Multiple and Sub-multiple Angles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiple and Sub-multiple Angles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

किसी त्रिभुज में, कोणों के बीच का संबंध प्रयोग किया जाता है जहाँ A + B + C = 180° है। 

प्रयुक्त सूत्र:

$\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)=\sin \left(\frac{C}{2}\right)$, जहाँ C = 180° - (A + B) है। 

व्याख्या:

किसी त्रिभुज में:

A + B + C = 180°

⇒ C = 180° - (A + B)

⇒ $\frac{C}{2}=\frac{180°-(A+B)}{2}$

अब, पूरक कोण संबंध का उपयोग करने पर:

$\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)=\sin \left(\frac{C}{2}\right)$

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है।

दिया गया है:

किसी त्रिभुज में, कोणों के बीच का संबंध प्रयोग किया जाता है जहाँ A + B + C = 180° है। 

प्रयुक्त सूत्र:

$\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)=\sin \left(\frac{C}{2}\right)$, जहाँ C = 180° - (A + B) है। 

व्याख्या:

किसी त्रिभुज में:

A + B + C = 180°

⇒ C = 180° - (A + B)

⇒ $\frac{C}{2}=\frac{180°-(A+B)}{2}$

अब, पूरक कोण संबंध का उपयोग करने पर:

$\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)=\sin \left(\frac{C}{2}\right)$

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है।

$⟹2b=a+c$

त्रिभुज के अर्धपरिमाप का मान $s={\displaystyle \frac{3b}{2}}$

$\therefore$ ${\cos }^2{\displaystyle \frac{A}{2}}={\displaystyle \frac{s(s-a)}{bc}}={\displaystyle \frac{3({\displaystyle \frac{3b}{2}}-a)}{2c}}$ का मान

इसी प्रकार, ${\cos }^2{\displaystyle \frac{C}{2}}={\displaystyle \frac{s(s-c)}{ab}}={\displaystyle \frac{3({\displaystyle \frac{3b}{2}}-c)}{2a}}$ का मान

$a{\cos }^2{\displaystyle \frac{C}{2}}+c{\cos }^2{\displaystyle \frac{A}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}(3b-a-c)={\displaystyle \frac{3b}{2}}$

गणना:

एक त्रिभुज में A + B + C = 180° 

A + B = 180° - C

$\cos \frac{(\mathrm{A}+\mathrm{B})}{2}=$  Cos((180 - C)/2) = Cos(90° - C/2) = Sin(C/2)

अतः, सही उत्तर $\sin \frac{\mathrm{c}}{2}$ है।

संकल्पना:

एक त्रिभुज ABC के लिए, जिसकी भुजाएँ A, B, C हैं जो क्रमशः कोण A, B, C के विपरीत हैं।

Cosine सूत्र-

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ और $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

• cos 3x = 4cos³x - 3cos x

गणना:

दिया गया है: एक त्रिभुज ABC जिसमें a = 4, b = 3, c = 2 है।

⇒ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4^2+3^2-2^2}{2(4)(3)}$

⇒ $\cos C=\frac{16+9-4}{24}=\frac{21}{24}$

⇒ cos C = $\frac{7}{8}$

इसलिए cos 3C = 4cos3C - 3cos C

⇒ $\cos 3C=4(\frac{7}{8}{)}^3-3.\frac{7}{8}$

⇒ $\cos 3C=4(\frac{343}{512})-\frac{21}{8}$

⇒ $\cos 3C=\frac{343}{128}-\frac{21}{8}$

⇒ $\cos 3C=\frac{343-336}{128}=\frac{7}{128}$

∴ सही विकल्प (1) है।

संकल्पना:

cos 2A = cos² A – sin² A

sin 2A = 2 sin A × cos A

गणना:

$\Rightarrow \cot \left(\frac{A}{2}\right)-\tan \left(\frac{A}{2}\right)=\frac{\cos \left(\frac{A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}-\frac{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}{\cos \left(\frac{A}{2}\right)}=\frac{{\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)\times \cos \left(\frac{A}{2}\right)}$

चूँकि हम जानते हैं कि, cos 2A = cos² A – sin² A

$\Rightarrow \cot \left(\frac{A}{2}\right)-\tan \left(\frac{A}{2}\right)=\frac{{\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)\times \cos \left(\frac{A}{2}\right)}=\frac{\cos A}{\frac{1}{2}\times 2\times \sin \left(\frac{A}{2}\right)\times \cos \left(\frac{A}{2}\right)}$

