Maxima & Minima MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Maxima & Minima - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

1- f(x) एक वास्तविक फलन है, जो अंतराल [a, b] पर परिभाषित है। यदि [a, b] में कोई बिंदु c इस प्रकार है कि सभी x∈[a, b] के लिए f(x) ≤ f(c) है, तो f(x) का [a, b] में अधिकतम मान होना चाहिए।

A- असत्य है। 

2. मान लीजिए f(x) एक वास्तविक फलन है, जो अंतराल [a, b] पर परिभाषित है। यदि कोई बिंदु c ∈ [a, b] इस प्रकार है कि सभी x ∈ [a, b] के लिए f(x) ≥ f(c) है, तो f(x) का अंतराल [a, b] में न्यूनतम मान है।

B- असत्य है। 

⇒ f(x) = -(x - 1)2 + 2

x के सापेक्ष अवकलन करें,

⇒ f'(x) = - 2 ( x - 1 )

⇒ f'(x) = 0

⇒ -2 ( x-1) = 0

⇒ x = 1

x के सापेक्ष पुनः अवकलन करें,

⇒ f"(x) = -2

⇒ f"(x) < 0

x = 1 पर f''(x) का अधिकतम मान है और मान 2 है

C- सत्य है। 

⇒ f(x) = -|x + 1| + 3.

अधिकतम मान x = -1 पर 3 है लेकिन न्यूनतम मान मौजूद नहीं है। 

इसलिए विकल्प 3 केवल सही है। 

दिया गया है:

f(x) = \({{x^2-ax+1}\over{x^2+ax+1}}\)को \((-\infty,\infty) \rightarrow (-\infty,\infty)\) से परिभाषित किया गया है

संकल्पना:

किसी फलन का निम्निष्ट या उच्चिष्ट​: ये फलन के मान हैं जहां इसका पहला अवकलज (ढलान) शून्य हो जाता है।

हम निम्नलिखित चरणों द्वारा फलन f(x) के निम्निष्ट या उच्चिष्ट की गणना कर सकते हैं।

चरण:1 किसी फलन के प्रथम अवकलज f'(x) की गणना कीजिए।

चरण:2 इसे शून्य के साथ समान करें और क्रांतिक मान ज्ञात करें (माना x 1 और x2)।

चरण:3 दूसरा अवकलज f''(x) ज्ञात कीजिए और क्रांतिक मानों पर इसके चिह्न की जाँच कीजिए।

चरण:4 यदि f''(x) <0 है तो उच्चिष्ट मान होगा और यदि f''(x) > 0 है तो अनुरूप मान पर  निम्निष्ट होगा।

गणना:

f(x) = 

उपरोक्त समीकरण को अलग करने पर,

f'(x) = \({{(2x-a)}(x^2+ax+1)-(x^2-ax+1)(2x+a)\over{(x^2+ax+1)^2}}\)

अब, f'(x) = 0

\({{(2x-a)}(x^2+ax+1)-(x^2-ax+1)(2x+a)\over{(x^2+ax+1)^2}}\) = 0

\({{(2x-a)}(x^2+ax+1)-(x^2-ax+1)(2x+a)}\) = 0

\({{(2x-a)}(x^2+ax+1)=(x^2-ax+1)(2x+a)}\)

\({(x^2+ax+1)\over {}(x^2-ax+1)} = {(2x+a)\over{(2x-a)}}\)

योगांतरानुपात का उपयोग करते हुए,

\({(x^2+ax+1+x^2-ax+1)\over {(x^2+ax+1-x^2+ax-1)}} = {(2x+a+2x-a)\over{(2x+a-2x+a)}}\)

\({(2x^2+2)\over {2ax}} = {4x\over{2a}}\)

\(2x^2+2 =4x^2\)

\(2x^2 = 2\)

x = +1, -1

f'(x) = \({{(2x-a)}(x^2+ax+1)-(x^2-ax+1)(2x+a)\over{(x^2+ax+1)^2}}\)

सरलीकरण करके

f'(x) = \({{2a}(x^2-1)\over{(x^2+ax+1)^2}}\)

