्षिण अवकलज = अच्छी तरह से परिभाषित

गणना:

दिया हुआ:

f(x) = |x|

x ≥ 0 के लिए |x| = x

x < 0 के लिए |x|= -x

x = 0 पर

वाम सीमा = 0, दक्षिण सीमा = 0, F(0) = 0

जैसा

वाम सीमा = दक्षिण सीमा = फलन मूल्य = ०

∴ |X|, x = 0 पर निरंतर है।

अभी

(x= 0 पर) वाम अवकलज = -1

(x= 0 पर) दक्षिण अवकलज = 1

वाम अवकलज ≠ दक्षिण अवकलज

∴ |x|, x = 0 पर अवकलनीय नहीं है

संकल्पना:

दिया गया है:

$f(x)=\frac{Inx+{\tan }^{-1}x}{x^2-1}$

फलन बिंदु पर अनिरंतर होगा जहाँ हर शून्य हो जाता है।

X² – 1, x = +1 और x = -1 पर शून्य हो जायेगा।

अंश में ln(x) है और यह ऋणात्मक मानों के लिए परिभाषित नहीं है।

∴ फलन f(x) अंतराल (0, 1),(1, ∞) में निरंतर होगा।

प्रयुक्त संकल्पना:-

जब किसी दिए गए बिंदु, x=a पर बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा मान बराबर होते हैं, तो उस बिंदु पर फलन को संतत कहा जाता है।

L.H.L = R.H.L = f(a) = 0

जब किसी दिए गए बिंदु x=a पर किसी फलन के बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज मान बराबर होते हैं, तो उस बिंदु पर फलन को अवकलनीय कहा जाता है।

L.H.D= R.H.D = f(a) = 0

स्पष्टीकरण:-

दिया गया फलन है,

 $f(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{sin{x}^2}{x},& \text{x ≠ 0}\\ 0,& x=0\end{array}$ 

इस फलन को निम्न रूप में पुनः लिखने पर,

$f(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{x.sin{x}^2}{x^2},& \text{x ≠ 0}\\ 0,& x=0\end{array}$

यहाँ, x=0 पर बाएँ पक्ष की सीमा मान,

⇒L.H.L= 0(1)=0

जो x = 0 पर दाएँ पक्ष की सीमा के बराबर है।

⇒R.H.L= f(0)

अत: फलन x = 0 पर संतत है।

उपरोक्त  फलन को x के सापेक्ष में अवकलित करने पर, हम निम्न प्राप्त करते हैं,

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{2x^2.cos{x}^2-sin{x}^2}{x^2},& \text{x ≠ 0}\\ 0,& x=0\end{array}$

Here, the value of the Left-hand derivative, Right hand derivative at x=0

⇒2cosx2 × x2/x2 - sinx2/x2 = 2 - 1 = 1 

⇒L.H.D = 1 = R.H.D

So, the function is differentiable at x= 0.

इसलिए, फलन x = 0 पर अवकलनीय है।

इसलिए, दिया गया फलन x = 0 पर संतत और अवकलनीय है।

सही विकल्प 1 है।

दिया गया​ है:

यदि f ∈ R [a, b]

संकल्पना:

एक बंद अंतराल में एक फलन की एक दिष्टता।

एक बंद अंतराल में एक फलन की सांतत्यता।

हल:

चूंकि किसी दिए गए फलन के लिए, यह सत्य नहीं है कि अंतराल में प्रदान किए गए प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में प्रत्येक संतत फलन एकदिष्ट होता है।

इसलिए, यदि f ∈ R [a, b] संतत है तो यह एक एकदिष्ट फलन होने की आवश्यकता नहीं है।

लेकिन यदि f ∈ R [a, b] एकदिष्ट है तो यह एक संतत फलन भी होगा।

इसलिए, न तो (a) और न ही (b) सही है।

संकल्पना:

एक फलन f(x), x = a पर संतत है, यदि फलन x = a पर परिभाषित है और,

बायीं सीमा = दायीं सीमा = फलन मान = वास्तविक और परिमित

एक फलन को x =a पर अवकलनीय कहा जाता है यदि,

बायां अवकलज = दायां अवकलज = अच्छी तरह से परिभाषित

विश्लेषण:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-3x-4}{x^2+3x-4}$

यह फलन निम्न के लिए परिभाषित नहीं है:

x² + 3x – 4 = 0

⇒ (x + 4)(x - 1) = 0 अर्थात 

x = 1 और x = - 4 पर 

संकल्पना:

एक फलन को सतत कहा जाता है यदि

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})}$

गणना:

दिया गया:

f(x) = (x + 1)cotx

दोनों तरफ से log लेना

log (f(x)) = cot x log (x + 1)

x = 0 पर निरंतरता की जाँच के लिए

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\cot \mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{x}+1)}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{x}+1)}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}}}}$ = 0/0

L--हॉस्पिटल नियम का उपयोग करना

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)}}}$

$={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\mathrm{x}}{(\mathrm{x}+1)}}$

⇒ log (f(0)) = 1

⇒ f(0) = e1 = e

संकल्पना:

एक फलन जिसे दो बहुपद फलनों के अनुपात के रूप में लिखा जाता है उसे एक परिमेय फलन कहा जाता है।

परिमेय फलन उन बिंदुओं को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत होता हैं जहां हर शून्य हो जाता है।

$f(x)={\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}$

जहाँ P(x) और Q(x) बहुपद हैं और Q(x) ≠ 0।

f(x) उन बिंदुओं पर असतत होगा जहां Q(x) = 0 है।

गणना:

दिया हुआ:

$f(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{4x-x^3}}$

यह एक परिमेय फलन है, इसलिए यह उन बिंदुओं पर असतत हो जाएगा जहां हर शून्य हो जाता है।

4x - x3 = 0

x(4 - x2) = 0

x(22 - x2) = 0

x(2 + x)(2 - x) = 0

x = 0, x = - 2 और x = 2

इसलिए फलन $f(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{4x-x^3}}$ ठीक तीन बिंदुओं 0, - 2 और 2 पर असतत होगा।

Mistake Points 

इसमें संदेह हो सकता है कि कुछ कारक एक-दूसरे को समाप्त कर रहे हैं इसलिए पहले हमें इसे सरल बनाना होगा।

ध्यान दें कि

यदि (4 - x2) = 0 तब f(x) अनिश्चित या 0/0 रूप में आएगा।

इसलिए, फलन x = ± 2 के लिए कोई मान नहीं होगा। तो, ये असतत के बिंदु भी होंगे।

इसके अलावा यदि (4 - x2) ≠ 0

⇒ $f(x)={\displaystyle \frac{4-x^2}{4x-x^3}}=\frac{1}{x}$

यहाँ, x = 0 भी असतत का बिंदु है।

ठीक तीन बिंदु 0, - 2 और 2 होंगे।