Maxima & Minima MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Maxima & Minima - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Mar 20, 2025

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Latest Maxima & Minima MCQ Objective Questions

Maxima & Minima Question 1:

A. f(x) एक वास्तविक फलन है, जो अंतराल [a, b] पर परिभाषित है। यदि [a, b] में कोई बिंदु c इस प्रकार है कि सभी x∈[a, b] के लिए f(x)≥f(c) है, तो f(x) का [a, b] में अधिकतम मान होना चाहिए।

B. मान लीजिए f(x) एक वास्तविक फलन है, जो अंतराल [a, b] पर परिभाषित है। यदि कोई बिंदु c ∈ [a, b] इस प्रकार है कि सभी x ∈ [a, b] के लिए f(x) ≤ f(c), तो f(x) को अंतराल [a, b] में न्यूनतम मान कहा जाता है।

C. f(x) = -(x - 1)2 + 2, x ∈ R, अधिकतम मान = 2, न्यूनतम मान मौजूद नहीं है।

D. f(x) = -|x + 1| +3. x ∈ R, अधिकतम मान = 3, न्यूनतम मान = 2

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

  1. A, B, C
  2. B, C, D
  3. C
  4. A, B, C, D

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : C

Maxima & Minima Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

1- f(x) एक वास्तविक फलन है, जो अंतराल [a, b] पर परिभाषित है। यदि [a, b] में कोई बिंदु c इस प्रकार है कि सभी x∈[a, b] के लिए f(x) ≤ f(c) है, तो f(x) का [a, b] में अधिकतम मान होना चाहिए।

A- असत्य है। 

2. मान लीजिए f(x) एक वास्तविक फलन है, जो अंतराल [a, b] पर परिभाषित है। यदि कोई बिंदु c ∈ [a, b] इस प्रकार है कि सभी x ∈ [a, b] के लिए f(x) ≥ f(c) है, तो f(x) का अंतराल [a, b] में न्यूनतम मान है।

B- असत्य है। 

⇒ f(x) = -(x - 1)2 + 2

x के सापेक्ष अवकलन करें,

⇒ f'(x) = - 2 ( x - 1 )

⇒ f'(x) = 0

⇒ -2 ( x-1) = 0

⇒ x = 1

x के सापेक्ष पुनः अवकलन करें,

⇒ f"(x) = -2

⇒ f"(x) < 0

x = 1 पर f''(x) का अधिकतम मान है और मान 2 है

C- सत्य है। 

⇒ f(x) = -|x + 1| + 3.

अधिकतम मान x = -1 पर 3 है लेकिन न्यूनतम मान मौजूद नहीं है। 

इसलिए विकल्प 3 केवल सही है। 

Maxima & Minima Question 2:

Comprehension:

आगे आने वाले प्रश्नांशों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें:

मान लीजिए f(x) = x2ax+1x2+ax+1 को (,)(,) से परिभाषित किया जाता है।

f(x) का स्थानीय निम्नतम किस पर होता है?

  1. x = 1
  2. x = - 1
  3. x = 0
  4. x = 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x = 1

Maxima & Minima Question 2 Detailed Solution

दिया गया है:

f(x) = x2ax+1x2+ax+1को (,)(,) से परिभाषित किया गया है

संकल्पना:

किसी फलन का निम्निष्ट या उच्चिष्ट​: ये फलन के मान हैं जहां इसका पहला अवकलज (ढलान) शून्य हो जाता है।

हम निम्नलिखित चरणों द्वारा फलन f(x) के निम्निष्ट या उच्चिष्ट की गणना कर सकते हैं।

चरण:1 किसी फलन के प्रथम अवकलज f'(x) की गणना कीजिए।

चरण:2 इसे शून्य के साथ समान करें और क्रांतिक मान ज्ञात करें (माना x 1 और x2)।

चरण:3 दूसरा अवकलज f''(x) ज्ञात कीजिए और क्रांतिक मानों पर इसके चिह्न की जाँच कीजिए।

चरण:4 यदि f''(x) <0 है तो उच्चिष्ट मान होगा और यदि f''(x) > 0 है तो अनुरूप मान पर  निम्निष्ट होगा।

गणना:

f(x) = 

उपरोक्त समीकरण को अलग करने पर,

f'(x) = (2xa)(x2+ax+1)(x2ax+1)(2x+a)(x2+ax+1)2

अब, f'(x) = 0

(2xa)(x2+ax+1)(x2ax+1)(2x+a)(x2+ax+1)2 = 0

(2xa)(x2+ax+1)(x2ax+1)(2x+a) = 0

(2xa)(x2+ax+1)=(x2ax+1)(2x+a)