चूँकि हम जानते हैं कि, sin 2A = 2 sin A × cos A

$\Rightarrow \cot \left(\frac{A}{2}\right)-\tan \left(\frac{A}{2}\right)=\frac{\cos A}{\frac{1}{2}\times 2\times \sin \left(\frac{A}{2}\right)\times \cos \left(\frac{A}{2}\right)}=2\frac{\cos A}{\sin A}=2\cot A$

संकल्पना:

cos 2A = cos² A - sin² A = 2 cos² A - 1

sin 2A = 2 sin A × cos A

गणना:

$\Rightarrow \cot A+cosecA=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{1}{\sin A}$ 

$\Rightarrow \cot A+cosecA=\frac{1+\cos A}{\sin A}$

चूँकि हम जानते हैं कि, 

cos 2A = cos² A - sin² A = 2 cos² A - 1

$\Rightarrow \cot A+cosecA=\frac{1+\cos A}{\sin A}=\frac{2\times {\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)}{\sin A}$

चूँकि हम जानते हैं कि, 

sin 2A = 2 sin A × cos A

$\Rightarrow \cot A+cosecA=\frac{1+\cos A}{\sin A}$

$=\frac{2\times {\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)}{\sin A}=\frac{2\times {\cos }^2\left(\frac{A}{2}\right)}{2\times \cos \left(\frac{A}{2}\right)\times \sin \left(\frac{A}{2}\right)}=\cot \left(\frac{A}{2}\right)$

∴ cot A + cosec A का मान $\cot \left(\frac{A}{2}\right)$ है।

संकल्पना:

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y

गणना:

sin 75°

= sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° 

= $\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{2}$

= $\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

संकल्पना:

sin² x + cos² x = 1

sin 2x = 2 sin x cos x

गणना:

दिया हुआ है: sin α + cos α = p

दोनों पक्षों का वर्ग करके हम प्राप्त करते हैं

⇒ sin² α + cos² α + 2 sin α cos α = p²

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin² x + cos² x = 1 और sin 2x = 2 sin x cos x

⇒ 1 + sin 2α = p²

⇒ sin 2α = p² – 1

जैसा कि हम लिख सकते हैं cos2 2α = 1 – sin2 2α

⇒ cos2 2α = 1 – (p2 – 1)2

∴ cos2 2α का मान p2 (2 – p2) है।

संकल्पना:

• cos 2A = cos² A – sin² A = 1 – 2 sin² A = 2 cos² A – 1
• $\sin \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$
• $\cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि, cot x = cos x / sin x

$\Rightarrow \cot \left(22{\frac{1}{2}}^{\circ }\right)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(22{\frac{1}{2}}^{\circ }\right)}{\sin \left(22{\frac{1}{2}}^{\circ }\right)}$

चूँकि हम जानते हैं कि,$\sin \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$

$\Rightarrow \sin \left({\frac{45}{2}}^{\circ }\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left({45}^{\circ }\right)}{2}}$

चूँकि हम जानते हैं कि, 0° < A / 2 < 90° जहाँ सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक हैं। 

$\Rightarrow \sin \left({\frac{45}{2}}^{\circ }\right)=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}$      -------(1)

चूँकि हम जानते हैं कि,$\cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$

$\Rightarrow \cos \left({\frac{45}{2}}^{\circ }\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \left({45}^{\circ }\right)}{2}}$      -------(2)

चूँकि हम जानते हैं कि, 0° < A / 2 < 90° जहाँ सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक हैं। 

$\Rightarrow \cos \left({\frac{45}{2}}^{\circ }\right)=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}$

अतः समीकरण (1) और (2) से, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\Rightarrow \cot \left(22{\frac{1}{2}}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}}=1+\sqrt{2}$

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका:

• $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\theta =\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }$
• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\theta =\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }$
• $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{30}^{\circ }=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{60}^{\circ }=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{30}^{\circ }=\frac{1}{2}$
• (cos A× cos B) – (sin A × sin B) = cos(A + B)
• 2 × sin A × cos A = sin (2A)
• sin (90 - θ) = cos θ

गणना:

