శ్రేణులు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Progression - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఉపయోగించిన భావన:

n పరిశీలనలను కలిగి ఉన్న శ్రేణి యొక్క రేఖాగణిత మీన్ (GM) విలువల ఉత్పత్తి యొక్క nవ మూలం.

\(\begin{array}{l}G. M = \sqrt[n]{x_{1}× x_{2}× …x_{n}}\end{array}\)

లెక్కింపు:

పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి -

⇒ 8 ⁵ = 32 × 4 × 8 × X × 2

⇒ X = \(\frac{8^{5}}{32\times 4\times 8\times 2}\) = 16

∴ సరైన సమాధానం 16

ఇచ్చినవి:

రెండు APలకు ఒకే సమవ్యత్యాసము ఉంది. వీటిలో ఒకదాని యొక్క మొదటి టర్మ్ –1 మరియు మరొకటి – 8.

భావన:

ఏదైనా APకి దాని మొదటి టర్మ్ ' a ' మరియు సమవ్యత్యాసము   ' d '

a _n = a + (n - 1)d

పరిష్కారం:

ప్రశ్న ప్రకారం, రెండు ఏపీల సమవ్యత్యాసము  ఒకటే,

సమవ్యత్యాసము  'd' అని అనుకుందాం

మొదటి ఏపీకి

మొదటి టర్మ్ -1 మరియు సాధారణ వ్యత్యాసం 'd'

నాల్గవ టర్మ్ ,

m₄ = -1 + (4 - 1)d = -1 + 3d

రెండో ఏపీకి

మొదటి టర్మ్ -8 మరియు సమవ్యత్యాసము   'd'

నాల్గవ టర్మ్,

n4 = -8 + (4 - 1)d = -8 + 3d

4^వ టర్మ్ మధ్య వ్యత్యాసం క్రింది విధంగా ఉంది,

m4 - n4 = -1 + 3d - ( -8 + 3d )

m4 - n4 = 7

కాబట్టి, ఎంపిక 3 సరైనది.

ఇచ్చినది:

13 + 23 + …….. + 93

ఫార్ములా:

S_n = n/2 [a + l]

T_n = a + (n – 1)d

n = పదం యొక్క సంఖ్య

a = మొదటి సంఖ్య

d = సాధారణ వ్యత్యాసం

l = చివరి సంఖ్య

లెక్కింపు:

a = 13

d = 23 – 13d = 10

T_n = [a + (n – 1)d]

⇒ 93 = 13 + (n – 1) × 10

⇒ (n – 1) × 10 = 93 – 13

⇒ (n – 1) = 80/10

⇒ n = 8 + 1

⇒ n = 9

S₉ = 9/2 × [13 + 93]

= 9/2 × 106

= 9 × 53

= 477

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

n ^th = a + (n – 1)d

ఇక్కడ, a → మొదటి పదం, n → మొత్తం సంఖ్యలు, d → సాధారణ వ్యత్యాసం, n ^వ → n ^వ పదం

లెక్కింపు:

మొదటి మూడు అంకెల సంఖ్య 6, (a) = 102తో భాగించబడుతుంది

చివరి మూడు అంకెల సంఖ్య 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది, (n ^వ ) = 996

సాధారణ వ్యత్యాసం, (d) = 6

ఇప్పుడు, n th = a + (n – 1)d

⇒ 996 = 102 + (n – 1) × 6

⇒ 996 – 102 = (n – 1) × 6

⇒ 894 = (n – 1) × 6

⇒ 149 = (n – 1)

⇒ n = 150

∴ 6చే భాగించబడే మొత్తం మూడు అంకెల సంఖ్య 150

ఉపయోగించిన సూత్రం:

Sn = [n x (a + an) ] /2

an = a + (n-1)d

d = వ్యత్యాసం లేదా తేడా

a = ప్రారంభ పదం

a _n = చివరి పదం

n = నిబంధనల సంఖ్య

S _n = n నిబంధనల మొత్తం

పరిష్కారం:

శ్రేణిని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

\(1\over99\) [99x99+11 + 99x99+13 + ... + 99x99+67]

= \(1\over99\) [9812 + 9814 + 9816+ ... + 9868]

ఇప్పుడు, మనకు లభించే శ్రేణి, 9812, 9814,...,9868.

a = 9812

an = 9868

d = 9814 - 9812 = 2

9868= 9812 + (n-1) x 2

n - 1 = 56/2 = 28

n = 29

Sn = 29 x (9812 + 9868) / 2 = (29 x 19680)/2 = 570720/2 = 285360

కాబట్టి, శ్రేణి  = 285360/99 = 95120/33

ఇవ్వబడిన షరతు: 

300 మరియు 1000 మధ్య 7చే నిశ్శేషంగా భాగించబడే సంఖ్యలు.

