Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

विश्लेषण:

\(I = \mathop \smallint \limits_0^{\pi /2} \sqrt {\sin \theta } {\cos ^5}\theta {\rm{ }}d\theta \) पर विचार कीजिए

sin θ = t रखने पर

cos θ dθ = dt

यदि θ = 0 to \(\theta = \frac{\pi }{2}\) तब t = 0 से t = 1

अब, \(I = \mathop \smallint \limits_{\theta = 0}^{\pi /2} \sqrt {\sin \theta } \cos \theta \cdot {\left( {1 - {{\sin }^2}\theta } \right)^2}d\theta \)

\(I = \mathop \smallint \limits_{t = 0}^1 \sqrt t {\left( {1 - {t^2}} \right)^2}dt\)

\(I = \mathop \smallint \limits_{t = 0}^1 \sqrt t \left( {1 + {t^4} - 2{t^2}} \right)dt\)

\(I = \left( {\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{t^{\frac{{11}}{2}}}}}{{\frac{{11}}{2}}} - \frac{{2{t^{\frac{7}{2}}}}}{{\frac{7}{2}}}} \right)_0^1\)

\(I = \frac{2}{3} + \frac{2}{{11}} - \frac{4}{7}\)

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

\(\sec x ={1\over \cos x}\)

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

मानक फलन का समाकल

\(\smallint \sec^2(ax +b) dx=\tan (ax+b)\)

\(\smallint\tan x dx= log |\sec x|=-log~cos x\)

मानक फलन का अवकलज

\(\frac{{d}}{{dx}}(x^n)=nx^{n-1}\)

\(\frac{{d}}{{dx}}(x)=1\)

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास \(x\over cos^2 x\) है

जहाँ u = x और \(v ={1\over cos^2 x}= sec^2 x\)

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x\smallint sec^2 x~dx - \smallint \left[ {\frac{{d}}{{dx}}x\smallint sec^2x~dx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x \tan x~dx - \smallint \tan x dx\)

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

संकल्पना:

चाप लंबाई या वक्र लंबाई वक्र के खंड के साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। चाप के एक अनियमित खंड की लंबाई निर्धारित करना वक्र का परिशोधन कहलाता है।

वक्र y = f(x) की x = a से x = b तक की लंबाई निम्न प्रकार से दी गई है:

\(l= \mathop \smallint \limits_{{\rm{x}} = {\rm{a}}}^{{\rm{x}} = {\rm{b}}} \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}^2}} {\rm{dx}}\)

या,

यदि वक्र को x = f(t) और y = g(t) के रूप में प्राचल t के साथ a से b तक प्राचलीकरण किया जाता है, तो

\(l = \mathop \smallint \limits_{{\rm{t}} = {\rm{a}}}^{{\rm{t}} = {\rm{b}}} \sqrt {{{\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right)}^2}} {\rm{dt\;}}\)

गणना:

\({\rm{y}} = \frac{2}{3}{\rm{\;}}{{\rm{x}}^{3/2}}\)

\(\therefore \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}{\rm{\;}}{{\rm{x}}^{\frac{1}{2}}}\)

\({\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} = {\rm{x}}\)

अब, चाप की लंबाई(l) है

\(l= \mathop \smallint \limits_{{\rm{x}} = 0}^{{\rm{x}} = 1} \sqrt {1 + {\rm{x}}} {\rm{\;dx}}\)

\( = \left| {\frac{{{{\left( {1 + {\bf{x}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1 \)

\(= \left( {\frac{2}{3} \times {2^{\frac{3}{2}}}} \right) - \left( {\frac{2}{3}} \right) = 1.21\)

स्पष्टीकरण:

दिया गया समाकलन पहले प्रकार का अनुचित समाकल है।

\(I = \mathop \smallint \limits_2^∞ \frac{{\left( {1/x} \right)}}{{\log x}}dx\)

\(I = \left[ {\log \left( {\log x} \right)} \right]_2^∞ \)

I = log [log (∞)] – log [log (2)]

∴ I = ∞

दिया गया समाकल ∞ की ओर अपसरित और अभिसरित होता है।

Additional Information

पहले प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएँ  -∞ या +∞ या दोनों होती हैं।

दूसरे प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएं परिमित होती हैं लेकिन उन सीमाओं के बीच कुछ मान पर फलन अपरिमित होता है।

