Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 8, 2025

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Latest Calculus MCQ Objective Questions

Calculus Question 1:

यदि f1 तथा f2 अवकलनीय अदिश फलन हैं एवं v अवकलनीय सदिश फलन इस प्रकार है कि f1v = ∇f2,, तब v curl v है

  1. 1f1f2+f2f1
  2. 1f1f21f2f1
  3. 1f1f2+1f1×f2
  4.  Zero 
  5. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 :  Zero 

Calculus Question 1 Detailed Solution

Calculus Question 2:

समाकल 0π2sinθcos5θdθ का मान होगा

  1. 2231
  2. -64
  3. 1231
  4. 64231
  5. 131

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 64231

Calculus Question 2 Detailed Solution

विश्लेषण:

I=0π/2sinθcos5θdθ पर विचार कीजिए

sin θ = t रखने पर

cos θ dθ = dt

यदि θ = 0 to θ=π2 तब t = 0 से t = 1

अब, I=θ=0π/2sinθcosθ(1sin2θ)2dθ

I=t=01t(1t2)2dt

I=t=01t(1+t42t2)dt

I=(t3232+t1121122t7272)01

I=23+21147

I=64231

Calculus Question 3:

समाकल xcos2x का मान किसके बराबर है?

  1. x tan x
  2. log cos x
  3. x tan x + log (cos x)
  4. x tan x - log cos x
  5. log sin x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x tan x + log (cos x)

Calculus Question 3 Detailed Solution

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

secx=1cosx

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

u×v dx=uvdx[dudxvdx]dx

मानक फलन का समाकल

sec2(ax+b)dx=tan(ax+b)

tanxdx=log|secx|=log cosx

मानक फलन का अवकलज

ddx(xn)=nxn1

ddx(x)=1

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास xcos2x है

जहाँ u = x और v=1cos2x=sec2x

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

u×v dx=uvdx[dudxvdx]dx

x×sec2x dx=xsec2x dx[ddxxsec2x dx]dx

x×sec2x dx=xtanx dxtanxdx

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

Calculus Question 4:

x = 0 और x = 1 के बीच वक्र y=23x3/2 की लंबाई निम्न में से क्या है?

  1. 0.27
  2. 0.67
  3. 1
  4. 1.22
  5. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1.22

Calculus Question 4 Detailed Solution

संकल्पना:

चाप लंबाई या वक्र लंबाई वक्र के खंड के साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। चाप के एक अनियमित खंड की लंबाई निर्धारित करना वक्र का परिशोधन कहलाता है।

वक्र y = f(x) की x = a से x = b तक की लंबाई निम्न प्रकार से दी गई है:

l=x=ax=b1+(dydx)2dx

या,

यदि वक्र को x = f(t) और y = g(t) के रूप में प्राचल t के साथ a से b तक प्राचलीकरण किया जाता है, तो

l=t=at=b(dxdt)2+(dydt)2dt

गणना:

y=23x3/2

dydx=23×32x12

(dydx)2=x

अब, चाप की लंबाई(l) है

l=x=0x=11+xdx

=|(1+x)3232|01

=(23×232)(23)=1.21

Calculus Question 5:

समाकल2dxxlogx

  1. ∞ की ओर अपसरित होता है। 
  2. -∞ की ओर अपसरित होता है। 
  3. 2 की ओर अभिसरित होता है। 
  4. -3 की ओर अभिसरित होता है। 
  5. 0 की ओर अभिसरित होता है। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ∞ की ओर अपसरित होता है। 

Calculus Question 5 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

दिया गया समाकलन पहले प्रकार का अनुचित समाकल है।

I=2(1/x)logxdx

I=[log(logx)]2

I = log [log (∞)] – log [log (2)]

I =

दिया गया समाकल ∞ की ओर अपसरित और अभिसरित होता है।

Additional Information

पहले प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएँ  -∞ या +∞ या दोनों होती हैं।

दूसरे प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएं परिमित होती हैं लेकिन उन सीमाओं के बीच कुछ मान पर फलन अपरिमित होता है।

Top Calculus MCQ Objective Questions

निश्चित समाकल 1exln(x)dx का मान क्या है?

