श्रेढी MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Progression - मोफत PDF डाउनलोड करा

वापरलेली संकल्पना:

n निरीक्षणे असलेल्या मालिकेचा भौमितिक मीन (GM) हे मूल्यांच्या गुणाकाराचे nवे मूळ आहे.

\(\begin{array}{l}G. M = \sqrt[n]{x_{1}× x_{2}× …x__{n}}\end{array}\)

गणना:

वरील सूत्र वापरून -

⇒ 8 ⁵ = 32 x 4 x 8 x x x 2

⇒ X = \(\frac{8^{5}}{32\times 4\times 8\times 2}\) = 16

∴ बरोबर उत्तर 16 आहे

दिलेल्याप्रमाणे:

दोन गणीतीय श्रेढी मध्ये समान फरक आहे. यापैकी एका मालिकेची पहिले पद -1 आणि इतर मालिकेची पहिले पद -8 आहे.

संकल्पना:

कोणत्याही दिलेल्या गणीतीय श्रेढी साठी जसे की त्याची पहिले पद 'a' आहे आणि सामान्य फरक 'd' आहे. 

an = a + (n - 1)d

निरसन:

प्रश्नानुसार, दोन गणीतीय श्रेढी मध्ये समान फरक आहे,

समजा सामान्य फरक 'd' आहे.

पहिल्या गणीतीय श्रेढीसाठी

पहिले पद -1 आहे आणि सामान्य फरक 'd' आहे

चौथे पद असेल,

m4 = -1 + (4 - 1)d = -1 + 3d

दुसऱ्या गणीतीय श्रेढीसाठी

पहिले पद -8 आहे आणि सामान्य फरक 'd' आहे

चौथे पद असेल,

n4 = -8 + (4 - 1)d = -8 + 3d

चौथ्या पदांमधील फरक खालीलप्रमाणे आहे,

m4 - n4 = -1 + 3d - ( -8 + 3d )

m4 - n4 = 7

म्हणून पर्याय 3 योग्य आहे.

संकल्पना:

अंकगणिती श्रेढीच्या बेरजेचे (S) सूत्र:

⇒ S_n = \(\frac{n}{a}\times (a +l)\)

गणना:

लहानात लहान दोन अंकी सम संख्या 10 असून मोठ्यात मोठी सम संख्या 98 आहे. हे संख्या अंकगणिती श्रेढी तयार करतात, ज्यामध्ये:

पहिले पद (a) = 10

अंतिम पद (l) = 98

सामान्य फरक (d) = 2

अंकगणिती श्रेढीतील पदांची संख्या शोधण्याचे सूत्र:

⇒ \(n = \frac{l - a}{d} + 1\)

⇒ n = \(\frac{98 - 10}{2} + 1 = 45\)

अंकगणिती श्रेढीची बेरीज

⇒ S_n = \(\frac{45}{2} \times (10 + 98) = 2430\)

∴ दोन अंकी सम संख्यांची बेरीज 2430 आहे.

दिलेले आहे​:

पदांची संख्या = 34, पहिले पद = 1248, आणि शेवटचे पद = 1413

वापरलेले सूत्र:

n संख्यांची बेरीज, S = \( \dfrac{n}{2} \) × (a + l) 

जिथे, n = पदांची संख्या, a = पहिले पद आणि l = शेवटचे पद.

गणना:

n संख्यांची बेरीज, S = \( \dfrac{n}{2} \) × (a + l) 

⇒ S = \( \dfrac{34}{2} \) × (1248 + 1413)

⇒ 17 × 2661 = 45237

∴ अंकगणितीय श्रेढीच्या पहिल्या 34 पदांची बेरीज 45237 आहे.

वापरलेले सूत्र:

भौमितिक प्रगतीची बेरीज (S _n ) = {ax (r ⁿ - 1)}/(r - 1)

कुठे, a = प्रथम पद ; r = सामान्य गुणोत्तर ; n = पदांची संख्या

गणना:

३ +३ २ + ३ ३ + ... ३ ८ .

येथे, a = 3; r = 3 ; n = 8

मालिकेची बेरीज (S ₈ ) = {ax (r 8 - 1 )}/(r - 1)

⇒ {3 x (3 ⁸ - 1)}/(3 - 1)

⇒ (3 x 6560)/2 = 3280 x 3

⇒ ९८४०

∴ बरोबर उत्तर 9840 आहे.

