Heights and Distances MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Heights and Distances - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது

புகைபோக்கிகளை இணைக்கும் கோடு தரையுடன் 45° கோணத்தை உருவாக்குகிறது.

ஒரு வீடு 25 மீ, மற்றொன்று 10 மீ உயரம்

கணக்கீடு

 டான்  45 = BR/AR = 1

∴ AR = BR

AS = RQ

AS = RQ = 10 மீ

BR = BQ - RQ = 25 - 10 = 15 மீ

AR = 15 மீ

இரண்டு வீடுகளுக்கும் இடையிலான தூரம் 15 மீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

10 மீ உயரமுள்ள கம்பத்தின் தலை மற்றும் அடிவாரத்தில் கட்டப்பட்ட கோபுரத்தின் உயரக் கோணங்கள் முறையே 30 ^° & 60 ^° ஆகும்.

கணக்கீடு:

AD என்பது துருவமாகவும் BC என்பது கோபுரமாகவும் இருக்கும் இடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட தரவை பின்வருமாறு வரைபடமாக குறிப்பிடலாம்.

கேள்வியின் படி,

நம்மிடம் உள்ள கம்பத்தின் உயரம் AD  = 10 மீ.

∠CDE = 30 ^° மற்றும் ∠CAB = 60 ^°

வலது Δ ஏபிசி,

tan  60 ^° = BC/AB

⇒ √3 = (EC + BE)/AB (∵ AD = BE = 10m)

⇒ AB = (EC + 10)/√3 .....(1)

வலது ΔDEC இல்,

 பழுப்பு  30 ^° = EC/DE

⇒ 1/√3 = EC/AB (∵ DE = AB)

⇒ AB = √3EC .....(2)

சமன்பாடு (1) & (2) நாம் பெறுகிறோம்,

(EC + 10)/√3 = √3EC

⇒ EC + 10 = 3EC

⇒ EC = 10/2 = 5

கோபுரத்தின் உயரம் = 10 + 5 = 15 (BE +EC)

∴ கோபுரத்தின் உயரம் 15 மீ.

விடை:

கட்டடத்தின் உயரம் = 1000 மீ

கட்டிடத்தின் மேற்பகுதிக்கும் தரைக்கும் இடையே உள்ள கோணம் = 30°

சூத்திரம்:

Tan θ = செங்குத்து மதிப்பு /அடிப்பகுதி= P/B

Tan 30° = 1/√3

 √3 இன் மதிப்பு= 1.732 

கணக்கீடு:

Tan 30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = 1000/BC

⇒ BC = 1000√3

⇒ BC = 1000 × 1.732 = 1732 மீ

∴ விடை =  1732 மீ

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

sin θ = எதிர் பக்கம்/கர்ணம்

கணக்கீடு:

காத்தாடி, சரம் மற்றும் தரை ஆகியவற்றால் உருவாகும் வலது கோண முக்கோணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். தரையில் இருந்து காத்தாடியின் உயரம் என்பது காத்தாடியிலிருந்து தரையில் வரையப்பட்ட செங்குத்தாக வரையப்பட்ட நீளம் ஆகும். சரத்தின் நீளம் முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும். தரையில் காத்தாடியின் உயரத்தின் கோணம் θ ஆக இருக்கட்டும்.

வலது கோண முக்கோண ABC இல், எங்களிடம் உள்ளது:

AC = காத்தாடியின் உயரம் = 30 மீ

AB = கயிற்றின் நீளம் = 60 மீ

⇒ sinθ = காத்தாடியின் உயரம் / கயிற்றின்  நீளம்

⇒ sinθ = 30/60

⇒ sinθ = 1/2

⇒ θ = 30°

எனவே, தரையில் காத்தாடியின் உயரத்தின் கோணம் 3 0° ஆகும்.

தீர்வு:

கொடிக்கம்பத்தின் மேற்பகுதிக்கும் பார்வையாளருக்கும் இடையே உள்ள தூரம் x மீ ஆக இருக்கட்டும்.