  1. 49e3+29
  2. 29e349
  3. 29e3+49
  4. 49e329

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 29e3+49

Calculus Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

हम जानते हैं कि,

खंडशः विधि द्वारा

uvdx=uvdx[dudxvdx]dx

जहाँ u, v को ILATE अनुक्रम का पालन करना चाहिए। [I= व्युत्क्रम, L= लघुगुणक, A= बीजगणित, T= त्रिकोणमिति, E= घातांकीय पद]

गणना:

दिया गया है:

दिए गए समीकरण से 1exln(x)dx

u = ln(x), v = √x

अब,

uvdx=uvdx[dudxvdx]dx

1elnxxdx=lnx1exdx1e[dudxxdx]dx  

1elnxxdx=[ln(x)×x3232]1e[1x×x3232]dx

 1elnxxdx=[ln(x)×x32×2349×x32]1e

∴  1exln(x)dx  =29e3+49     

limx0(1x1sinx) का मान क्या है?

  1. 12
  2. 0
  3. Infinite

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 0

Calculus Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा :

अनिश्चित रुपों के सीमा मूल्यांकन के लिए अर्थात 00 या रूप के लिए हम L’हॉस्पिटल के नियम को इस प्रकार लागू करते हैं:

limxa{f(x)g(x)}=limxa{f(x)g(x)}

गणना :

दी गई सीमा है,

limx0(1x1sinx)=limx0(sinx  xxsinx)

सीमा रखने से हमें 00 रूप मिलता है, इसलिए L’हॉस्पिटल नियम द्वारा:

limx0(1x1sin x)=limx0(cosx  1xcosx + sinx)

फिर से सीमा का मान रखने पर हमें 00 रूप मिलता है, इसलिए, L’हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए:

limx0(1x1sinx)=limx0(sinxx(sinx) + cosx + cosx)

=limx0(sinx2cosx  xsinx)

अब, सीमा रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

limx0(1x1sinx)=020=0

limx0(1x1sin x) = 0

limxx25x+44x2+2x का मान क्या है?

  1. 0
  2. 1/4
  3. 1/2
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1/4

Calculus Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

इस प्रकार का limxf(x)g(x) हल करने के लिए उच्चतम घात के साथ चर द्वारा अंश और हर दोनों को विभाजित करें।

गणना:

दिया हुआ:

limxx25x+44x2+2x

उपरोक्त अभिव्यक्ति में x को ∞ के साथ प्रतिस्थापित करने पर यह एक अनिश्चित रूप () है।

अंश और हर से उच्चतम डिग्री पद उभयनिष्ठ लें।

limx(x2[15x+4x2]x2[4+2x])

limx1x=0

limx([10+0][4+0])

14

x का मान जिसके लिए फलन

f(x)=x23x4x2+3x4

संतत नहीं है

  1. 4 और -1
  2. 4 और 1
  3. -4 और 1
  4. -4 और -1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -4 और 1

Calculus Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक फलन f(x), x = a पर संतत है, यदि फलन x = a पर परिभाषित है और,

बायीं सीमा = दायीं सीमा = फलन मान = वास्तविक और परिमित

एक फलन को x =a पर अवकलनीय कहा जाता है यदि,

बायां अवकलज = दायां अवकलज = अच्छी तरह से परिभाषित

विश्लेषण:

f(x)=x23x4x2+3x4

यह फलन निम्न के लिए परिभाषित नहीं है:

x2 + 3x – 4 = 0

⇒ (x + 4)(x - 1) = 0 अर्थात 

x = 1 और x = - 4 पर 

∴ यह फलन f(x), x = 1, -4 पर संतत नहीं है। 

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाओं को सदिश 3i + 4j और 5i + 7j + k द्वारा दर्शाया गया है?