दिलेले:

13 + 23 + …….. + 93

सूत्र:

Sn = n/2 [a + l]

Tn = a + (n – 1)d

n = पदाची संख्या

a = पहिले पद

d = सामान्य फरक

l =शेवटचे पद

हिशोब:

a = 13

d = 23 – 13 = 10

Tn = [a + (n – 1)d]

⇒ 93 = 13 + (n – 1) × 10

⇒ (n – 1) × 10 = 93 – 13

⇒ (n – 1) = 80/10

⇒ n = 8 + 1

⇒ n = 9

S9 = 9/2 × [13 + 93]

= 9/2 × 106

= 9 × 53

वापरण्यात आलेले सूत्र:

n^th = a + (n – 1)d

येथे, a → पहिले पद, n → एकूण संख्या, d → सामान्य फरक, n^वे → n^वे पद

गणना:

6 ने विभाज्य पहिली तीन-अंकी संख्या, (a) = 102 

6 ने विभाज्य शेवटची तीन-अंकी संख्या, (n^वी) = 996

सामाईक फरक, (d) = 6

आता, nवे = a + (n – 1)d

⇒ 996 = 102 + (n – 1) × 6 

⇒ 996 – 102 = (n – 1) × 6

⇒ 894 = (n – 1) × 6

⇒ 149 = (n – 1)

⇒ n = 150

∴  6 ने विभाज्य एकूण तीन अंकी संख्या 150 आहेत.

दिलेल्याप्रमाणे:

21 ते 199 पर्यंतच्या सर्व सम संख्यांची बेरीज ही अशा 11 निरिक्षणांमध्ये जोडली गेली ज्यांचे मध्य मूल्य n आहे.

नवीन संचाचा मध्य = 99 

वापरलेले सूत्र:

(1) अंकगणिती श्रेढी मधील n संख्यांची बेरीज.

S = \(\frac{n(a+l)}{2}\)

येथे, 

a हे पहिल्या पदाचे मूल्य आहे

l हे शेवटच्या पदाचे मूल्य आहे

n ही एकूण पदांची संख्या आहे

S हे अंकगणिती श्रेढी मधील n संख्यांची बेरीज आहे

(2) अंकगणिती श्रेढी मधील शेवटच्या पदाचे मूल्य

l = a + (n - 1)d

येथे, 

a हे पहिल्या पदाचे मूल्य आहे

d हा दोन संज्ञांमधील सामायिक फरक आहे

n ही एकूण पदांची संख्या आहे

l हे शेवटच्या पदाचे मूल्य आहे

गणना:

n ही 21 ते 199 मधील सम पदांची संख्या आहे असे मानू

पहिल्या सम संख्येचे मूल्य (21 ते 199 मधील), a = 22

शेवटच्या सम संख्येचे मूल्य (21 ते 199 मधील), l = 198

दोन सम संख्यांमधील सामायिक फरकाचे मूल्य, d = 2

आता,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

आता,

S ही 21 ते 199 मधील सर्व सम संख्यांची बेरीज आहे असे मानू

⇒ S = \(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

आता,

11 निरीक्षणांची सरासरी = n

सर्व 11 निरीक्षणांची बेरीज = 11n

प्रश्नानुसार,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\) = 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\) = 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ आवश्यक उत्तर 10 हे आहे.

Additional Informationजेव्हा पहिली आणि शेवटची संज्ञा माहित असेल तेव्हा संख्यांची सरासरी शोधण्यासाठी पुढील सूत्र वापरले जाते.

A = \(\frac{a+l}{2}\)

येथे, 

a ही अंकगणिती श्रेढीची पहिली संज्ञा आहे

l ही अंकगणिती श्रेढीची शेवटची संज्ञा आहे

A ही a ते l या अंकगणिती श्रेढीची सरासरी आहे.

टीप: वरील सूत्र फक्त अंकगणिती श्रेढीसाठी लागू केले जाते.

जर अनुक्रमी पदांमध्ये शून्य नसलेल्या स्थिरांकाचा सामायिक फरक असेल, तर त्या क्रमाला अंकगणिती क्रमिका म्हणता येईल.

दिलेली अट:

300 आणि 1000 मधील संख्यांना 7 ने भाग जातो.

संकल्पना:

अंकगणित प्रगती

an = a + (n - 1)d 

गणना:

7 (300 - 1000) ने भाग जाणारी पहिली संख्या = 301 

त्याचप्रमाणे: 301, 308, 315, 322...........994

वरील मालिका AP बनवते,

जेथे a = 301, सामान्य फरक/d = 308 - 301 = 7 आणि शेवटचे पद (an)  = 994

⇒ an = a + (n - 1)d

⇒ 994 = 301 + (n - 1)7 

⇒ (994 - 301)/7 = n - 1 

⇒ 693/7 + 1 = n 

⇒ 99 + 1 = n 

⇒ n = 100

∴ 300 आणि 1000 मधील 100 संख्या आहेत ज्यांना 7 ने भाग जातो.

दिलेल्याप्रमाणे:

पहिले पद 'a' = 5, सामाईक फरक 'd' = 4

पदांची संख्या 'n'  = 20

संकल्पना:

अंकगणितीय श्रेढी:

• अंकगणितीय श्रेढी ही संख्यांची एक सूची आहे ज्यामध्ये प्रथम पद वगळता आधीच्या पदामध्ये एक निश्चित संख्या जोडून प्रत्येक पद प्राप्त केले  जाते.
• स्थिर संख्येला सामाईक फरक 'd' असे म्हणतात.
• हे धन, ऋण किंवा शून्य असू शकते.