संकल्पना:

हम जानते हैं कि,

खंडशः विधि द्वारा

\(\smallint u \cdot v \cdot dx = u \cdot \smallint v \cdot dx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint v \cdot dx} \right]dx\)

जहाँ u, v को ILATE अनुक्रम का पालन करना चाहिए। [I= व्युत्क्रम, L= लघुगुणक, A= बीजगणित, T= त्रिकोणमिति, E= घातांकीय पद]

गणना:

दिया गया है:

दिए गए समीकरण से \(\mathop \smallint \limits_1^e √ x \ln \left( x \right)dx\)

u = ln(x), v = √x

अब,

\(\smallint u \cdot v \cdot dx = u \cdot \smallint v \cdot dx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint v \cdot dx} \right]dx\)

\(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}} = {\rm{lnx}} \cdot \mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} √ {\rm{x}} {\rm{dx}} - \mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} \left[ {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}} \cdot {\rm{\;}}\smallint √ {\rm{x}} {\rm{dx}}} \right]{\rm{dx}}\)  

\(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}}= \left[ {\ln \left( x \right) \times \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e - \smallint \left[ {\frac{1}{x} \times \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]dx\)

 \(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}}= \left[ {\ln \left( x \right) \times {x^{\frac{3}{2}}} \times \frac{2}{3} - \frac{4}{9} \times {x^{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e\)

∴  \(\mathop \smallint \limits_1^e √ x \ln \left( x \right)dx\)  \(= \frac{2}{9}√ {{e^3}} + \frac{4}{9}\)     

अवधारणा :

अनिश्चित रुपों के सीमा मूल्यांकन के लिए अर्थात \(\frac{0}{0}\) या \(\frac{\infty }{\infty }\) रूप के लिए हम L’हॉस्पिटल के नियम को इस प्रकार लागू करते हैं:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left\{ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right\} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left\{ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}} \right\}\)

गणना :

दी गई सीमा है,

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{sinx}}} \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin x ~- ~x}}{{xsin\;x}}} \right)\)

सीमा रखने से हमें \(\frac{0}{0}\) रूप मिलता है, इसलिए L’हॉस्पिटल नियम द्वारा:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{sin~x}}} \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\cos x~ - ~1}}{{xcos\;x ~+ ~\sin x}}} \right)\)

फिर से सीमा का मान रखने पर हमें \(\frac{0}{0}\) रूप मिलता है, इसलिए, L’हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{sinx}}} \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{ - \sin x}}{{x\left( { - \sin x} \right)~ +~ \cos x ~+~ \cos x}}} \right)\)

\( = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{ - \sin x}}{{2\cos x -~~ xsin\;x}}} \right)\)

अब, सीमा रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{\sin x}}} \right) = \frac{0}{{2 - 0}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{sin~x}}} \right)~=~0\)

संकल्पना:

इस प्रकार का \(\mathop {\lim }\limits_{x \to ∞ } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) हल करने के लिए उच्चतम घात के साथ चर द्वारा अंश और हर दोनों को विभाजित करें।

गणना:

दिया हुआ:

\(\mathop {\lim }\limits_{x - ∞ } \frac{{{x^2}\;-\;5x\;+\;4}}{{4{x^2}\;+\;2x}}\)

उपरोक्त अभिव्यक्ति में x को ∞ के साथ प्रतिस्थापित करने पर यह एक अनिश्चित रूप \(\left( {\frac{∞ }{∞ }} \right)\) है।

अंश और हर से उच्चतम डिग्री पद उभयनिष्ठ लें।

\(\therefore \;\mathop {\lim }\limits_{x \to ∞ } \left( {\frac{{{x^2}\left[ {1\;-\;\frac{5}{x}\;+\;\frac{4}{{{x^2}}}} \right]}}{{{x^2}\left[ {4\;+\;\frac{2}{x}} \right]}}} \right)\)

\(\because\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0\)

\(\therefore\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to ∞ } \left( {\frac{{\left[ {1\;-\;0\;+\;0} \right]}}{{\left[ {4\;+\;0} \right]}}} \right)\)

\(\therefore\frac{1}{4}\)

संकल्पना:

एक फलन f(x), x = a पर संतत है, यदि फलन x = a पर परिभाषित है और,

बायीं सीमा = दायीं सीमा = फलन मान = वास्तविक और परिमित

एक फलन को x =a पर अवकलनीय कहा जाता है यदि,

बायां अवकलज = दायां अवकलज = अच्छी तरह से परिभाषित

विश्लेषण:

\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} + 3x - 4}}\)

यह फलन निम्न के लिए परिभाषित नहीं है:

x² + 3x – 4 = 0

⇒ (x + 4)(x - 1) = 0 अर्थात 

x = 1 और x = - 4 पर 

संकल्पना:

यदि एक त्रिभुज तीन सदिशों द्वारा निर्मित होता है, तो सदिशों का योग शून्य होना चाहिए। 

AB + BC + CA = 0 

सदिशों का पार गुणनफल:

दो सदिश \(\bar a = ai+bj+ck\) और \(\bar b = di+ej+fk\) के लिए पार गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\bar a\times \bar b = \begin{vmatrix} i & j & k\\ a & b & c\\ d & e & f \end{vmatrix}=pi+qj+rk\)

पार गुणनफल का परिमाण निम्न है:

\(A = |a\times b| = \sqrt{p^2+q^2+r^2}\)

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

यदि सदिश \(\bar a\mbox{ and } \bar b\) त्रिभुज के सन्निकट भुजाओं का निर्माण करते हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(A = \dfrac{1}{2}|\bar a\times \bar b|\)

गणना:

दिया गया है:

माना कि AB = 3i + 4j और CA = 5i +7j + k है।

यदि एक त्रिभुज तीन सदिशों द्वारा निर्मित होता है, तो सदिशों का योग शून्य होना चाहिए।

AB + BC + CA = 0 ⇒ 3i + 4j  + BC + 5i +7j + k = 0

BC = - 8i - 11j - k

माना कि सन्निकट सदिश AB (a), AC (b)  \(\bar a = 3i+4j\) , और \(\bar b = 5i+7j+k\) है।

सर्वप्रथम, हम निम्न रूप में पार गुणनफल की गणना करेंगे:

\(\begin{align*} \bar a\times \bar b &= \begin{vmatrix} i & j & k\\ 3 & 4 & 0\\ 5 & 7 & 1 \end{vmatrix}\\ &= i(4-0) - j(3-0) + k(21-20)\\ &= 4i-3j+1k \end{align*}\)

अतः पार गुणनफल का परिमाण निम्न है:

\(\begin{align*} |\bar a\times \bar b| &= \sqrt{16+9+1}\\ &= \sqrt {26} \end{align*}\)

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(A = {1\over 2}|a\times b| = {1\over 2}\times \sqrt {26} = {\sqrt {26}\over 2}\)

संकल्पना:

एक फलन जिसे दो बहुपद फलनों के अनुपात के रूप में लिखा जाता है उसे एक परिमेय फलन कहा जाता है।

परिमेय फलन उन बिंदुओं को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत होता हैं जहां हर शून्य हो जाता है।

\(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)

जहाँ P(x) और Q(x) बहुपद हैं और Q(x) ≠ 0।

f(x) उन बिंदुओं पर असतत होगा जहां Q(x) = 0 है।

गणना:

दिया हुआ:

\(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3}\)

यह एक परिमेय फलन है, इसलिए यह उन बिंदुओं पर असतत हो जाएगा जहां हर शून्य हो जाता है।

4x - x3 = 0

x(4 - x2) = 0

x(22 - x2) = 0

x(2 + x)(2 - x) = 0

x = 0, x = - 2 और x = 2

इसलिए फलन \(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3}\) ठीक तीन बिंदुओं 0, - 2 और 2 पर असतत होगा।

Mistake Points 

इसमें संदेह हो सकता है कि कुछ कारक एक-दूसरे को समाप्त कर रहे हैं इसलिए पहले हमें इसे सरल बनाना होगा।

ध्यान दें कि

यदि (4 - x2) = 0 तब f(x) अनिश्चित या 0/0 रूप में आएगा।

इसलिए, फलन x = ± 2 के लिए कोई मान नहीं होगा। तो, ये असतत के बिंदु भी होंगे।

इसके अलावा यदि (4 - x2) ≠ 0

⇒ \(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3} = \frac{1}{x}\)

यहाँ, x = 0 भी असतत का बिंदु है।

ठीक तीन बिंदु 0, - 2 और 2 होंगे।

संकल्पना:

एक फलन को सतत कहा जाता है यदि

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)\)

गणना:

दिया गया:

f(x) = (x + 1)cotx

दोनों तरफ से log लेना

log (f(x)) = cot x log (x + 1)

x = 0 पर निरंतरता की जाँच के लिए

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} log(f(x)) = \rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \cot x \ log(x\ +\ 1)\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} log(f(x)) = \rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac { \ log(x\ +\ 1)}{tan \ x}\) = 0/0

L--हॉस्पिटल नियम का उपयोग करना

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} log(f(x)) = \rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac { 1}{sec^2 \ x\ (x+1)} \)

\(= \rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac {cos^2x }{(x+1)} \)

⇒ log (f(0)) = 1

⇒ f(0) = e1 = e

संकल्पना:

माना कि फलन y = f(x) x के परिभाषित अंतराल पर है। 

फलन अंतिम मानों को प्राप्त करता है (मान अधिकतम या न्यूनतम या दोनों हो सकता है)

उच्चिष्ठ के लिए:

• स्थानीय उच्चिष्ठ: एक बिंदु किसी फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ तब होता है यदि वहां कुछ अन्य बिंदु होते हैं जहाँ अधिकतम मान स्थानीय उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक होता है लेकिन वह बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ के निकट मौजूद नहीं होता है।
• वैश्विक उच्चिष्ठ: यह वह बिंदु है जहाँ कोई अन्य बिंदु उस क्षेत्र में नहीं है जिसके लिए फलन में वैश्विक उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक मान है।

स्थिति:

f"(x) < 0 ⇒ उच्चिष्ठ

f"(x) > 0 ⇒ निम्निष्ट 

f"(x) = 0 ⇒ मोड़ का बिंदु 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x² + 32x³ 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x² 

चूँकि x = 0 पर f(x) में स्थानीय उच्चिष्ठ है।

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

यहाँ, उपरोक्त समीकरण को 0 से कम रखने के लिए k मान -2 से 2 के बीच होना चाहिए। 

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

चूँकि उच्चिष्ठ के लिए स्थिति असमान है, इसलिए इसका उपयोग समीकरण अर्थात् k2 - 4 = 0 के रूप में मत कीजिए। यह k = ± 2 प्रदान करेगा और उत्तर को K < -2 या k > 2 में परिवर्तित करता है।

दिया गया है:

\(I = \mathop \smallint \nolimits_{x = 0}^1 \mathop \smallint \nolimits_{y = 0}^{{x^2}} x{y^2}dydx\)

0 ≤ y ≤ x² (यह लंबवत पट्टी द्वारा दर्शाया गया है)

और x, 0 से 1 तक भिन्न होता है।

अब यदि हम समाकलन के क्रम को बदलते हैं, तो हमें एक क्षैतिज पट्टी खींचनी होगी।

समाकलन के क्रम को बदलने के बाद

\(\sqrt y \le x \le 1\)

और, 0 ≤ y ≤ 1

∴ \(I = \mathop \smallint \nolimits_{y = 0}^1 \mathop \smallint \nolimits_{x = \sqrt y }^1 x{y^2}dxdy\)

संकल्पना:

एक फलन f(x, y) को x और y में डिग्री n का समरूप फलन तब कहा जाता है, यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है

f(λx, λy) = λn f(x, y)

यूलर का प्रमेय:

यदि f(x, y), x और y में डिग्री n का एक समरूप फलन है और इसमें निरंतर पहली और द्वितीय-कोटि वाले आंशिक अवकलज है, तो 

\(x\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = nf\)

\({x^2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + 2xy\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{\partial ^2f}}{{\partial y^2}} = n\left( {n - 1} \right)f\)

यदि x डिग्री n और z = f(u) के x और y का समरूप फलन है, तो 

\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = n\frac{{f\left( u \right)}}{{f'\left( u \right)}}\)

गणना:

दिया गया है, \(u = \ln \left( {\frac{{{x^3} + {x^2}y - {y^3}}}{{x - y}}} \right)\)

\(z = {\frac{{{x^3} + {x^2}y - {y^3}}}{{x - y}}}\)

z डिग्री 2 के साथ x और y का एक समरूप फलन है। 

अब, z = eu

अतः यूलर प्रमेय से:

\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} =2 \frac{{{e^u}}}{{{e^u}}}\)

\(x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2\)