Multiple Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiple Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

\( \int_c(xyi+y^2j).(idx+jdy)\)

= \( \int_c(xydx+y^2dy)\)

= \( \int_{-1}^1\int_{-1}^1(0-x)dxdy\) (चूँकि \(\int_c(Pdx+Qdy)=\int\int_S({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy\) है )

= 0 (\(\int_{-a}^af(x)dx=0\) यदि f(x) विषम फलन है)

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

⇒ \(I = \iiint_R xyzdxdydz \) R : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 3

⇒ \(I =\int_0^1\int_1^2\int_2^3 xyzdzdydx\)

⇒\(I = \int_0^1 xdx \int_1^2 ydy \int_2^3zdz \)

⇒\(I = (\frac{x^2}{2})_0^1(\frac{y^2}{2})_1^2(\frac{z^2}{2})_2^3\)

हल करने के बाद

⇒I = \( \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{3}{2} \right) \times \left( \frac{5}{2} \right) \)

⇒\( \iiint_R xyz \,dx\,dy\,dz = \frac{15}{8} \)

⇒ m = 15 ,n = 8

⇒\(m\times n = 15\times 8 = 120\)

अतः विकल्प 4 सही है।

गणना:

दिया गया है, f(x, y) = \(\displaystyle \iint_{(u-x)^2+(v-y)^2 ≤ 1}\) \( e^{-\sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2}} \) du dv।

मान लीजिए u - x = r cosθ और v - y = r sinθ

⇒ du dv = r dr dθ

और, (u - x)² + (v - y)² ≤ 1 त्रिज्या r ≤ 1 वाले वृत्त को निरूपित करता है।

∴ \(\displaystyle \iint_{(u-x)^2+(v-y)^2 ≤ 1}\) \( e^{-\sqrt{(u-x)^2+(v-y)^2}} \) du dv

= \(\displaystyle \int_0^1\int_0^{2\pi}re^{-r}dr d\theta\)

= \(\displaystyle \int_0^1re^{-r}[\theta]_0^{2π}dr\)

=2π\(\displaystyle \int_0^1re^{-r}dr\)

= 2π\(\displaystyle \left[r\int e^{-r}dr-\int \left(\frac{d}{dr}r \int e^{-r}dr\right )dr \right ]\)

= 2π\(\displaystyle \left[-re^{-r}-e^{-r} \right ]_0^1\)

= 2π[(- e^-1 - e^-1) - (0 - 1)]

= 2π(1 − 2e−1)

∴ \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\) f(n, n2) = 2π(1 − 2e−1)

(4) सही है। 

व्याख्या:

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx − ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy

पहले समाकल में क्रम बदलें:

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx

x = 0, x = 1

y = 0, y = 1 - x

⇒ y = 0, y = 1 और x = 0, x = 1 - y

इसलिए ∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx = ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy

इसलिए

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx − ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy = 0

(1) सही है

व्याख्या:

\(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)dydxdz} } }\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z \left[\int\limits_{x - z}^{x + z} (x + y + z)dy\right]dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z \left[ (x + y)[y] + \frac{y^2}{2}\right]_{x - z}^{x + z}dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z (4xz\;+\;2z^2)dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1\left[ \int\limits_0^z (4xz\;+\;2z^2)dx\right]dz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1\left\{4z\left(\frac{x^2}{2}\right)\;+\;2z^2[x]\right\}_0^zdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^14z^3dz\;\)

\(\frac{4}{4}[z^4]_{-1}^1=0\)

दिया गया है:

\(I = \mathop \smallint \nolimits_{x = 0}^1 \mathop \smallint \nolimits_{y = 0}^{{x^2}} x{y^2}dydx\)

0 ≤ y ≤ x² (यह लंबवत पट्टी द्वारा दर्शाया गया है)