दिया गया है कि: √3 cosec 20° – sec 20°

चूँकि हम जानते हैं कि, cosec θ = 1/ sin θ और sec θ = 1/ cos θ

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sin {20}^{\circ }}-\frac{1}{\cos {20}^{\circ }}$

$\Rightarrow 2\left\{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin {20}^{\circ }}-\frac{\frac{1}{2}}{\cos {20}^{\circ }}\right\}$

चूँकि हम जानते हैं कि, cos 30° = √3 / 2, sin 30° = ½

$\Rightarrow 2\left\{\frac{\cos {30}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}-\frac{\sin {30}^{\circ }}{\cos {20}^{\circ }}\right\}$

$\Rightarrow 2\left\{\frac{\cos {30}^{\circ }\cos {20}^{\circ }-\sin {30}^{\circ }\sin {20}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }}\right\}$

चूँकि हम जानते हैं कि, (cos A × cos B) – (sin A × sin B) = cos(A + B)

$\Rightarrow 2\left\{\frac{\cos \left({50}^{\circ }\right)}{\sin {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }}\right\}$

$\Rightarrow 2\times 2\left\{\frac{\cos \left({50}^{\circ }\right)}{2\times \sin {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }}\right\}$

चूँकि हम जानते हैं कि, 2 × sin A × cos A = sin (2A)

$\Rightarrow 4\left\{\frac{\cos \left({50}^{\circ }\right)}{\sin {40}^{\circ }}\right\}$

$\Rightarrow 4\left\{\frac{\cos \left({50}^{\circ }\right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({90}^{\circ }-{50}^{\circ }\right)}\right\}$

चूँकि हम जानते हैं कि, sin (90 - θ) = cos θ

$\Rightarrow 4\left\{\frac{\cos \left({50}^{\circ }\right)}{\cos {50}^{\circ }}\right\}$

संकल्पना:

a² - b² = (a + b)(a - b)

sin C + sin D = $2\sin (\frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2})\cos (\frac{\mathrm{C}-\mathrm{D}}{2})$

sin C - sin D = $2\cos (\frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2})\sin (\frac{\mathrm{C}-\mathrm{D}}{2})$

2 sin x cos x = sin 2x

गणना:

माना कि, sin2 6x – sin2 4x

= (sin 6x + sin 4x) (sin 6x – sin 4x)

= [ $2\sin (\frac{6\mathrm{x}+4\mathrm{x}}{2})\cos (\frac{6\mathrm{x}-4\mathrm{x}}{2})$ ] [$2\cos (\frac{6\mathrm{x}+4\mathrm{x}}{2})\sin (\frac{6\mathrm{x}-4\mathrm{x}}{2})$]

= $[2\sin 5\mathrm{x}\cos \mathrm{x}][2\cos 5\mathrm{x}\sin \mathrm{x}]$

पदों को पुनःव्यवस्थित करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

= $[2\sin 5\mathrm{x}\cos 5\mathrm{x}][2\sin \mathrm{x}\cos \mathrm{x}]$

= sin 10x sin 2x

= sin 2x sin 10x

संकल्पना:

cosec (2nπ - θ) = - cosec θ

गणना:

cosec (-1410°) = -cosec (1410°)

= -cosec (4× 360° - 30°)

∵ cosec(2nπ - θ) = - cosecθ

- cosec (4×360° - 30°) = - (-cosec (30°))

= cosec 30° 

= 2

अतः, विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

cos (90 - x) = sin x

sin A - sin B = 2cos$\frac{(\mathrm{A}+\mathrm{B})}{2}$sin $\frac{(\mathrm{A}-\mathrm{B})}{2}$

cos 45° = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

गणना:

दिया हुआ,

cos18° - sin18°

= cos (90° - 72°) - sin 18°

= sin 72° - sin 18°

= 2 cos $\frac{(72°+18°)}{2}$× sin $\frac{(72°-18°)}{2}$

= 2 cos 45° sin 27°

= 2× $\frac{1}{\sqrt{2}}$× sin 27°

= √2 sin 27° 

अवधारण:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{A}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{B}=2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{A}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{B}=2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}$

गणना:

$\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{A}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{B}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{A}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{B}}=$

$\frac{2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}{2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}$

=$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}$

इसलिए, विकल्प (4) सही है।