वापरलेले सूत्र:

अंकगणितीय श्रेढीचे 'n' वे पद

T_n = a + (n - 1)d

अंकगणितीय श्रेढीच्या n पदांची बेरीज खालीलप्रमाणे आहे

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

जेथे, 

a = अंकगणितीय श्रेढीचे पहिले पद, d = सामाईक फरक, l = अंतिम पद

गणना:

जसे आपणास माहित आहे, अंकगणितीय श्रेढीच्या n पदांची बेरीज खालीलप्रमाणे  आहे

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}[2× 5 + (20-1)× 4]\)

⇒ S = 10(10 + 76)

⇒ S = 860

म्हणून, अंकगणितीय श्रेढीच्या पहिल्या 20 पदांची बेरीज 860 आहे.

जसे आपणास माहित आहे, अंकगणितीय श्रेढीचे 'n' वे पद खालीलप्रमाणे आहे

Tn = a + (n - 1)d

जर l हे अंकगणितीय श्रेढीचे 20 वे पद (अंतिम पद) असेल तर

l = 5 + (20 - 1) × 4 = 81

म्हणून, अंकगणितीय श्रेढीची बेरीज

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}(5 + 81)\)

⇒ S = 860

दिलेल्याप्रमाणे

2, 7, 12, ____________

वापरलेली संकल्पना

Tn = a + (n - 1)d

जेथे a = पहिले पद, n = पदांची संख्या आणि d = फरक

गणना

दिलेल्या मालिकेमध्ये

a = 2

d = 7 - 2 = 5

T₁₀ = 2 + (10 - 1) 5

T₁₀ = 2 + 45

T₁₀ = 47

दहावे पद = 47

दिलेल्याप्रमाणे:

येथे a ₁ = 2,a ₂ = k + 3, a ₃ = 6 हे A.P चे सलग तीन पद आहेत.

संकल्पना:

अंकगणित प्रगतीनुसार, a₂ - a₁ = a ₃ - a ₂

जेथे a1, a2, a3 कोणत्याही A.P चे पहिले, दुसरे आणि तिसरे पद आहेत.

गणना:

a1 = 2, a2 = k + 3, a3 = 6  हे  A.P  चे सलग तीन पद आहेत.

अंकगणित प्रगतीनुसार, a2 - a1 = a 3 - a 2

(k + 3) – 2 = 6 – (k + 3)

⇒ k + 3 - 8 + k + 3 = 0

⇒ 2k = 2

निराकरणानंतर, आपल्याला   k = 1 

दिलेले:

अंकगणितीय श्रेणी दिलेली आहे
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... 80 पदांपर्यंत 

वापरलेले सूत्र:

एखाद्या अंकगणितीय श्रेणीच्या n^व्या पदांची बेरीज

S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}

जेथे, 

'n' ही पदांची संख्या, 'a' हे पहिले पद, 'd' हे सामाईक अंतर आहे.

ताळा:

प्रश्नानुसार

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}      ----(1) 

जेथे, a = 3, n = 80, d = 7 - 3 = 4

या मूल्यांना (1) मध्ये ठेवून, 

⇒ S80 = (80/2){2 × 3 + (80 - 1) × 4}

⇒ S80 = 40(6 + 79 × 4)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ अंकगणितीय श्रेणीच्या 80^व्या पदांची बेरीज 12,880 आहे.

n^वे पद = a + (n - 1)d

येथे n = 80, a = 3 व d = 4

⇒ 80वे पद = 3 + (80 - 1)4

⇒ 80वे पद = 3 + 316

⇒ 80वे पद = 319

आता, अंकगणितीय श्रेणीच्या nव्या पदांची बेरीज

⇒ S_n = (n/2) × (पहिले पद + अंतिम पद)

⇒ S80 = (80/2) × (3 + 319)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ अंकगणितीय श्रेणीच्या 80व्या पदांची बेरीज 12,880 आहे.

वापरलेली संकल्पना:

 a, b, c… आणि वगैरे श्रेणी मालिका असू दे

आपल्याला माहित आहे की सामान्य फरक = b - a, c - b.

अंकगणित प्रगतीत सामान्य फरक समान आहे

b – a = c – b

गणना:

b – a = c – b

⇒ b + b = c + a

⇒ 2b = c + a

⇒ 2b = a + c

∴ a, b, c अंकगणित प्रगतीत आहेत तर 2 b = a + c.

 Alternate Method

AP मध्ये संख्या 1, 2, 3 मानूया

फक्त एका पर्यायाने समीकरण पूर्ण केले

2(2 ) 1 + 3 =so 2b = a + c हा योग्य पर्याय आहे.