  1. 262
  2. 26
  3. 13
  4. 132

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 262

Calculus Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि एक त्रिभुज तीन सदिशों द्वारा निर्मित होता है, तो सदिशों का योग शून्य होना चाहिए। 

AB + BC + CA = 0 

सदिशों का पार गुणनफल:

दो सदिश a¯=ai+bj+ck और b¯=di+ej+fk के लिए पार गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

a¯×b¯=|ijkabcdef|=pi+qj+rk

पार गुणनफल का परिमाण निम्न है:

A=|a×b|=p2+q2+r2

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

यदि सदिश a¯ and b¯ त्रिभुज के सन्निकट भुजाओं का निर्माण करते हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:A=12|a¯×b¯|

गणना:

दिया गया है:

माना कि AB = 3i + 4j और CA = 5i +7j + k है।

यदि एक त्रिभुज तीन सदिशों द्वारा निर्मित होता है, तो सदिशों का योग शून्य होना चाहिए।

AB + BC + CA = 0 ⇒ 3i + 4j  + BC + 5i +7j + k = 0

BC = - 8i - 11j - k

माना कि सन्निकट सदिश AB (a), AC (b)  a¯=3i+4j , और b¯=5i+7j+k है।

सर्वप्रथम, हम निम्न रूप में पार गुणनफल की गणना करेंगे:

a¯×b¯=|ijk340571|=i(40)j(30)+k(2120)=4i3j+1k

अतः पार गुणनफल का परिमाण निम्न है:

|a¯×b¯|=16+9+1=26

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A=12|a×b|=12×26=262

फलन f(x) = (x + 1)cotx x = 0 पर सतत रहेगा यदि f(0) का मान ________ है।

  1. 1e
  2. 0
  3. e
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : e

Calculus Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक फलन को सतत कहा जाता है यदि

limxaf(x)=f(a)

गणना:

दिया गया:

f(x) = (x + 1)cotx

दोनों तरफ से log लेना

log (f(x)) = cot x log (x + 1)

x = 0 पर निरंतरता की जाँच के लिए

limx0log(f(x))=limx0cotx log(x + 1)

limx0log(f(x))=limx0 log(x + 1)tan x = 0/0

L--हॉस्पिटल नियम का उपयोग करना

limx0log(f(x))=limx01sec2 x (x+1)

=limx0cos2x(x+1)

⇒ log (f(0)) = 1

⇒ f(0) = e1 = e

फलन f(x)=4x24xx3 _______________ है

  1. केवल एक बिंदु पर असतत
  2. ठीक दो बिंदुओं पर असतत
  3. ठीक तीन बिंदुओं पर असतत
  4. सभी बिंदुओं पर असतत

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : ठीक तीन बिंदुओं पर असतत

Calculus Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक फलन जिसे दो बहुपद फलनों के अनुपात के रूप में लिखा जाता है उसे एक परिमेय फलन कहा जाता है।

परिमेय फलन उन बिंदुओं को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत होता हैं जहां हर शून्य हो जाता है

f(x)=P(x)Q(x)

जहाँ P(x) और Q(x) बहुपद हैं और Q(x) ≠ 0।

f(x) उन बिंदुओं पर असतत होगा जहां Q(x) = 0 है

गणना:

दिया हुआ:

f(x)=4x24xx3

यह एक परिमेय फलन है, इसलिए यह उन बिंदुओं पर असतत हो जाएगा जहां हर शून्य हो जाता है।

4x - x3 = 0

x(4 - x2) = 0

x(22 - x2) = 0

x(2 + x)(2 - x) = 0

x = 0, x = - 2 और x = 2

इसलिए फलन f(x)=4x24xx3 ठीक तीन बिंदुओं 0, - 2 और 2 पर असतत होगा।

Mistake Points 

इसमें संदेह हो सकता है कि कुछ कारक एक-दूसरे को समाप्त कर रहे हैं इसलिए पहले हमें इसे सरल बनाना होगा।

ध्यान दें कि

यदि (4 - x2) = 0 तब f(x) अनिश्चित या 0/0 रूप में आएगा।

इसलिए, फलन x = ± 2 के लिए कोई मान नहीं होगा। तो, ये असतत के बिंदु भी होंगे।

इसके अलावा यदि (4 - x2) ≠ 0

⇒ f(x)=4x24xx3=1x

यहाँ, x = 0 भी असतत का बिंदु है।

ठीक तीन बिंदु 0, - 2 और 2 होंगे।

k के मानों की सीमा क्या है जिसके लिए फलन f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 में बिंदु x = 0 पर स्थानीय उच्चिष्ठ है?