కాన్సెప్ట్:

అంకశ్రేఢి

a_n = a + (n - 1)d 

గణన (లెక్కింపు):

300 మరియు 1000 మధ్యలో 7చే భాగించబడే మొదటి సంఖ్య = 301 

అదే విధంగా: 301, 308, 315, 322...........994 

పై శ్రేణి అంకశ్రేఢిని రూపొందిస్తున్నాయి,

తొలి సంఖ్య a = 301, సామాన్య భేదం d = 308 - 301 = 7 మరియు చివరి పదం (an) = 994

⇒ an = a + (n - 1)d

⇒ 994 = 301 + (n - 1)7 

⇒ (994 - 301)/7 = n - 1 

⇒ 693/7 + 1 = n 

⇒ 99 + 1 = n 

⇒ n = 100 

∴ 300 మరియు 1000 మధ్య 7చే నిశ్శేషంగా భంగించబడే సంఖ్యలు 100. 

ఇవ్వబడిన:

21 నుండి 199 వరకు ఉన్న సరి సంఖ్యల మొత్తం 11 పరిశీలనలకు జోడించబడింది, దీని సగటు విలువ n.

కొత్త సంఖ్యల సమితి యొక్క సగటు = 99.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(1) A.Pలో n సంఖ్యల మొత్తం.

S =\(\frac{n(a+l)}{2}\)

ఎక్కడ,

a, మొదటి పదం యొక్క విలువ

l, చివరి పదం యొక్క విలువ

n, అనేది నిబంధనల సంఖ్య

S, A.Pలోని n సంఖ్యల మొత్తం

(2) A.Pలో చివరి పదం విలువ

l = a + (n - 1)d

ఎక్కడ,

a, మొదటి పదం యొక్క విలువ

d, రెండు పదాల మధ్య సాధారణ వ్యత్యాసం

n, అనేది నిబంధనల సంఖ్య

l, చివరి పదం యొక్క విలువ

లెక్కింపు:

n అనేది 21 నుండి 199 మధ్య ఉన్న సరి పదాల సంఖ్య.

మొదటి సరి సంఖ్య యొక్క విలువ (21 నుండి 199 మధ్య), a = 22

చివరి సరి సంఖ్య విలువ (21 నుండి 199 మధ్య), l = 198

రెండు సరి సంఖ్యల మధ్య సాధారణ వ్యత్యాసం యొక్క విలువ, d = 2

ఇప్పుడు,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

ఇప్పుడు,

S అనేది 21 నుండి 199 మధ్య ఉన్న అన్ని సరి సంఖ్యల మొత్తంగా ఉండనివ్వండి.

⇒ S =\(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

ఇప్పుడు,

11 పరిశీలనల సగటు = n

మొత్తం 11 పరిశీలనల మొత్తం = 11n

ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\)= 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\)= 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ అవసరమైన సమాధానం 10.

Additional Informationమొదటి మరియు చివరి పదం తెలిసినప్పుడు సంఖ్యల సగటును కనుగొనడానికి సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది.

A =\(\frac{a+l}{2}\)

ఎక్కడ,

a, అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదం

l, అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్ యొక్క చివరి పదం

A, a నుండి l వరకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క సగటు.

గమనిక: పై సూత్రం అంకగణిత పురోగతికి మాత్రమే వర్తించబడుతుంది.

వరుస పదాలు సున్నా కాని స్థిరాంకం వలె సాధారణ వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటే, ఆ క్రమాన్ని అంకగణిత శ్రేణిగా పేర్కొనవచ్చు.