(x2+ax+1)(x2ax+1)=(2x+a)(2xa)

योगांतरानुपात का उपयोग करते हुए,

(x2+ax+1+x2ax+1)(x2+ax+1x2+ax1)=(2x+a+2xa)(2x+a2x+a)

(2x2+2)2ax=4x2a

2x2+2=4x2

2x2=2

x = +1, -1

f'(x) = (2xa)(x2+ax+1)(x2ax+1)(2x+a)(x2+ax+1)2

सरलीकरण करके

f'(x) = 2a(x21)(x2+ax+1)2

उपरोक्त समीकरण को अलग करने पर,

f''(x) = 4ax(x2+ax+1)22(x2+ax+1)(2x+a)(2a(x21))(x2+ax+1)4

अब, x = 1 पर

f''(1) = 4a(2+a)2 > 0

अब, x = -1 पर

f''(-1) = 4a(2a)2 < 0

इसलिए, f(x) का स्थानीय न्यूनतम मान x = 1 पर होता है।

Maxima & Minima Question 3:

Comprehension:

आगे आने वाले प्रश्नांशों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें:

मान लीजिए f(x) = x2ax+1x2+ax+1 को (,)(,) से परिभाषित किया जाता है।

f(x) का न्यूनतम मान क्या है?

  1. 1
  2. 2a2+a
  3. x2ax+1x2+ax+1
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x2ax+1x2+ax+1

Maxima & Minima Question 3 Detailed Solution

दिया गया है:

f(x) = x2ax+1x2+ax+1को (,)(,) से परिभाषित किया गया है

गणना:

f(x) = x2ax+1x2+ax+1

उपरोक्त समीकरण को अलग करने पर,

f'(x) = (2xa)(x2+ax+1)(x2ax+1)(2x+a)(x2+ax+1)2

अब, f'(x) = 0

(2xa)(x2+ax+1)(x2ax+1)(2x+a)(x2+ax+1)2 = 0

(2xa)(x2+ax+1)(x2ax+1)(2x+a) = 0

(2xa)(x2+ax+1)=(x2ax+1)(2x+a)

(x2+ax+1)(x2ax+1)=(2x+a)(2xa)

योगांतरानुपात का उपयोग करते हुए,

(x2+ax+1+x2ax+1)(x2+ax+1x2+ax1)=(2x+a+2xa)(2x+a2x+a)

(2x2+2)2ax=4x2a

2x2+2=4x2

2x2=2

x = +1, -1

f'(x) = (2xa)(x2+ax+1)(x2ax+1)(2x+a)(x2+ax+1)2

सरलीकरण करके

f'(x) = 2a(x21)(x2+ax+1)2

उपरोक्त समीकरण को अलग करने पर,

f''(x) = 4ax(x2+ax+1)22(x2+ax+1)(2x+a)(2a(x21))(x2+ax+1)4

अब, x = 1 पर

f''(1) = 4a(2+a)2 > 0

अब, x = -1 पर

f''(-1) = 4a(2a)2 < 0

इसलिए, f(x) का स्थानीय न्यूनतम मान x = 1 पर होता है।

अब f(x) में x = 1 का मान रखें,

f(x) = (1)2a(1)+1(1)2+a(1)+1

f(x) = 2a2+a

Maxima & Minima Question 4:

'x' के किस मान के लिए फलन y = x2 - 4x का अधिकतम या न्यूनतम मान होगा?

  1. 1/2
  2. 2
  3. 4
  4. 1
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Maxima & Minima Question 4 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:

dy/dx = 0, d2y/dx2 के 0 से अधिक होने पर x का मान न्यूनतम मान देता है, और d2y/dx2 के 0 से कम होने पर अधिकतम मान देता है

गणना:

y = x2 - 4x      ----(i)

(i) को अवकलित करने पर,

dy/dx = 0

⇒ 2x - 4 = 0      ----(ii)

⇒ x = 2

समीकरण (ii) के दोहरे अवकलन द्वारा,

d2y/dx2 = 2 > 0

इसका अर्थ है कि समीकरण (i) का न्यूनतम मान x = 2 पर है

समीकरण (i) का न्यूनतम मान

⇒ 22 - 4 × 2

⇒ -4

 ∴ न्यूनतम मान x = 2 पर है

Maxima & Minima Question 5:

फलन f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 15 का स्थानीय न्यूनतम मान है:

  1. 15
  2. 27
  3. 3
  4. 1
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 15

Maxima & Minima Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

फलन f(x), x = a पर स्थानीय निम्निष्ठ है यदि, f '(a) = 0 और f " (a) > 0

गणना​:

दिया गया है, f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 15

⇒  f '(x) = 3x2 - 12x + 9

इसलिए f '(a) = 0 देता है, 3a2 - 12a + 9 = 0 

⇒ 3(a - 3)(a - 1) = 0 

⇒ a = 3, 1

और f "(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)

इसलिए, f "(3) > 0 और f "(1) < 0

⇒ फलन f(x) का x = 3 पर न्यूनतम मान है

तथा f(x) का स्थानीय न्यूनतम मान निम्न है

f(1) = (3)3 - 6(3)2 + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15

सही उत्तर विकल्प (1) है।

Top Maxima & Minima MCQ Objective Questions

k के मानों की सीमा क्या है जिसके लिए फलन f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 में बिंदु x = 0 पर स्थानीय उच्चिष्ठ है?

  1. k < -2 या k > 2
  2. k ≤ -2 या k ≥ 2
  3. -2 < k < 2
  4. -2 ≤ k ≤ 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -2 < k < 2

Maxima & Minima Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि फलन y = f(x) x के परिभाषित अंतराल पर है। 

फलन अंतिम मानों को प्राप्त करता है (मान अधिकतम या न्यूनतम या दोनों हो सकता है)

उच्चिष्ठ के लिए:

  • स्थानीय उच्चिष्ठ: एक बिंदु किसी फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ तब होता है यदि वहां कुछ अन्य बिंदु होते हैं जहाँ अधिकतम मान स्थानीय उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक होता है लेकिन वह बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ के निकट मौजूद नहीं होता है।
  • वैश्विक उच्चिष्ठ: यह वह बिंदु है जहाँ कोई अन्य बिंदु उस क्षेत्र में नहीं है जिसके लिए फलन में वैश्विक उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक मान है।

स्थिति:

f"(x) < 0 ⇒ उच्चिष्ठ

f"(x) > 0 ⇒ निम्निष्ट 

f"(x) = 0 ⇒ मोड़ का बिंदु 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

चूँकि x = 0 पर f(x) में स्थानीय उच्चिष्ठ है।

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

यहाँ, उपरोक्त समीकरण को 0 से कम रखने के लिए k मान -2 से 2 के बीच होना चाहिए। 

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

चूँकि उच्चिष्ठ के लिए स्थिति असमान है, इसलिए इसका उपयोग समीकरण अर्थात् k2 - 4 = 0 के रूप में मत कीजिए। यह k = ± 2 प्रदान करेगा और उत्तर को K < -2 या k > 2 में परिवर्तित करता है।

वर्गाकार आधार वाला एक आयताकार बक्सा शीर्ष पर खुला हुआ है। तो 1200 m2 टिन से बने बक्से का अधिकतम आयतन क्या है?

  1. 2000 m3
  2. 3000 m3
  3. 4000 m3
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 4000 m3

Maxima & Minima Question 7 Detailed Solution

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बक्से का वर्गाकार आधार है और खुला शीर्ष है। माना कि वर्गाकार आधार की भुजा x है और बक्से की ऊंचाई y है। अब पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) निम्न रूप में ज्ञात किया जा सकता है

S = (वर्गाकार आधार का क्षेत्रफल + भुजाओं का क्षेत्रफल) 

S = x+ 4xy
और आयतन V = x2y के रूप में दिया गया है

गणना:

दिया हुआ:
S = 1200 m2

चूँकि S = x+ 4xy

1200 = x+ 4xy
y=1200x24x=300xx4

अब

आयतन है

V = x2y

y का मूल्य रखकर

V=x2×(300xx4)=300xx34

अब अधिकतम आयतन के लिए

dVdx=0

ddx(300xx34)=3003x24=0

x2=300×43=400

x=400=20

अब

d2Vdx2=6x4

(d2Vdx2)x=20=6(20)4=30<0

∴ X = 20 पर आयतन अधिकतम होगा।

y=300xx4=30020204=155=10

अधिकतम आयतन है

V = x2y

(V)max = (20)2 × 10 = 4000 m2

मानाf(x)=xex है। अंतराल ( 0, ) में फलन का अधिकतम मान _____ है।

  1. e1
  2. e
  3. 1e1
  4. 1+e1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : e1