  1. k < -2 या k > 2
  2. k ≤ -2 या k ≥ 2
  3. -2 < k < 2
  4. -2 ≤ k ≤ 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -2 < k < 2

Calculus Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि फलन y = f(x) x के परिभाषित अंतराल पर है। 

फलन अंतिम मानों को प्राप्त करता है (मान अधिकतम या न्यूनतम या दोनों हो सकता है)

उच्चिष्ठ के लिए:

  • स्थानीय उच्चिष्ठ: एक बिंदु किसी फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ तब होता है यदि वहां कुछ अन्य बिंदु होते हैं जहाँ अधिकतम मान स्थानीय उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक होता है लेकिन वह बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ के निकट मौजूद नहीं होता है।
  • वैश्विक उच्चिष्ठ: यह वह बिंदु है जहाँ कोई अन्य बिंदु उस क्षेत्र में नहीं है जिसके लिए फलन में वैश्विक उच्चिष्ठ की तुलना में अधिक मान है।

स्थिति:

f"(x) < 0 ⇒ उच्चिष्ठ

f"(x) > 0 ⇒ निम्निष्ट 

f"(x) = 0 ⇒ मोड़ का बिंदु 

गणना:

दिया गया है:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

चूँकि x = 0 पर f(x) में स्थानीय उच्चिष्ठ है।

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

यहाँ, उपरोक्त समीकरण को 0 से कम रखने के लिए k मान -2 से 2 के बीच होना चाहिए। 

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

चूँकि उच्चिष्ठ के लिए स्थिति असमान है, इसलिए इसका उपयोग समीकरण अर्थात् k2 - 4 = 0 के रूप में मत कीजिए। यह k = ± 2 प्रदान करेगा और उत्तर को K < -2 या k > 2 में परिवर्तित करता है।

माना I=x=01y=0x2xy2dydx है फिर, I को __________ रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

  1. y=01x=0yxy2dxdy
  2. y=01x=y1yx2dxdy
  3. y=01x=y1xy2dxdy
  4. y=01x=0yyx2dxdy

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : y=01x=y1xy2dxdy

Calculus Question 14 Detailed Solution

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दिया गया है:

I=x=01y=0x2xy2dydx

0 ≤ y ≤ x2 (यह लंबवत पट्टी द्वारा दर्शाया गया है)

और x, 0 से 1 तक भिन्न होता है।

F3 M.J Madhu 02.05.20 D 1

अब यदि हम समाकलन के क्रम को बदलते हैं, तो हमें एक क्षैतिज पट्टी खींचनी होगी।

F3 M.J Madhu 02.05.20 D 2

समाकलन के क्रम को बदलने के बाद

yx1

और, 0 ≤ y ≤ 1

∴ I=y=01x=y1xy2dxdy

यदि फलन u=ln(x3+x2yy3xy) है, तो xδuδx+yδuδy का मान क्या है?

  1. 2eu
  2. e2u
  3. 2
  4. 1/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2

Calculus Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक फलन f(x, y) को x और y में डिग्री n का समरूप फलन तब कहा जाता है, यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है

f(λx, λy) = λn f(x, y)

यूलर का प्रमेय:

यदि f(x, y), x और y में डिग्री n का एक समरूप फलन है और इसमें निरंतर पहली और द्वितीय-कोटि वाले आंशिक अवकलज है, तो 

xfx+yfy=nf

x22fx2+2xy2fxy+y22fy2=n(n1)f

यदि x डिग्री n और z = f(u) के x और y का समरूप फलन है, तो 

xux+yuy=nf(u)f(u)

गणना:

दिया गया है, u=ln(x3+x2yy3xy)

z=x3+x2yy3xy

z डिग्री 2 के साथ x और y का एक समरूप फलन है। 

अब, z = eu

अतः यूलर प्रमेय से:

xux+yuy=2eueu

xux+yuy=2

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