और x, 0 से 1 तक भिन्न होता है।

अब यदि हम समाकलन के क्रम को बदलते हैं, तो हमें एक क्षैतिज पट्टी खींचनी होगी।

समाकलन के क्रम को बदलने के बाद

\(\sqrt y \le x \le 1\)

और, 0 ≤ y ≤ 1

∴ \(I = \mathop \smallint \nolimits_{y = 0}^1 \mathop \smallint \nolimits_{x = \sqrt y }^1 x{y^2}dxdy\)

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

\(\mathop{\int }_{{{\text{x}}_{1}}}^{{{\text{x}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{y}}_{1}}}^{{{\text{y}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{z}}_{1}}}^{{{\text{z}}_{2}}}\text{f}\left( \text{x},\text{y},\text{z} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dy }\!\!~\!\!\text{ dx}\)

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

\(\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{\text{1}}\mathop{\int }_{0}^{1-\text{x}}\text{x }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left| \text{z} \right|_{0}^{1-\text{x}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left( 1-\text{x} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\mathop{\int }_{0}^{1}\left| \frac{{{\text{x}}^{2}}}{2}-\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3} \right|_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)-\left( \frac{{{\text{y}}^{4}}}{2}-\frac{{{\text{y}}^{6}}}{3} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\frac{1}{6}-\left| \frac{{{\text{y}}^{5}}}{10}-\frac{{{\text{y}}^{7}}}{21} \right|_{0}^{1}\)

\(=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}\)

\(\mathop \smallint \limits_0^2 \mathop \smallint \limits_0^{\rm{x}} {{\rm{e}}^{{\rm{x}} + {\rm{y}}}}{\rm{dydx}} = \mathop \smallint \limits_0^2 {{\rm{e}}^{\rm{x}}}\left( {\mathop \smallint \limits_0^{\rm{x}} {{\rm{e}}^{\rm{y}}}{\rm{dy}}} \right){\rm{dx}}\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^2 {{\rm{e}}^{\rm{x}}}\left( {{{\rm{e}}^{\rm{y}}}} \right)_0^{\rm{x}}{\rm{dx}} = \mathop \smallint \limits_0^2 {{\rm{e}}^{\rm{x}}}\left( {{{\rm{e}}^{\rm{x}}} - 1} \right){\rm{dx}}\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^2 \left( {{{\rm{e}}^{2{\rm{x}}}}-{{\rm{e}}^{\rm{x}}}} \right){\rm{dx}} = \left( {\frac{{{{\rm{e}}^{2{\rm{x}}}}}}{2} - {{\rm{e}}^{\rm{x}}}} \right)_0^2\)

\(= \frac{{{{\rm{e}}^4}}}{2} - {{\rm{e}}^2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{{{{\rm{e}}^4}}}{2} - {{\rm{e}}^2} + \frac{1}{2}\)

\(= \frac{1}{2}\left( {{{\rm{e}}^4} - 2{{\rm{e}}^2} + 1} \right) = \frac{1}{2}{\left( {{{\rm{e}}^2} - 1} \right)^2}\)

अंतः खंड के रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1\)

⇒ \(y = 1 - \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2 - 2y\)

⇒ \(\mathop \smallint \limits_0^1 \mathop \smallint \limits_0^{\ \ \ \ \ 2 - 2y} \left( {xy\;dx} \right)dy = \mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {\left( {\frac{{y{x^2}}}{2}} \right)|_0^{2 - 2y}} \right]dy\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{y}{2}{\left( {2 - 2y} \right)^2}dy\)

\(= \mathop \smallint \limits_0^1 2y{\left( {1 - y} \right)^2}dy =\mathop \smallint \limits_0^1 {\left(2y-4y^2+2y^3 \right)}dy\)

\(= {\left[{y^2- \frac{4}{3}y^3+ \frac{y^4}{2}} \right]_0^{1}}= \frac{1}{6}\)

वर्णन:

हमारे पास निम्न रूप में समाकलन दिया गया है,

\(I = \mathop \smallint \limits_0^1 \mathop \smallint \limits_0^{{x^2}} \left( {{x^2} + {y^2}} \right)dydx\)

