Limits MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Limits - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना :

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}}$ = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$

स्पष्टीकरण:

y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}$$(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\dots +\sqrt[n]{n})$ 

y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\dots +\sqrt[n]{n})}{n}}$ 

y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}}$ 

दोनों तरफ से लघुगुणक लेने पर, 

log y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log n}$

log y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{n}}{1}}$ ( Lहॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर) 

log y = 0

y = e0 = 1

अतः विकल्प (2) सही है। 

दिया गया है:

हमें दिया गया है कि $n\ge 3$ के लिए, एक नियमित n भुजा वाला बहुभुज $P_n$, $R_n$ त्रिज्या वाले वृत्त के परिगत है,

और माना कि $r_n$ , $P_n$ के अंतर्गत वृत्त की त्रिज्या है।

हमें निम्न का मान ज्ञात करना है: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{R_n}{r_n}\right)}^{n^2}$

व्याख्या:

1. एक नियमित n भुजा वाले बहुभुज के लिए, जैसे ही n बढ़ता है,

बहुभुज एक वृत्त के आकार के करीब पहुँचता है।

इस सीमांत स्थिति में,

परिगत त्रिज्या $R_n$ और अंतर्गत त्रिज्या $r_n$ दोनों वृत्त की त्रिज्या, माना R, के करीब पहुँचते हैं,

लेकिन वे अलग-अलग दरों पर अभिसरण करते हैं।

2. एक नियमित n भुजा वाले बहुभुज के लिए:

परिगत त्रिज्या $R_n$ लगभग बहुभुज के चारों ओर के वृत्त की त्रिज्या के समान होती है।

अंतर्गत त्रिज्या $r_n$ थोड़ी छोटी होती है और जैसे ही n बड़ा होता है, $R_n$ के करीब पहुँचती है।

3. अनुपात $\frac{R_n}{r_n}$ , 1 के करीब पहुँचता है जैसे $n\to \mathrm{\infty }$, लेकिन एक विशिष्ट दर पर।

त्रिकोणमितीय पदों में सन्निकटन द्वारा, हमें प्राप्त होता है कि बड़े n के लिए:

$\frac{R_n}{r_n}=1+\frac{{\pi }^2}{2n^2}$

4. अब व्यंजक ${\left(\frac{R_n}{r_n}\right)}^{n^2}$ पर विचार करें:

${\left(\frac{R_n}{r_n}\right)}^{n^2}={(1+\frac{{\pi }^2}{2n^2})}^{n^2}$

5. $n\to \mathrm{\infty }$ के रूप में सीमा लेते हुए:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{{\pi }^2}{2n^2})}^{n^2}=e^{\frac{{\pi }^2}{2}}$

इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।

संकल्पना :

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}}$ = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$

स्पष्टीकरण:

y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}$$(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\dots +\sqrt[n]{n})$ 

y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\dots +\sqrt[n]{n})}{n}}$ 

y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}}$ 

दोनों तरफ से लघुगुणक लेने पर, 

log y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log n}$

log y = ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{n}}{1}}$ ( Lहॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर) 

log y = 0

y = e⁰ = 1

अतः विकल्प (2) सही है। 

गणना:

सांतत्यता की जाँच करने पर

x = 0 पर LHL सीमा

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}$ f(x)

$\underset{h\to 0}{lim}$ sin-1 (cos (x - h))

$\underset{h\to 0}{lim}$ sin-1 (cos (0 - h))

$\underset{h\to 0}{lim}$ sin-1 (cos (0 - 0))

= sin^-1(1)

= $\frac{\pi }{2}$

इसी प्रकार

x = 0 पर RHL सीमा

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}$ f(x)

= $\frac{\pi }{2}$

अतः RHL = LHL

इसलिए फलन f(x) = sin-1 (cos x), x = 0 पर सतत् है।

सही उत्तर विकल्प (2) है।

संकल्पना:

फलन f(x) को इसके डोमेन में बिंदु x = a पर निरंतर कहा जाता है यदि,

$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)$ मौजूद होता है या इसका आलेख एकल अखंडित वक्र होता है। 

f(x), x = a पर निरंतर है। 

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

गणना:

दिया गया है:

$f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}=1$

$forx\to 0^{+},\left|x\right|=x$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}=\frac{\left|-x\right|}{-x}=\frac{x}{-x}=-1$

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\frac{0}{0}form$

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$मौजूद नहीं है। 

∴ सभी दिए गए विकल्प सत्य हैं। 

अवधारणा :

अनिश्चित रुपों के सीमा मूल्यांकन के लिए अर्थात $\frac{0}{0}$ या $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ रूप के लिए हम L’हॉस्पिटल के नियम को इस प्रकार लागू करते हैं:

$\underset{x\to a}{lim}\left\{\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right\}=\underset{x\to a}{lim}\left\{\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}\right\}$