उपरोक्त समीकरण को अलग करने पर,

f''(x) = \({{4ax}(x^2+ax+1)^2-2(x^2+ax+1)(2x+a)({2a}(x^2-1))\over{(x^2+ax+1)^4}}\)

अब, x = 1 पर

f''(1) = \({{4a}\over{(2+a)^2}}\) > 0

अब, x = -1 पर

f''(-1) = \({{-4a}\over{(2-a)^2}}\) < 0

इसलिए, f(x) का स्थानीय न्यूनतम मान x = 1 पर होता है।

दिया गया है:

f(x) = \({{x^2-ax+1}\over{x^2+ax+1}}\)को \((-\infty,\infty) \rightarrow (-\infty,\infty)\) से परिभाषित किया गया है

गणना:

f(x) = \({{x^2-ax+1}\over{x^2+ax+1}}\)

उपरोक्त समीकरण को अलग करने पर,

f'(x) = \({{(2x-a)}(x^2+ax+1)-(x^2-ax+1)(2x+a)\over{(x^2+ax+1)^2}}\)

अब, f'(x) = 0

\({{(2x-a)}(x^2+ax+1)-(x^2-ax+1)(2x+a)\over{(x^2+ax+1)^2}}\) = 0

\({{(2x-a)}(x^2+ax+1)-(x^2-ax+1)(2x+a)}\) = 0

\({{(2x-a)}(x^2+ax+1)=(x^2-ax+1)(2x+a)}\)

\({(x^2+ax+1)\over {}(x^2-ax+1)} = {(2x+a)\over{(2x-a)}}\)

योगांतरानुपात का उपयोग करते हुए,

\({(x^2+ax+1+x^2-ax+1)\over {(x^2+ax+1-x^2+ax-1)}} = {(2x+a+2x-a)\over{(2x+a-2x+a)}}\)

\({(2x^2+2)\over {2ax}} = {4x\over{2a}}\)

\(2x^2+2 =4x^2\)

\(2x^2 = 2\)

x = +1, -1

f'(x) = \({{(2x-a)}(x^2+ax+1)-(x^2-ax+1)(2x+a)\over{(x^2+ax+1)^2}}\)

सरलीकरण करके

f'(x) = \({{2a}(x^2-1)\over{(x^2+ax+1)^2}}\)

उपरोक्त समीकरण को अलग करने पर,

f''(x) = \({{4ax}(x^2+ax+1)^2-2(x^2+ax+1)(2x+a)({2a}(x^2-1))\over{(x^2+ax+1)^4}}\)

अब, x = 1 पर

f''(1) = \({{4a}\over{(2+a)^2}}\) > 0

अब, x = -1 पर

f''(-1) = \({{-4a}\over{(2-a)^2}}\) < 0

इसलिए, f(x) का स्थानीय न्यूनतम मान x = 1 पर होता है।

अब f(x) में x = 1 का मान रखें,

f(x) = \({{(-1)^2-a(1)+1}\over{(-1)^2+a(1)+1}}\)

f(x) = \({{2-a}\over{2+a}}\)

प्रयुक्त अवधारणा:

dy/dx = 0, d2y/dx2 के 0 से अधिक होने पर x का मान न्यूनतम मान देता है, और d2y/dx2 के 0 से कम होने पर अधिकतम मान देता है

गणना:

y = x2 - 4x      ----(i)

(i) को अवकलित करने पर,

dy/dx = 0

⇒ 2x - 4 = 0      ----(ii)

⇒ x = 2

समीकरण (ii) के दोहरे अवकलन द्वारा,

d2y/dx2 = 2 > 0

इसका अर्थ है कि समीकरण (i) का न्यूनतम मान x = 2 पर है

समीकरण (i) का न्यूनतम मान

⇒ 22 - 4 × 2

⇒ -4

 ∴ न्यूनतम मान x = 2 पर है

संकल्पना:

फलन f(x), x = a पर स्थानीय निम्निष्ठ है यदि, f '(a) = 0 और f " (a) > 0

गणना​:

दिया गया है, f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 15

⇒  f '(x) = 3x2 - 12x + 9

इसलिए f '(a) = 0 देता है, 3a2 - 12a + 9 = 0 

⇒ 3(a - 3)(a - 1) = 0 

⇒ a = 3, 1

और f "(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)

इसलिए, f "(3) > 0 और f "(1) < 0

⇒ फलन f(x) का x = 3 पर न्यूनतम मान है

तथा f(x) का स्थानीय न्यूनतम मान निम्न है

f(1) = (3)³ - 6(3)² + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

माना कि फलन y = f(x) x के परिभाषित अंतराल पर है। 

फलन अंतिम मानों को प्राप्त करता है (मान अधिकतम या न्यूनतम या दोनों हो सकता है)

उच्चिष्ठ के लिए:

• स्थानीय उच्चिष्ठ: एक बिंदु किसी फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ तब होता है यदि वहां कुछ अन्य बिंदु होते हैं जहाँ अधिकतम मान स्थानीय उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक होता है लेकिन वह बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ के निकट मौजूद नहीं होता है।
• वैश्विक उच्चिष्ठ: यह वह बिंदु है जहाँ कोई अन्य बिंदु उस क्षेत्र में नहीं है जिसके लिए फलन में वैश्विक उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक मान है।

स्थिति:

f"(x) < 0 ⇒ उच्चिष्ठ

f"(x) > 0 ⇒ निम्निष्ट 

f"(x) = 0 ⇒ मोड़ का बिंदु 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x² + 32x³ 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x² 

चूँकि x = 0 पर f(x) में स्थानीय उच्चिष्ठ है।

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

यहाँ, उपरोक्त समीकरण को 0 से कम रखने के लिए k मान -2 से 2 के बीच होना चाहिए। 

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

चूँकि उच्चिष्ठ के लिए स्थिति असमान है, इसलिए इसका उपयोग समीकरण अर्थात् k2 - 4 = 0 के रूप में मत कीजिए। यह k = ± 2 प्रदान करेगा और उत्तर को K < -2 या k > 2 में परिवर्तित करता है।

बक्से का वर्गाकार आधार है और खुला शीर्ष है। माना कि वर्गाकार आधार की भुजा x है और बक्से की ऊंचाई y है। अब पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) निम्न रूप में ज्ञात किया जा सकता है

S = (वर्गाकार आधार का क्षेत्रफल + भुजाओं का क्षेत्रफल) 

S = x² + 4xy
और आयतन V = x²y के रूप में दिया गया है

गणना:

दिया हुआ:
S = 1200 m2

चूँकि S = x2 + 4xy

1200 = x2 + 4xy
\(y = \frac{{1200 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{300}}{x} - \frac{x}{4}\)

अब

आयतन है

V = x2y

y का मूल्य रखकर

\(V = {x^2} \times \left( {\frac{{300}}{x} - \frac{x}{4}} \right) = 300x - \frac{{{x^3}}}{4}\)

अब अधिकतम आयतन के लिए

\(\frac{{dV}}{{dx}} = 0\)

\(\frac{d}{{dx}}\left( {300x - \frac{{{x^3}}}{4}} \right) = 300 - \frac{{3{x^2}}}{4} = 0\)

\({x^2} = \frac{{300 \times 4}}{3} = 400\)

\(x = \sqrt {400} = 20\)

अब

\(\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}} = - \frac{{6x}}{4}\)

\({\left( {\frac{{{d^2}V}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = 20}} = - \frac{{6\left( {20} \right)}}{4} = - 30 < 0\)

∴ X = 20 पर आयतन अधिकतम होगा।

\(y = \frac{{300}}{x} - \frac{x}{4} = \frac{{300}}{{20}} - \frac{{20}}{4} = 15 - 5 = 10\)

अधिकतम आयतन है

V = x2y

(V)max = (20)2 × 10 = 4000 m2

\(f'\left( x \right) = - x{e^{ - x}} + {e^{ - x}}\)