\(I = \mathop \smallint \limits_0^1 \mathop \smallint \limits_0^{{x^2}} \left( {{x^2} + {y^2}} \right) \cdot dy \cdot dx\)

\(I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {{x^2}y + \frac{{{y^3}}}{3}} \right]_0^{{x^2}}dx\)

\(I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {{x^4} + \frac{{{x^6}}}{3}} \right]dx\)

सीमा को रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(I = \left[ {\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^7}}}{{7\; \times \;3}}} \right]_0^1\)

\(I = \frac{1}{5} + \frac{1}{{21}} = \frac{{26}}{{105}}\)

अतः समाकलन का आवश्यक मान \(\frac{26}{105}\) होगा। 

संकल्पना:

\(\displaystyle\int_0^m \int_0^x f(x,y)dA\)

चूँकि आंतरिक सीमा x के पदों में है, इसलिए हमें पहले 'y' पदों को समाकलन करना होगा और संपूर्ण व्यंजक को x के पदों में परिवर्तित करना होगा।

गणना:

दिया गया है:

\(\displaystyle\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2)dA\)

\(\displaystyle\int_0^1\left[ \int_0^x (x^2 + y^2)dy\right]dx\;\)

\(\displaystyle\int_0^1\left( x^2[y]_0^x\;+\;\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^x\right)dx\;\)

\(\displaystyle\int_0^1\left( x^3\;+\;\frac{x^3}{3}\right)dx\;\)

\(\displaystyle\int_0^1\left(\frac{4x^3}{3}\right)dx\;\)

\(\displaystyle \left(\frac{4x^4}{12}\right)_0^1\;\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

अवधारणा:

दोहरे समाकल का मूल्यांकन: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पहले के संबंध में किस चर को समाकलित करते हैं, समाकलन के क्रम की परवाह किए बिना हमें वही उत्तर मिलेगा।

\(\int {{\frac{{dx}}{{x}}} } = ln (x) + c\)

गणना:

दिया हुआ है कि:

I = \(\int_1^a {\int_1^b {\frac{{dxdy}}{{x\,y}}} } \)

= \(\int_1^a {{\frac{{dx}}{{x}}} × \int_1^b {\frac{{dy}}{{y}}} } \)

= | ln (x) |1 to a × | ln (y) |1 to b 

= [ln (a) - ln (1)] × [ln(b) - ln(1)]

I = ln (a) ln (b) 

संकेत:

\(\rm \int {^{\frac \pi 2}_0} \int ^\pi_0 \cos (x + y) dx\;dy\) खोजने के लिए बाह्यतम समाकलन की सीमा स्थिर है। इसलिए पहले x के संबंध में समाकलन करें

जब x के संबंध में समाकलन किया जाता है तो हमें y को एक स्थिरांक समझना चाहिए।

हम जानते हैं कि:

\(\rm sin(\pi + \theta)= -sin\;\theta\) और:

\(\rm sin(-\;\theta)= -sin\;\theta\)

गणना:

मानें कि, I = \(\rm \int {^{\frac \pi 2}_0} \int ^\pi_0 \cos (x + y) dx\;dy\)

ज्ञात करना है:

\(\rm \int {^{\frac \pi 2}_0} \int ^\pi_0 \cos (x + y) dx\;dy\)

बाह्यतम समाकलन की सीमा स्थिर है। इसलिए पहले x के संबंध में समाकलन करें

जब x के संबंध में समाकलन किया जाता है, तो हमें y को एक स्थिरांक समझना चाहिए।

\(=\rm \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} [sin(x+y)]_0^\pi dy\)

\(= \rm \int_{0}^{\dfrac{π}{2}}(sin(π+y)-sin(0+y))\;dy\)

हम जानते हैं कि \(\rm sin(\pi + \theta)= -sin\;\theta\) और \(\rm sin(-\;\theta)= -sin\;\theta\)