गणना :

दी गई सीमा है,

$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx}\right)=\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{\sin x-x}{xsinx}\right)$

सीमा रखने से हमें $\frac{0}{0}$ रूप मिलता है, इसलिए L’हॉस्पिटल नियम द्वारा:

$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx}\right)=\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{\cos x-1}{xcosx+\sin x}\right)$

फिर से सीमा का मान रखने पर हमें $\frac{0}{0}$ रूप मिलता है, इसलिए, L’हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए:

$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx}\right)=\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{-\sin x}{x\left(-\sin x\right)+\cos x+\cos x}\right)$

$=\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{-\sin x}{2\cos x-xsinx}\right)$

अब, सीमा रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)=\frac{0}{2-0}=0$

$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx}\right)=0$

संकल्पना:

इस प्रकार का $\underset{x\to \infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ हल करने के लिए उच्चतम घात के साथ चर द्वारा अंश और हर दोनों को विभाजित करें।

गणना:

दिया हुआ:

$\underset{x-\infty }{lim}\frac{x^2-5x+4}{4x^2+2x}$

उपरोक्त अभिव्यक्ति में x को ∞ के साथ प्रतिस्थापित करने पर यह एक अनिश्चित रूप $\left(\frac{\infty }{\infty }\right)$ है।

अंश और हर से उच्चतम डिग्री पद उभयनिष्ठ लें।

$\therefore \underset{x\to \infty }{lim}\left(\frac{x^2\left[1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}\right]}{x^2\left[4+\frac{2}{x}\right]}\right)$

$\because \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$

$\therefore \underset{x\to \infty }{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\frac{\left[1-0+0\right]}{\left[4+0\right]}\right)$

$\therefore \frac{1}{4}$

संकल्पना:

L - हॉस्पिटल नियम: माना कि f(x) और g(x) दो फलन हैं। 

माना कि हमारे पास निम्नलिखित स्थितियों में से एक स्थिति हैं,

I.  $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{0}{0}$

II. $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

फिर हम L - हॉस्पिटल नियम को लागू कर सकते हैं

 $\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}{lim}\frac{\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)}{\mathbf{g}\left(\mathbf{x}\right)}=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}{lim}\frac{{\mathbf{f}}^{\prime }\left(\mathbf{x}\right)}{{\mathbf{g}}^{\prime }\left(\mathbf{x}\right)}$

विश्लेषण:

$y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+1}{x+2}\right)}^{2x+1}$

$y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2-1}{x+2}\right)}^{2x+1}$ 

$y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(1-\frac{1}{\left(x+2\right)}\right)}^{2x+1}$ 

दोनों पक्षों पर लॉग लेने पर हमें मिलता है

$\log y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(2x+1\right)\log \left(1-\frac{1}{x+2}\right)$ 

$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\log \left(1-\frac{1}{x+2}\right)}{\frac{1}{\left(2x+1\right)}}$ 

$=\frac{0}{0}$ from

L - हॉस्पिटल के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$\log y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{\left(1-\frac{1}{x+2}\right)}\times \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}}{-\frac{2}{{\left(2x+1\right)}^2}}$ 

$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)}\times \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}}{-\frac{2}{{\left(2x+1\right)}^2}}$ 

$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{-2\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$ 

$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1}{2}\frac{{\left(2+\frac{1}{x}\right)}^2}{\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{2}{x}\right)}$ 

$\log y=\frac{-4}{2}$

y = e^-2

संकल्पना:

$1^2+2^2+3^2+.....n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

गणना:

दिया गया:

${\displaystyle \underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1^2+2^2+3^2+.....{\mathrm{n}}^2}{{\mathrm{n}}^3}}}$

= ${\displaystyle \underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2\mathrm{n}+1)}{6{\mathrm{n}}^3}}}$

= ${\displaystyle \underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2\mathrm{n}+1)}{6{\mathrm{n}}^3}}}$

= ${\displaystyle \underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{(\mathrm{n}+1)(2\mathrm{n}+1)}{6{\mathrm{n}}^2}}}$

= ${\displaystyle \underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{n}}^2(1+\frac{1}{\mathrm{n}})(2+\frac{1}{\mathrm{n}})}{6{\mathrm{n}}^2}}}$

= $(1+\frac{1}{\mathrm{\infty }})(2+\frac{1}{\mathrm{\infty }})\frac{1}{6}$

= $\frac{1}{3}$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)}{x^3}=\frac{0}{0}$ परिभाषित नहीं है 

L – हॉस्पिटल के नियम का उपयोग करने पर,

पहला अवकलन 

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\frac{d}{dx}\left[e^x-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)\right]}{\frac{d}{dx}\left(x^3\right)}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{e^x-\left(0+1+\frac{2x}{2}\right)}{3x^2}=\frac{1-\left(0+1+0\right)}{0}=\frac{0}{0}$

