Multiple Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiple Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

${\int }_c(xyi+y^{2}j).(idx+jdy)$

= ${\int }_c(xydx+y^{2}dy)$

= ${\int }_{-1}^1{\int }_{-1}^1(0-x)dxdy$ (चूँकि ${\int }_c(Pdx+Qdy)=\int {\int }_S(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$ है )

= 0 (${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$ यदि f(x) विषम फलन है)

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

⇒ $I={\iiint }_{R}xyzdxdydz$ R : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 3

⇒ $I={\int }_0^1{\int }_1^2{\int }_2^{3}xyzdzdydx$

⇒$I={\int }_0^{1}xdx{\int }_1^{2}ydy{\int }_2^{3}zdz$

⇒$I=(\frac{x^2}{2}{)}_0^1(\frac{y^2}{2}{)}_1^2(\frac{z^2}{2}{)}_2^3$

हल करने के बाद

⇒I = $\left(\frac{1}{2}\right)\times \left(\frac{3}{2}\right)\times \left(\frac{5}{2}\right)$

⇒${\iiint }_{R}xyzdxdydz=\frac{15}{8}$

⇒ m = 15 ,n = 8

⇒$m\times n=15\times 8=120$

अतः विकल्प 4 सही है।

गणना:

दिया गया है, f(x, y) = ${\displaystyle {\iint }_{(u-x{)}^2+(v-y{)}^2\le 1}}$ $e^{-\sqrt{(u-x{)}^2+(v-y{)}^2}}$ du dv।

मान लीजिए u - x = r cosθ और v - y = r sinθ

⇒ du dv = r dr dθ

और, (u - x)² + (v - y)² ≤ 1 त्रिज्या r ≤ 1 वाले वृत्त को निरूपित करता है।

∴ ${\displaystyle {\iint }_{(u-x{)}^2+(v-y{)}^2\le 1}}$ $e^{-\sqrt{(u-x{)}^2+(v-y{)}^2}}$ du dv

= ${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{2\pi }r{e}^{-r}drd\theta }$

= ${\displaystyle {\int }_0^{1}r{e}^{-r}[\theta {]}_0^{2\pi }dr}$

=2π${\displaystyle {\int }_0^{1}r{e}^{-r}dr}$

= 2π${\displaystyle [r\int e^{-r}dr-\int (\frac{d}{dr}r\int e^{-r}dr)dr]}$

= 2π${\displaystyle {[-r{e}^{-r}-e^{-r}]}_0^1}$

= 2π[(- e^-1 - e^-1) - (0 - 1)]

= 2π(1 − 2e−1)

∴ ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}}$ f(n, n2) = 2π(1 − 2e−1)

(4) सही है। 

व्याख्या:

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx − ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy

पहले समाकल में क्रम बदलें:

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx

x = 0, x = 1

y = 0, y = 1 - x

⇒ y = 0, y = 1 और x = 0, x = 1 - y

इसलिए ∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx = ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy

इसलिए

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx − ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy = 0

(1) सही है

व्याख्या:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dydxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}[\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dy]dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{[(x+y)[y]+\frac{y^2}{2}]}_{x-z}^{x+z}dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dx]dz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\{4z\left(\frac{x^2}{2}\right)+2z^2[x]\}}_0^{z}dz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4z^{3}dz$

$\frac{4}{4}[z^4{]}_{-1}^1=0$

दिया गया है:

$I={\int }_{x=0}^1{\int }_{y=0}^{x^2}x{y}^{2}dydx$

0 ≤ y ≤ x² (यह लंबवत पट्टी द्वारा दर्शाया गया है)

और x, 0 से 1 तक भिन्न होता है।

अब यदि हम समाकलन के क्रम को बदलते हैं, तो हमें एक क्षैतिज पट्टी खींचनी होगी।

समाकलन के क्रम को बदलने के बाद

$\sqrt{y}\le x\le 1$

और, 0 ≤ y ≤ 1

∴ $I={\int }_{y=0}^1{\int }_{x=\sqrt{y}}^{1}x{y}^{2}dxdy$

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

${\int }_{{\text{x}}_1}^{{\text{x}}_2}{\int }_{{\text{y}}_1}^{{\text{y}}_2}{\int }_{{\text{z}}_1}^{{\text{z}}_2}\text{f}(\text{x},\text{y},\text{z})\text{ dz }\text{ dy }\text{ dx}$

