ऊँचाई और दूरी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Heights and Distances - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

• चिमनी (बिंदु Q) की ऊँचाई 50 मीटर दी गई है।
• आदमी चिमनी के आधार (बिंदु P) से 100 मीटर दूर है।
• आदमी (बिंदु M पर) से चिमनी के शीर्ष (बिंदु Q) तक उन्नयन कोण 45^∘ है।
• बिंदु P से बिंदु R तक एक सरल रेखा है, और यह रेखा PM के लंबवत है।

गणना:

समकोण त्रिभुज △ MPQ के लिए, बिंदु M पर उन्नयन कोण की स्पर्शज्या है

⇒ tan 45^∘ = PQ/PM = $\frac{50+h}{100}$

जहाँ h बिंदु Q पर धुएँ के कारण अतिरिक्त ऊँचाई है

चूँकि tan 45∘ = 1 है,

⇒ 1 = $\frac{50+h}{100}=100=50+h$

⇒ h = 50 m

इसलिए, बिंदु Q पर धुएँ के कारण ऊँचाई 50 मीटर है।

कोण ∠RMQ ज्ञात कीजिए

∠RMQ, रेखा PR (P से R तक सीधी रेखा) और रेखा PM द्वारा बनता है।

स्पर्शज्या फलन की परिभाषा का उपयोग करने पर, हमारे पास है

⇒ tan ∠RMQ = $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$

⇒ ∠RMQ = tan^-1$\frac{1}{2}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

हल:

माना फ्लैग स्टाफ के शीर्ष और प्रेक्षक के बीच की दूरी x मीटर है।

$\mathrm{△}$OFA में ,  $\tan 2\alpha =\frac{30}{x}$ 
$\because \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$
$\Rightarrow \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{30}{x}\dots (i)$

$\mathrm{△}$ OFE में, $\tan \alpha =\frac{5}{x}\dots (ii)$ 
(i) और (ii) से, हमें प्राप्त होता है
$\Rightarrow \frac{2\times (5/x)}{1-(5/x{)}^2}=\frac{30}{x}$
$\Rightarrow \frac{10x^2}{x(x^2-25)}=\frac{30}{x}$
$\Rightarrow \frac{x^2}{x^2-25}=3$
$\Rightarrow x^2=3x^2-75$
$\Rightarrow 2x^2=75$
$\Rightarrow x=\sqrt{\frac{25\times 3}{2}}$
$\Rightarrow x=5\sqrt{\frac{3}{2}}$

आकृति को देखिए। मान लीजिए पेड़ की ऊँचाई h है। मान लीजिए वह भाग जो अभी भी जमीन पर खड़ा है, x है, और वह भाग जो गिर गया है, y है। इसलिए, हमारे पास है

sin θ = x/y

दिया गया है कि θ = 30

⇒ sin θ = ½

⇒ x/y = ½

⇒ y = 2x

इसके अलावा, यह दिया गया है कि गिरे हुए पेड़ के शीर्ष से पेड़ के आधार तक की दूरी 8 मीटर है

⇒ cos θ = 8/y

⇒ √3/2 = 8/y

⇒ y = 16√3/3

इसलिए, x = 8√3/3

h = x + y = 8√3/3 + 16√3/3 = 24√3/3 = 8√3 मीटर

∴ पेड़ की ऊँचाई = 8√3 मीटर

गणना:

432 किमी/घंटा की गति से 20 सेकंड की उड़ान के बाद, उन्नयन कोण बदलकर 30° हो जाता है।

⇒ v = 432 × 1000/(60 × 60) मीटर/सेकंड

= 120 मीटर/सेकंड

∴ दूरी PQ = v × 20 = 2400 मीटर

अब, ΔPAC में

tan 600 = h/AC

⇒ AC = h/(√3)

ΔAQD में

tan 30° = h/AD

⇒ AD = √3h

∴ AD = AC + CD

⇒ √3 h = h/√3 + 2400

⇒ 2h/√3 = 2400

⇒ h = 1200√3 मीटर

∴ ऊँचाई 1200√3 मीटर है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

अवनमन कोण = 60°

मीनार के आधार से दूरी = 70 मीटर

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में, tan(θ) = लंब / आधार

गणना:

माना मीनार की ऊँचाई h मीटर है।

tan(60°) = h / 70

⇒ √3 = h / 70

⇒ h = 70 × √3

⇒ h = 70√3 मीटर

मीनार की ऊँचाई 70√3 मीटर है।

दिया गया है:

इमारत की ऊँचाई = 1000 मीटर

उन्नयन कोण = 30°

प्रयुक्त सूत्र:

Tan θ = लंब/आधार = P/B

Tan 30° = 1/√3

√3 का मान = 1.732

गणना:

Tan 30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = 1000/BC

⇒ BC = 1000√3

⇒ BC = 1000 × 1.732 = 1732 मीटर

∴ सही उत्तर 1732 मीटर है।

गणना:

यहाँ AD और BE एक ही सीढ़ियाँ हैं।

अतः AD = BE

Δ ACD में,

AD2 = AC2 + CD2 = (y + 0.8)2 + 2.52

Δ BCE में,

BE2 = BC2+ CE2 = y2 + (2.5 + 1.4)2 = y2 + 3.92

चूँकि, AD = BE

अतः AD² = BE²

(y + 0.8)2 + 2.52 =  y2 + 3.92

⇒ y2 + (0.8)2 + 2 × y × 0.8  + 6.25 = y2 + 15.21

⇒ 0.64 + 1.6y + 6.25 = 15.21

⇒ 1.6y = 15.21 - 0.64 - 6.25 = 8.32

⇒ y = 8.32 / 1.6 = 5.2

इसलिए,

AD2 =  (y + 0.8)2 + 2.52 = (5.2 + 0.8)2 + 2.52 = 36 + 6.25 = 42.25

अतः सीढ़ी की लंबाई = AD = √42.25 = 6.5 मीटर

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

माना कि प्लेटफॉर्म की ऊँचाई X मीटर है।

⇒ tan45° = (47 – x) / 40 

⇒ 1 = (47 – x) / 40

⇒ 40 = 47 – x

⇒ x = 7

∴ प्लेटफॉर्म की ऊँचाई = 7 मीटर

दिया गया है:

खंभे की ऊँचाई 28 मीटर है और इसकी छाया 19.2 मीटर लंबी है।

अन्य खंभे द्वारा बनाई गई छाया 52.5 मीटर लंबी है।

प्रयुक्त अवधारणा:

AA (कोण-कोण) नियम का उपयोग करके त्रिभुजों की समरूपता की जाँच करते हैं। 

समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।

गणना:

ΔABC और ΔEDC में,

∠ABC = ∠EDC (प्रत्येक कोण 90° है)

∠ACB = ∠ECD (उभयनिष्ठ कोण)

∴ ΔABC ∼ ΔEDC (AA नियम द्वारा)

⇒ AB/ED = BC/DC

⇒ 52.5/28 = BC/19.2

⇒ BC = 52.5 × 19.2/28

⇒ BC =  36 मीटर 

∴ 52.5 मीटर ऊँचे एक अन्य खंभे द्वारा बनाई गई छाया की लंबाई 36 मीटर है। 

Confusion Points

चूँकि सूर्य की स्थिति एक विशेष समय पर निश्चित होती है और दोनों इमारतें सूर्य के एक ही तरफ हैं, इसलिए छाया द्वारा क्षितिज के साथ बनाया गया कोण बराबर होना चाहिए।

BE तालाब से पक्षियों की ऊंचाई है

⇒ BE = ED = h मीटर

⇒ AF = CE = 60 मीटर

⇒ BC = (h – 60) मीटर और CD = (h + 60) मीटर

ΔABC में,

tan 30 = BC/AC

⇒ 1/√3 = (h – 60)/AC

⇒ AC = √3 (h – 60)      ----(i)

ΔADC में 

tan 60 = CD/AC

⇒ √3 = (h + 60)/AC

⇒ AC = (h + 60)/√3      ----(ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से 

√3 (h – 60) = (h + 60)/√3

⇒ 3 (h – 60) = (h + 60)

⇒ 3h – 180 – h = 60

⇒ 2h = 240

⇒ h = 120 मीटर

∴ तालाब से पक्षियों की ऊंचाई 120 मीटर है। 

संकल्पना:

यदि लम्बाई L वाली मीनार से दूरी D पर एक बिंदु से उन्नयन कोण θ है तो 

tan θ = $\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{D}}$

गणना:

माना कि मीनार OP की लम्बाई x है। 

आकृति से, 

OA = $\frac{\mathrm{x}}{\tan 30}=\sqrt{3}\mathrm{x}$

OB = $\frac{\mathrm{x}}{\tan 45}=\mathrm{x}$

OC = $\frac{\mathrm{x}}{\tan 60}=\frac{\mathrm{x}}{\surd 3}$

∴ AB = OA - OB = $\sqrt{3}\mathrm{x}-\mathrm{x}$

BC = OB - OC = $\mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{3}}$

⇒ $\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{\sqrt{3}\mathrm{x}-\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{3}}}$