\(= \rm \int_{0}^{\dfrac{π}{2}}(-siny-siny )\;dy\)

\(= \rm \int_{0}^{\dfrac{π}{2}}(-2siny)\;dy\)

\(= -2\rm \int_{0}^{\dfrac{π}{2}}(siny)\;dy\)

= 2 [cos y]0π/2

= 2 [cos 90° - cos 0°]

= -2

अवधारणा:

त्रिक समाकल का मूल्यांकन बार-बार समाकल के रूप में किया जा सकता है:

\(\int\limits_{x_1}^{x_2} \int\limits_{y_1}^{y_2} \int\limits_{z_1}^{z_2} f(x, y, x)dzdydx\)

सबसे पहले, f(x, y, z) को x और y को चर मानते हुए z2 और z2 सीमाओं के मध्य z के सापेक्ष समाकलन किया जाता है, फिर x को चर मानते हुए सीमा y1 और y2 के मध्य y के सापेक्ष समाकलन किया जाता है। तब परिणाम का x के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।

गणना: 

यहाँ,

⇒ \(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy } }\)

y के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम पाते हैं,

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z \left[ xy \ + \ \frac{y^2}{2} \ + zy\right]_{x-z}^{z +z}dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z \left[ x(x + z - x + z) \ + \ \frac{1}{2} ((x + z)^2 - (x - z)^2 ) + z (x + z - x + z)\right] dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z (2xz + 2xz + 2x^2)dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z (4xz + 2z^2) dxdz\)

 x के सापेक्ष समाकलन करने पर, 

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \left[ \frac{4x^2z}{2} + 2z^2x \right]_0^z dx\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \left[ 2x^2z + 2z^2x\right]_0^z dz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 4z^3 dz\)

⇒ \(4 \left[ \frac{z^4}{4 }\right]_{-1}^1\)

⇒ \(\frac{4}{4}[(1)^4 - (-1)^4 ]\)

⇒ 1 - 1 

⇒ 0

∴ \(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy = 0} } \)

अवधारणा:

\(\int\limits_0^m \int\limits_0^x f(x , y)dxdy\)

चूँकि अंदर की सीमाएँ x के पदों में हैं, इसलिए हमें पहले 'y' पदों का समाकलन करना होगा और संपूर्ण व्यंजक को x के पदों में बदलना होगा।

गणना:

यहाँ,

⇒ \(\int\limits_0^1 {\int\limits_x^{\sqrt x } {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dxdy} }\)

y के सापेक्ष समाकलन करने पर हम पाते हैं, 

⇒ \(\int\limits_0^1 \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_x^\sqrt{x} dx\)

⇒ \(\int\limits_0^1 \left[ (x^2\sqrt x + \frac{x\sqrt x}{3}) - (x^3 + \frac{x^3}{3}) \right] dx\)

⇒ \(\int\limits_0^1 \left(x^{5/2} + \frac{x^{3/2}}{3} - \frac{4}{3}x^3 \right)dx\)

⇒ \(\frac{1}{3} \int\limits_0^1 \left[ 3x^{5/2} + x^{3/2} - 4x^3\right] dx\)

⇒ \(\frac{1}{3} \left[ \frac{3x^{7/2}}{7/2} + \frac{x^{5/2}}{5/2} - 4 \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \)

⇒ \(\frac{1}{3} \left[ \frac{6}{7} + \frac{2}{5} - 1 - (0)\right] \)

⇒ \(\frac{1}{3} \left( \frac{2}{5} - \frac{1}{7} \right) \)

⇒ \(\frac{1}{3} \left( \frac{14 - 5}{35} \right) \)

⇒ \(\frac{9}{3\times 35}\)

⇒ \(\frac{3}{35}\)

∴ \(\int\limits_0^1 {\int\limits_x^{\sqrt x } {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dxdy} = \frac{3}{35}}\)