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

${\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^{\text{1}}{\int }_0^{1-\text{x}}\text{x }\text{ dz }\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }{\left|\text{z}\right|}_0^{1-\text{x}}\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }(1-\text{x})\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{|\frac{{\text{x}}^2}{2}-\frac{{\text{x}}^3}{3}|}_{{\text{y}}^2}^1\text{ dy}$

$={\int }_0^1(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{{\text{y}}^4}{2}-\frac{{\text{y}}^6}{3})\text{ dy}$

$=\frac{1}{6}-{|\frac{{\text{y}}^5}{10}-\frac{{\text{y}}^7}{21}|}_0^1$

$=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}$

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}\mathrm{d}\mathrm{y}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}\right)}_0^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}_0^2$

$=\frac{{\mathrm{e}}^4}{2}-{\mathrm{e}}^2-\frac{1}{2}+1=\frac{{\mathrm{e}}^4}{2}-{\mathrm{e}}^2+\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}\left({\mathrm{e}}^4-2{\mathrm{e}}^2+1\right)=\frac{1}{2}{\left({\mathrm{e}}^2-1\right)}^2$

अंतः खंड के रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है

$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$

⇒ $y=1-\frac{x}{2}\Rightarrow x=2-2y$

⇒ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{2-2y}{\int }}\left(xydx\right)dy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[\left(\frac{y{x}^2}{2}\right){|}_0^{2-2y}\right]dy$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{y}{2}{\left(2-2y\right)}^{2}dy$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2y{\left(1-y\right)}^{2}dy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2y-4y^2+2y^3)dy$

$={\left[y^2-\frac{4}{3}{y}^3+\frac{y^4}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{6}$

वर्णन:

हमारे पास निम्न रूप में समाकलन दिया गया है,

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{x^2}{\int }}\left(x^2+y^2\right)dydx$

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{x^2}{\int }}\left(x^2+y^2\right)\cdot dy\cdot dx$

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[x^{2}y+\frac{y^3}{3}\right]}_0^{x^2}dx$

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[x^4+\frac{x^6}{3}\right]dx$

सीमा को रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

$I={\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7\times 3}\right]}_0^1$

$I=\frac{1}{5}+\frac{1}{21}=\frac{26}{105}$

अतः समाकलन का आवश्यक मान $\frac{26}{105}$ होगा। 

संकल्पना:

${\displaystyle {\int }_0^m{\int }_0^{x}f(x,y)dA}$

चूँकि आंतरिक सीमा x के पदों में है, इसलिए हमें पहले 'y' पदों को समाकलन करना होगा और संपूर्ण व्यंजक को x के पदों में परिवर्तित करना होगा।

गणना:

दिया गया है:

${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^x(x^2+y^2)dA}$

${\displaystyle {\int }_0^1[{\int }_0^x(x^2+y^2)dy]dx}$

${\displaystyle {\int }_0^1(x^2[y{]}_0^x+{\left[\frac{y^3}{3}\right]}_0^x)dx}$

${\displaystyle {\int }_0^1(x^3+\frac{x^3}{3})dx}$

${\displaystyle {\int }_0^1\left(\frac{4x^3}{3}\right)dx}$

${\displaystyle {\left(\frac{4x^4}{12}\right)}_0^1}$

${\displaystyle \frac{1}{3}}$

अवधारणा:

दोहरे समाकल का मूल्यांकन: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पहले के संबंध में किस चर को समाकलित करते हैं, समाकलन के क्रम की परवाह किए बिना हमें वही उत्तर मिलेगा।

$\int \frac{dx}{x}=ln(x)+c$

गणना:

दिया हुआ है कि:

I = ${\int }_1^a{\int }_1^b\frac{dxdy}{xy}$

= ${\int }_1^a\frac{dx}{x}\times {\int }_1^b\frac{dy}{y}$

= | ln (x) |1 to a × | ln (y) |1 to b 

= [ln (a) - ln (1)] × [ln(b) - ln(1)]

I = ln (a) ln (b) 

संकेत:

$\int {}_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\pi }\cos (\mathrm{x}+\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$ खोजने के लिए बाह्यतम समाकलन की सीमा स्थिर है। इसलिए पहले x के संबंध में समाकलन करें