Maxima & Minima Question 8 Detailed Solution

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f(x)=xex+ex

f(x)=0,x=1

x = 1, f" (x) < 0

∴ x=1 पर अधिकतम मौजूद है और f(1)=e1 के बराबर है

फलन f(x) = 8 logx - x2 + 3, x =______________पर अंतराल [1, e] में अपने सार्वभौमिक न्यूनतम मान प्राप्त करता है।

(यहाँ logx, x और e2 = 7.39 का प्राकृतिक लघुगणक है)

  1. 2
  2. 1
  3. e
  4. 1+e2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Maxima & Minima Question 9 Detailed Solution

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गणना:

f(x) = 8 logx - x2 + 3

f ' (x) = 8/x - 2 x 

स्थिर बिंदुओं के लिए  f ' (x) = 0

8x2x=0  

x = ± 2 

x=  2[1  e]  

f(x)  =  (8x22) |at  x=2  =4  

f '' (x) < 0 

f(x), x = 2 पर अधिकतम है।

f(1) = 2

f(e) = 8 - e2 + 3 = 3.61

[1 , e] में f(x) का न्यूनतम मान = min { f (1) , f (e) }

[1 , e] में f(x) का न्यूनतम मान = min { 2 , 3.61 }

f(x), x = 1 पर न्यूनतम है।

फलन f(x) = x3 − 3x2 + 2x का [1, 2] में अधिकतम मान है:

  1. 1
  2. 2
  3. 4
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Maxima & Minima Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

y = f(x) का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात करने की विधि

  • दिए गए फलन y = f(x) के लिए f'(x) और f"(x) ज्ञात कीजिए।

  • स्थिर बिंदु x = a प्राप्त करने के लिए f'(x) को शून्य के बराबर करें

  • प्रत्येक स्थिर बिंदु पर f"(x) की गणना करें x = a (अर्थात f"(a))
    निम्नलिखित तीन शर्तें प्राप्त की जाती हैं:

  • यदि f”(a) > 0 तो f(x) x = a पर न्यूनतम है और न्यूनतम मान f(a) होगा

  • यदि f”(a) < 0 तो f(x) का x = a पर अधिकतम है और अधिकतम मान f(a) होगा

  • यदि f”(a) = 0 तो f(x) में x = a पर अधिकतम या हो सकता है या नहीं भी हो सकता है

 

गणना:

 f(x) = x3 − 3x2 + 2x   [1, 2] में

f(x)= x(x2 - 3x +2)

f(x)= x(x-2)(x-1) 

क्रांतिक बिंदु : 0,1,2

f'(x) = 3x2 - 6x +2

f''(x) =6x - 6

f''(0) = -6   < 0        ⇒ अधिकतम

f''(1)= 0

f''(2) = 6                न्यूनतम 

x = 0  पर उच्चिष्ठ

f(x) का अधिकतम मान 

⇒ f(0) = 0

इसलिए सही विकल्प "4" है

The function f(x)=tanxx at x = 0 has

  1. a discontinuity
  2. a maximum
  3. a minimum
  4. a point of inflection

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : a discontinuity

Maxima & Minima Question 11 Detailed Solution

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Concept:

Maxima: A function f(x) is said to have a Maximum at x = c if there exist δ > 0 such that |x-c| < δ ; f(x) ≤ f(c).

Minima: A function f(x) is said to have a Minimum at x = c if there exist δ > 0 such that |x-c| < δ ; f(x) ≥ f(c).

Point of Inflection: The point at which a curve crosses its tangent is called the point of inflection. The function is neither maximum nor minimum at the point of inflection.

Calculation

Given,

The function is f(x)=tan xx

Since the above function is not defined for x = 0 so it is discontinuous at this point. As a result of this, the function f(x) will not be differentiable at x = 0

So, the correct answer will be option 1

स्थिति xyz = 8 के अधीन x2 + y2 + z2 का न्यूनतम मान क्या है?