\(f'\left( x \right) = 0,\;x = 1\)

x = 1, f" (x) < 0

∴ \(x = 1\) पर अधिकतम मौजूद है और \(f\left( 1 \right) = {e^{ - 1}}\) के बराबर है

गणना:

f(x) = 8 loge x - x2 + 3

f ' (x) = 8/x - 2 x 

स्थिर बिंदुओं के लिए  f ' (x) = 0

\(\dfrac {8}{x} - 2x = 0 \ \ \)

x = ± 2 

\(x =\ \ 2 \in [1 \ \ e] \ \ \)

\(f '(x)\ \ =\ \ {( -\dfrac {8}{x^2}-2} )\ |_{at\ \ x = 2}\ \ = -4 \ \ \)

f '' (x) < 0 

f(x), x = 2 पर अधिकतम है।

f(1) = 2

f(e) = 8 - e² + 3 = 3.61

[1 , e] में f(x) का न्यूनतम मान = min { f (1) , f (e) }

[1 , e] में f(x) का न्यूनतम मान = min { 2 , 3.61 }

f(x), x = 1 पर न्यूनतम है।

संकल्पना:

y = f(x) का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात करने की विधि

• दिए गए फलन y = f(x) के लिए f'(x) और f"(x) ज्ञात कीजिए।

• स्थिर बिंदु x = a प्राप्त करने के लिए f'(x) को शून्य के बराबर करें

• प्रत्येक स्थिर बिंदु पर f"(x) की गणना करें x = a (अर्थात f"(a))
  निम्नलिखित तीन शर्तें प्राप्त की जाती हैं:

• यदि f”(a) > 0 तो f(x) x = a पर न्यूनतम है और न्यूनतम मान f(a) होगा

• यदि f”(a) < 0 तो f(x) का x = a पर अधिकतम है और अधिकतम मान f(a) होगा

• यदि f”(a) = 0 तो f(x) में x = a पर अधिकतम या हो सकता है या नहीं भी हो सकता है

गणना:

 f(x) = x3 − 3x2 + 2x   [1, 2] में

f(x)= x(x² - 3x +2)

f(x)= x(x-2)(x-1) 

क्रांतिक बिंदु : 0,1,2

f'(x) = 3x² - 6x +2

f''(x) =6x - 6

f''(0) = -6   < 0        ⇒ अधिकतम

f''(1)= 0

f''(2) = 6                ⇒ न्यूनतम 

x = 0  पर उच्चिष्ठ

f(x) का अधिकतम मान 

⇒ f(0) = 0

इसलिए सही विकल्प "4" है

Concept:

Maxima: A function f(x) is said to have a Maximum at x = c if there exist δ > 0 such that |x-c| < δ ; f(x) ≤ f(c).

Minima: A function f(x) is said to have a Minimum at x = c if there exist δ > 0 such that |x-c| < δ ; f(x) ≥ f(c).

Point of Inflection: The point at which a curve crosses its tangent is called the point of inflection. The function is neither maximum nor minimum at the point of inflection.

Calculation: 

Given,

The function is \(f\left( x \right) = \frac{{tan~x}}{x}\)

Since the above function is not defined for x = 0 so it is discontinuous at this point. As a result of this, the function f(x) will not be differentiable at x = 0

So, the correct answer will be option 1

संकल्पना:

माना कि एक फलन F(x,y,z) = x2 + y2 + z² + λ(xyz) है।

बराबर करके λ का मान ज्ञात करने के लिए:

\( {\partial F \over \partial x}=0\)

\( {\partial F \over \partial y}=0\)

\( {\partial F \over \partial z}=0\)

λ के लिए उपरोक्त समीकरणों को हल करके, हमें x,y, और z के बीच संबंध प्राप्त होगा।

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 + z2 + λ(xyz)

\( {\partial F \over \partial x}=2x+(yz)\lambda=0\)

\(\lambda={-2x\over yz}\) .........(i)

\( {\partial F \over \partial y}=2y+(xz)\lambda=0\)

\(\lambda={-2y\over xz}\) .........(ii)

\( {\partial F \over \partial z}=2z+(xy)\lambda=0\)

\(\lambda={-2z\over xy}\) ..........(iii)