जब x के संबंध में समाकलन किया जाता है तो हमें y को एक स्थिरांक समझना चाहिए।

हम जानते हैं कि:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi +\theta )=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta$ और:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-\theta )=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta$

गणना:

मानें कि, I = $\int {}_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\pi }\cos (\mathrm{x}+\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

ज्ञात करना है:

$\int {}_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\pi }\cos (\mathrm{x}+\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

बाह्यतम समाकलन की सीमा स्थिर है। इसलिए पहले x के संबंध में समाकलन करें

जब x के संबंध में समाकलन किया जाता है, तो हमें y को एक स्थिरांक समझना चाहिए।

$={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x}+\mathrm{y}){]}_0^{\pi }\mathrm{d}\mathrm{y}$

$={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi +\mathrm{y})-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(0+\mathrm{y}))\mathrm{d}\mathrm{y}$

हम जानते हैं कि $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi +\theta )=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta$ और $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-\theta )=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta$

$={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}(-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{y}$

$={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}(-2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{y}$

$=-2{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{y}$

= 2 [cos y]0π/2

= 2 [cos 90° - cos 0°]

= -2

अवधारणा:

त्रिक समाकल का मूल्यांकन बार-बार समाकल के रूप में किया जा सकता है:

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}f(x,y,x)dzdydx$

सबसे पहले, f(x, y, z) को x और y को चर मानते हुए z2 और z2 सीमाओं के मध्य z के सापेक्ष समाकलन किया जाता है, फिर x को चर मानते हुए सीमा y1 और y2 के मध्य y के सापेक्ष समाकलन किया जाता है। तब परिणाम का x के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।

गणना: 

यहाँ,

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dzdxdy$

y के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम पाते हैं,

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{[xy+\frac{y^2}{2}+zy]}_{x-z}^{z+z}dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}[x(x+z-x+z)+\frac{1}{2}((x+z{)}^2-(x-z{)}^2)+z(x+z-x+z)]dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(2xz+2xz+2x^2)dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dxdz$

 x के सापेक्ष समाकलन करने पर, 

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{[\frac{4x^{2}z}{2}+2z^{2}x]}_0^{z}dx$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{[2x^{2}z+2z^{2}x]}_0^{z}dz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4z^{3}dz$

⇒ $4{\left[\frac{z^4}{4}\right]}_{-1}^1$

⇒ $\frac{4}{4}[(1{)}^4-(-1{)}^4]$

⇒ 1 - 1 

⇒ 0

∴ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dzdxdy=0$

अवधारणा:

$\underset{0}{\overset{m}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(x,y)dxdy$

चूँकि अंदर की सीमाएँ x के पदों में हैं, इसलिए हमें पहले 'y' पदों का समाकलन करना होगा और संपूर्ण व्यंजक को x के पदों में बदलना होगा।

गणना:

यहाँ,

⇒ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{x}{\overset{\sqrt{x}}{\int }}\left(x^2+y^2\right)dxdy$

y के सापेक्ष समाकलन करने पर हम पाते हैं, 

⇒ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{[x^{2}y+\frac{y^3}{3}]}_x^{\sqrt{x}}dx$

⇒ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}[(x^2\sqrt{x}+\frac{x\sqrt{x}}{3})-(x^3+\frac{x^3}{3})]dx$

⇒ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^{5/2}+\frac{x^{3/2}}{3}-\frac{4}{3}{x}^3)dx$

⇒ $\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}[3x^{5/2}+x^{3/2}-4x^3]dx$

⇒ $\frac{1}{3}{[\frac{3x^{7/2}}{7/2}+\frac{x^{5/2}}{5/2}-4\frac{x^4}{4}]}_0^1$

⇒ $\frac{1}{3}[\frac{6}{7}+\frac{2}{5}-1-(0)]$

⇒ $\frac{1}{3}(\frac{2}{5}-\frac{1}{7})$

⇒ $\frac{1}{3}\left(\frac{14-5}{35}\right)$

⇒ $\frac{9}{3\times 35}$

⇒ $\frac{3}{35}$

∴ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{x}{\overset{\sqrt{x}}{\int }}\left(x^2+y^2\right)dxdy=\frac{3}{35}$