  1. 12
  2. 4
  3. 27
  4. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 12

Maxima & Minima Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि एक फलन F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 + λ(xyz) है।

बराबर करके λ का मान ज्ञात करने के लिए:

Fx=0

Fy=0

Fz=0

λ के लिए उपरोक्त समीकरणों को हल करके, हमें x,y, और z के बीच संबंध प्राप्त होगा।

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 + z2 + λ(xyz)

Fx=2x+(yz)λ=0

λ=2xyz .........(i)

Fy=2y+(xz)λ=0

λ=2yxz .........(ii)

Fz=2z+(xy)λ=0

λ=2zxy ..........(iii)

समीकरण (i) और (ii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

2xyz=2yxz

x = y

समीकरण (ii) और (iii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

2yxz=2zxy

y = z

समीकरण (i) और (iii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

2xyz=2zxy

z = x

∴ x = y = z

xyz = 8

(x)3 = 8

x = 2 = y = z

न्यूनतम मान = 22 + 2+ 22 = 12

उन दो संख्याओं के गुणनफल का अधिकतम मान कितना है, जिनका योग 12 है?

  1. 32
  2. 35
  3. 36
  4. 20

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 36

Maxima & Minima Question 13 Detailed Solution

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दिया गया है:

दो संख्याओं का योग = 12

प्रयुक्त अवधारणा:

अधिकतम मान के लिए, dy/dx = 0 रखने पर

गणना:

माना संख्या x है।

दूसरी संख्या = 12 - x 

दोनों संख्याओं का गुणनफल = P = x ( 12 - x) = 12x - x2

P = 12x - x2

dP/dx = 12 - 2x = 0

⇒ 2x = 12

x = 6

∴ Pअधिकतम = 12 × 6 - (6)2 = 72 - 36 = 36

Pअधिकतम = 36

'x' के किस मान के लिए फलन y = x2 - 4x का अधिकतम या न्यूनतम मान होगा?

  1. 1/2
  2. 2
  3. 4
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Maxima & Minima Question 14 Detailed Solution

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प्रयुक्त अवधारणा:

dy/dx = 0, d2y/dx2 के 0 से अधिक होने पर x का मान न्यूनतम मान देता है, और d2y/dx2 के 0 से कम होने पर अधिकतम मान देता है

गणना:

y = x2 - 4x      ----(i)

(i) को अवकलित करने पर,

dy/dx = 0

⇒ 2x - 4 = 0      ----(ii)

⇒ x = 2

समीकरण (ii) के दोहरे अवकलन द्वारा,

d2y/dx2 = 2 > 0

इसका अर्थ है कि समीकरण (i) का न्यूनतम मान x = 2 पर है

समीकरण (i) का न्यूनतम मान

⇒ 22 - 4 × 2

⇒ -4

 ∴ न्यूनतम मान x = 2 पर है

फलन f(x, y) = (xy+a3x+a3y) के लिए सत्य कथन है :

  1. अधिकतम मान 3a2 है।
  2. न्यूनतम मान 3a2 है।
  3. कोई उच्चिष्ट अथवा निम्निष्ट बिन्दु नहीं है।
  4. चरम मान (− a, −a) पर है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : न्यूनतम मान 3a2 है।

Maxima & Minima Question 15 Detailed Solution

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प्रयुक्त संकल्पना:

मान लीजिए (a, b) एक स्थिर बिंदु है, ताकि fx = 0 और fy = 0 (a, b) पर हो। फिर:

• यदि (a, b) पर, fxxfyy − f2xy < 0,  तब (a, b) एक पल्याण बिंदु है।

• यदि (a, b) पर, fxxfyy − f2xy > 0, तब (a, b) या तो अधिकतम या न्यूनतम है।

इनमें अंतर निम्नलिखित है:

 – यदि (a, b) पर, fxx < 0 और fyy < 0, तब (a, b) एक अधिकतम बिंदु है। 

 – यदि (a, b) पर, fxx > 0 और fyy > 0, तब (a, b) एक न्यूनतम बिंदु है। 

जहां fx, x के सापेक्ष में आंशिक अवकलज है और fy, y के सापेक्ष में आंशिक अवकलज है। 

गणना:

f(x, y) = (xy+a3x+a3y)

fx = y – a3x2

fxx 2a3x3

fy = x – a3y2

fyy2a3y3

fxy = fyx =0

fx = y – a3x2 = 0 ⇒ y = a3x2

fy = x – a3y2 = 0

⇒ x-a3x4a6 = 0 

x(1x3a3)=x(1xa)(1+x2a2+xa)=0

⇒ x = 0 , a और ⇒ y =  0, a

fxx(a, a) = 2>0, fyy(a, a) = 2>0

fxxfyy − f2xy = 2 ⋅ 2 -0 = 4 >0 

अत: (a, a) पर, f(x, y) निम्निष्ठ है।

और न्यूनतम मान  = f(a, a)

⇒ f(a, a) = (a2+a3a+a3a)=a2+a2+a2=3a2

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