परिभाषित नहीं है 

दूसरा अवकलन

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\left(0+0+1\right)}{6\mathrm{x}}=\frac{0}{0}$  परिभाषित नहीं है 

तीसरा अवकलन

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{e^x-0}{6}=\frac{1}{6}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(ax+\left(\frac{7-\sqrt{3}{x}^2}{3-x}\right)\right)=b$

$ax+\frac{7-\sqrt{3}{x}^2}{3-x}$

$=\frac{ax\left(3-x\right)+7-\sqrt{3}{x}^2}{3-x}$ 

$=\frac{3ax-a{x}^2+7-\sqrt{3}{x}^2}{3-x}$ 

$=\frac{-\sqrt{3}{x}^2-a{x}^2+3ax+7}{3-x}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2\left(-\sqrt{3}-a\right)+x\left(3a+\frac{7}{x}\right)}{x\left(\frac{3}{x}-1\right)}$

∴ सीमा परिमित होने की के लिए अंश में x² पद 0 होना चाहिए।

$\therefore -\sqrt{3}-a=0$ 

$a=-\sqrt{3}$ 

अब,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\left(-3\sqrt{3}+\frac{7}{x}\right)}{x\left(\frac{3}{x}-1\right)}$ 

$=\frac{-3\sqrt{3}}{-1}=3\sqrt{3}$ 

संकल्पना:

फलन f(x) को इसके डोमेन में बिंदु x = a पर निरंतर कहा जाता है यदि,

$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)$ मौजूद होता है या इसका आलेख एकल अखंडित वक्र होता है। 

f(x), x = a पर निरंतर है। 

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

गणना:

दिया गया है:

$f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}=1$

$forx\to 0^{+},\left|x\right|=x$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}=\frac{\left|-x\right|}{-x}=\frac{x}{-x}=-1$

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\frac{0}{0}form$

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$मौजूद नहीं है। 

∴ सभी दिए गए विकल्प सत्य हैं। 

संकल्पना:​

• L’हॉस्पिटल का नियम:
• इस पद्धति में, पहले हमें यह जांचना होगा कि क्या सीमा को प्रतिस्थापित करने के बाद फलन का रूप $\frac{0}{0}or\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ है। यदि $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\frac{0}{0}or\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$  तब हमें अंश और हर दोनों को x के सापेक्ष अवकलित करना होगा जब तक कि $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=l\ne \frac{0}{0}$ जहाँ l एक परिमित मान है
• यदि f(x) एक परिमेय फलन है तो अंश और हर का गुणनखंड करें, उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें और फिर x = a को प्रतिस्थापित करके फलन f(x) की सीमा का मूल्यांकन करें।

गणना:

दिया गया है:

$\underset{x\to 4}{lim}\frac{x^2-16}{\sqrt{x^2+9}-5}$

यह $\frac{0}{0}$ रूप 

L’हॉस्पिटल का नियम लगाने पर 

$\underset{x\to 4}{lim}\frac{2x}{\frac{1}{2\times \sqrt{x^2+9}}\times 2x}$

$\Rightarrow \frac{2\times 4}{\frac{1}{2\times \sqrt{4^2+9}}\times 2\times 4}=10$

संकल्पना:

यदि व्यंजक $\frac{0}{0}$ के रूप में हो, तो सीमा का मान,

L-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए अंश और हर का अवकलन करते हैं

गणना:

दिया है:

$\underset{x\to -5}{lim}\frac{\sqrt{(2x+35)}-5}{x+5}$

चूँकि, व्यंजक $\frac{0}{0}$ के रूप में है

L-हॉस्पिटल नियम से, अंश और हर के अवकलन द्वारा हम प्राप्त करते हैं,

$\underset{x\to -5}{lim}\frac{\sqrt{(2x+35)}-5}{x+5}$ = $\underset{x\to -5}{lim}\frac{1}{\sqrt{2x+35}}$ = $\frac{1}{5}$

अतः, व्यंजक का अभीष्ट मान $\frac{1}{5}$ होगा।

अवधारणा:

L.हॉस्पिटल का नियम:

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ रूप $\frac{0}{0}or\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ का है

फिर $\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{}{lim}\frac{f^1\left(x\right)}{g^1\left(x\right)}=\frac{f^1\left(a\right)}{g^1\left(a\right)}$

f1(a) = g1(a) शून्य के बराबर नहीं।

गणना:

दिया हुआ:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x\sin x}$

चूंकि उपरोक्त सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है, इसलिए L.हॉस्पिटल नियम लागू करके

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x(\cos x)+\sin x}$ $\frac{0}{0}$ फॉर्म

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x}{x(\sin x)+\cos x+\cos x}=\frac{1}{2}$