⇒ $\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}$

⇒ $\text{boldsymbol}\mathrm{A}\mathrm{B}:\mathrm{B}\mathrm{C}=\sqrt{3}:1$

दिया गया है:

ऊंचाई h वाला एक ध्वजदण्ड ऊर्ध्वाधर मीनार पर लगाया गया है।

ध्वजदण्ड के निचले भाग और शीर्ष भाग का उन्नयन कोण क्रमशः θ और 2θ हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

1. tan θ = लंब/आधार

2. tan 2θ = $\frac{(2tan\theta )}{(1-ta{n}^2\theta )}$

3. cos 2θ = $\frac{1-ta{n}^2\theta }{1+ta{n}^2\theta }$

गणना:

माना कि मीनार की ऊंचाई x है।

एक समकोण त्रिभुज ABC में

tan θ = AC/AB = x/AB

⇒ AB = x/tan θ          ------(1)

एक समकोण त्रिभुज ABD में

tan 2θ = AD/AB = (x + h)/AB

⇒ $\frac{(2tan\theta )}{(1-ta{n}^2\theta )}$ = (x + h)/AB   [सूत्र (2) का प्रयोग करने पर]

⇒ $\frac{(2tan\theta )}{(1-ta{n}^2\theta )}$ = $\frac{(x+h)tan\theta }{x}$     [समीकरण (2) से]

⇒ $\frac{(2)}{(1-ta{n}^2\theta )}$ = $1+\frac{h}{x}$ 

⇒ $\frac{h}{x}=\frac{2}{1-ta{n}^2\theta }-1$

⇒  $\frac{h}{x}=\frac{2-(1-ta{n}^2\theta )}{1-ta{n}^2\theta }$

⇒  $\frac{h}{x}=\frac{1+ta{n}^2\theta }{1-ta{n}^2\theta }$ 

⇒ $\frac{x}{h}=\frac{1-ta{n}^2\theta }{1+ta{n}^2\theta }$ = cos2θ       [सूत्र (3) का प्रयोग करने पर)]

⇒ x = hcos 2θ 

∴ मीनार की ऊंचाई h cos 2θ है। 

दिया गया है:

पतंग उड़ाने की ऊँचाई = 138 मीटर

गणना:

त्रिभुज की ऊँचाई के साथ, जिस पर पतंग त्रिभुज की ऊँचाई के रूप में उड़ती है, डोरी की लंबाई त्रिभुज की एक भुजा के रूप में और क्षैतिज लंबाई त्रिभुज के आधार के रूप में है।

त्रिभुज 45 - 45 - 90 त्रिभुज है।

⇒ sin 45 = (ऊँचाई जिस पर पतंग उड़ती है)/(डोरी की लंबाई)

⇒ 1/√2 = 138 मीटर/डोर की लंबाई

⇒ डोरी की लंबाई = 195.16 ≈ 195 मीटर

∴ डोरी की अनुमानित लंबाई 195 मीटर है।

$\tan 60=\frac{h}{x}$

$\sqrt{3}=\frac{h}{x}$

$h=\sqrt{3}x$

$\tan 30=\frac{h}{x+40}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+40}$

$h\sqrt{3}=x+40$

$\left(\sqrt{3}x\right)\left(\sqrt{3}\right)=x+40$

3x = x + 40

2x = 40

x = 20 m

संकल्पना:

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}=\frac{\text{opposite side }}{\text{adjacent side}}$

गणना:

दिया गया है कि एक समतल तल पर खड़े मीनार की छाया 50 मीटर अधिक लंबी पाई जाती है जब सूर्य की ऊंचाई 60° की तुलना में 30° होती है। 

माना कि, h मीनार की ऊंचाई है और 'l' छाया की लम्बाई है। 

आकृति से, हमारे पास $\tan 60°=\frac{h}{L}$ है। 

⇒ $\sqrt{3}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{L}}$....(1)

इसीप्रकार, $\tan {30}^{\circ }=\frac{h}{L+50}$

⇒$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{L}+50}$ ....(2)

(1) से $h=\sqrt{3}l$

(2) में इसे रखने पर 

⇒$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\mathrm{L}}{\mathrm{L}+50}$

⇒ L + 50 = 3L

⇒ L = 25 मीटर

⇒ h = 25$\sqrt{3}$           [3 से]

∴ मीनार की ऊंचाई 25$\sqrt{3}$ है।