समीकरण (i) और (ii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\({-2x\over yz}={-2y\over xz}\)

x = y

समीकरण (ii) और (iii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\({-2y\over xz}={-2z\over xy}\)

y = z

समीकरण (i) और (iii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\({-2x\over yz}={-2z\over xy}\)

z = x

∴ x = y = z

xyz = 8

(x)³ = 8

x = 2 = y = z

न्यूनतम मान = 2² + 2² + 2² = 12

दिया गया है:

दो संख्याओं का योग = 12

प्रयुक्त अवधारणा:

अधिकतम मान के लिए, dy/dx = 0 रखने पर

गणना:

माना संख्या x है।

दूसरी संख्या = 12 - x 

दोनों संख्याओं का गुणनफल = P = x ( 12 - x) = 12x - x²

P = 12x - x2

dP/dx = 12 - 2x = 0

⇒ 2x = 12

x = 6

∴ P_{अधिकतम} = 12 × 6 - (6)² = 72 - 36 = 36

P_{अधिकतम} = 36

प्रयुक्त अवधारणा:

dy/dx = 0, d2y/dx2 के 0 से अधिक होने पर x का मान न्यूनतम मान देता है, और d2y/dx2 के 0 से कम होने पर अधिकतम मान देता है

गणना:

y = x2 - 4x      ----(i)

(i) को अवकलित करने पर,

dy/dx = 0

⇒ 2x - 4 = 0      ----(ii)

⇒ x = 2

समीकरण (ii) के दोहरे अवकलन द्वारा,

d2y/dx2 = 2 > 0

इसका अर्थ है कि समीकरण (i) का न्यूनतम मान x = 2 पर है

समीकरण (i) का न्यूनतम मान

⇒ 22 - 4 × 2

⇒ -4

 ∴ न्यूनतम मान x = 2 पर है

प्रयुक्त संकल्पना:

मान लीजिए (a, b) एक स्थिर बिंदु है, ताकि f_x = 0 और fy = 0 (a, b) पर हो। फिर:

• यदि (a, b) पर, f_xxf_yy − f²_xy < 0,  तब (a, b) एक पल्याण बिंदु है।

• यदि (a, b) पर, fxxfyy − f2xy > 0, तब (a, b) या तो अधिकतम या न्यूनतम है।

इनमें अंतर निम्नलिखित है:

 – यदि (a, b) पर, f_xx < 0 और f_yy < 0, तब (a, b) एक अधिकतम बिंदु है। 

 – यदि (a, b) पर, f_xx > 0 और f_yy > 0, तब (a, b) एक न्यूनतम बिंदु है। 

जहां fx, x के सापेक्ष में आंशिक अवकलज है और fy, y के सापेक्ष में आंशिक अवकलज है। 

गणना:

f(x, y) = \(\left(xy+\frac{a^{3}}{x}+\frac{a^{3}}{y}\right) \)

f_x = y – \(\frac{a^3}{x^2}\)

f_xx = \(\frac{2a^3}{x^3}\)

f_y = x – \(\frac{a^3}{y^2}\)

f_yy= \(\frac{2a^3}{y^3}\)

f_xy = f_yx =0

f_x = y – \(\frac{a^3}{x^2}\) = 0 ⇒ y = \(\frac{a^3}{x^2}\)

f_y = x – \(\frac{a^3}{y^2}\) = 0

⇒ x-\(\frac{a^3x^4}{a^6}\) = 0 

\(⇒ x(1-\frac{x^3}{a^3})=x\left(1-\frac{x}{a}\right)\left(1+\frac{x^2}{a^2}+\frac{x}{a}\right)=0 \)

⇒ x = 0 , a और ⇒ y =  0, a

f_xx(a, a) = 2>0, f_yy(a, a) = 2>0

fxxfyy − f2xy = 2 ⋅ 2 -0 = 4 >0 

अत: (a, a) पर, f(x, y) निम्निष्ठ है।

और न्यूनतम मान  = f(a, a)

⇒ f(a, a) = \(\left(a^2+\frac{a^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{a}\right) =a^2+a^{2}+{a^{2}}=3a^2\)