ఇవ్వబడినది:

మొదటి పదం 'a' = 5, సాధారణ భేదం 'd' = 4

పదాల సంఖ్య 'n' = 20

భావన (కాన్సెప్ట్):

అంక శ్రేఢి:

• అంక శ్రేఢి అనేది మొదటి పదం మినహా ప్రతి పదం మునుపటి పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కలపడం ద్వారా పొందిన సంఖ్యల జాబితా.
• స్థిర సంఖ్యను సాధారణ భేదం 'd' అంటారు.
• ఇది ధన , ఋణ లేదా సున్నా కావచ్చు.

ఉపయోగించవలసిన సూత్రం:

అంకశ్రేఢి (AP) యొక్క nవ పదం

T _n = a + (n - 1)d

AP యొక్క n పదాల మొత్తం

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

a = AP యొక్క మొదటి పదం, d = సాధారణ భేదం, l = చివరి పదం

గణన:

AP యొక్క n పదాల మొత్తం

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}[2× 5 + (20-1)× 4]\)

⇒ S = 10(10 + 76)

⇒ S = 860

కాబట్టి, ఇవ్వబడిన AP యొక్క 20 పదాల మొత్తం 860 అవుతుంది.

AP యొక్క nవ పదం

T n = a + (n - 1)d

l అనేది APలో 20వ పదం (చివరి పదం) అయితే, అప్పుడు

l = 5 + (20 - 1) × 4 = 81

కాబట్టి AP యొక్క 20 పదాల మొత్తం

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}(5 + 81)\)

⇒ S = 860

ఇచ్చిన దత్తాంశం

2, 7, 12, ____________

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్

Tn = a + (n - 1)d

ఇక్కడ a = మొదటి పదం, n = నిబంధనల సంఖ్య మరియు d = భేదం

సాధన

ఇచ్చిన సిరీస్‌లో

a = 2

d = 7 - 2 = 5

T10 = 2 + (10 - 1) 5

T10 = 2 + 45

T10 = 47

పదవ పదం = 47

ఇచ్చినది:

K విలువ కోసం; 2, 3 + k మరియు 6 AP లో ఉండాలి

భావన:

అంకగణిత పురోగతి ప్రకారం, a2 - a1 = a3 - a2

ఇక్కడ a1 ,a2 ,a3 అనేది ఏదైనా AP యొక్క 1వ, 2వ మరియు 3వ పదాలు

లెక్కింపు:

a ₁ = 2, a ₂ = k + 3, a ₃ = 6 అనేది AP యొక్క వరుసగా మూడు పదాలు

అంకగణిత పురోగతి ప్రకారం, a ₂ - a ₁ = a ₃ - a ₂

(k + 3) – 2 = 6 – (k + 3)

⇒ k + 3 - 8 + k + 3 = 0

⇒ 2k = 2

పరిష్కరించిన తరువాత, మనకు k = 1 లభిస్తుంది

ఇచ్చినది:

అంక గణిత పద్ధతి
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... 80 పదాల వరకు 

ఫార్ములా:

S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}

ఇక్కడ, 

'n' అంటే పదాల సంఖ్య, 'a' అంటే మొదటి పదం, 'd' అంటే వ్యత్యాసం

లెక్కింపు:

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}      ----(1) 

ఇక్కడ, a = 3, n = 80, d = 7 - 3 = 4

పై విలువలను (1)లో ప్రవేశపెట్టగా,

⇒ S80 = (80/2){2 × 3 + (80 - 1) × 4}

⇒ S80 = 40(6 + 79 × 4)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ 80 పదాల మొత్తం 12,880.

Alternate Method

nవ పదం = a + (n - 1)d

ఇక్కడ n = 80, a = 3 మరియు d = 4

⇒ 80వ పదం = 3 + (80 - 1)4

⇒ 80వ పదం = 3 + 316

⇒ 80వ పదం = 319

ఇక్కడ, nవ పదాల మొత్తం

⇒ S_n = (n/2) × (1వ పదం + చివరి పదం)

⇒ S80 = (80/2) × (3 + 319)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ 80 పదాల మొత్తం 12,880.

లెక్కింపు:

a, b, c… మరియు మొదలైనవి మన సిరీస్‌గా అనుకోనుము

మనకు తెలిసిన సామాన్య వ్యత్యాసం = b - a, c - b.

అంక శ్రేణిలో సాధారణ వ్యత్యాసం సమానంగా ఉంటుంది

b - a = c - b

⇒ b + b = c + a

⇒ 2b = c + a

⇒ 2b = a + c