\(\triangle\)OFA இல்,  \(\tan 2α =\frac{30}{x}\) 
\( \because \tan 2 α=\frac{2 \tan α}{1-\tan ^2 α} \)
\( \Rightarrow \frac{2 \tan α}{1-\tan ^2 α}=\frac{30}{x} \ldots (i)\)

\(\triangle\) OFG இல், \( \tan α=\frac{5}{x} \ldots(i i)\) 
(i) மற்றும் (ii) லிருந்து, நமக்குக் கிடைப்பது
\( \Rightarrow \frac{2 \times(5 / x)}{1-(5 / x)^2}=\frac{30}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{10 x^2}{x\left(x^2-25\right)}=\frac{30}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-25}=3 \)
\( \Rightarrow x^2=3 x^2-75 \)
\( \Rightarrow 2 x^2=75 \)
\( \Rightarrow x=\sqrt{\frac{25 \times 3}{2}} \)
\( \Rightarrow x=5 \sqrt{\frac{3}{2}} \)

விடை:

கட்டடத்தின் உயரம் = 1000 மீ

கட்டிடத்தின் மேற்பகுதிக்கும் தரைக்கும் இடையே உள்ள கோணம் = 30°

சூத்திரம்:

Tan θ = செங்குத்து மதிப்பு /அடிப்பகுதி= P/B

Tan 30° = 1/√3

 √3 இன் மதிப்பு= 1.732 

கணக்கீடு:

Tan 30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = 1000/BC

⇒ BC = 1000√3

⇒ BC = 1000 × 1.732 = 1732 மீ

∴ விடை =  1732 மீ

கணக்கீடு:

இங்கே, AD மற்றும் BE இரண்டும் ஒரே ஏணிகள்.

எனவே, AD = BE

Δ ACD இல்,

AD ² = AC ² + CD ² = (y + 0.8) ² + 2.5 ²

BCE Δ இல்,

BE ² = BC ² + CE ² = y ² + (2.5 + 1.4) ² = y ² + 3.9 ²

ஏனெனில், AD = BE

எனவே, AD ² = BE ²

(y + 0.8) 2 + 2.5 2 = y 2 + 3.9 2

⇒ y ² + (0.8) ² + 2 × y × 0.8 + 6.25 = y ² + 15.21

⇒ 0.64 + 1.6y + 6.25 = 15.21

⇒ 1.6y = 15.21 - 0.64 - 6.25 = 8.32

⇒ y = 8.32 / 1.6 = 5.2

எனவே,

AD ² = (y + 0.8) 2 + 2.5 2 = (5.2 + 0.8) ² + 2.5 ² = 36 + 6.25 = 42.25

எனவே, ஏணியின் நீளம் = AD = √42.25 = 6.5 மீ

∴ சரியான பதில் விருப்பம் (2).

மேடையின் உயரம் x மீ ஆக இருக்கட்டும்.

⇒ tan45° = செங்குத்து/அடிப்பகுதி = (47 – x) / 40

⇒ 1 = (47 – x) / 40

⇒ 40 = 47 – x

⇒ x = 7

∴ மேடையின் உயரம் = 7 மீ

BE என்பது குளத்தில் இருந்து பறவையின் உயரம் 

⇒ BE = ED = h மீ 

⇒ AF = CE = 60 மீ

⇒ BC = (h – 60) மீ மற்றும் CD = (h + 60) மீ

ΔABCஇல்,

tan 30 = BC/AC

⇒ 1/√3 = (h – 60)/AC

⇒ AC = √3 (h – 60)      ----(i)

ΔADCஇல்,

tan 60 = CD/AC

⇒ √3 = (h + 60)/AC

⇒ AC = (h + 60)/√3      ----(ii)

சமன்பாடு (i) மற்றும் சமன்பாடு (ii)இலிருந்து 

√3 (h – 60) = (h + 60)/√3

⇒ 3 (h – 60) = (h + 60)

⇒ 3h – 180 – h = 60

⇒ 2h = 240

⇒ h = 120 மீ 

∴ குளத்தில் இருந்து பறவையின் உயரம்  120 மீ.

கருத்து:

L நீளமுள்ள கோபுரத்திலிருந்து D தொலைவில் உள்ள புள்ளியிலிருந்து உயரக் கோணம் θ ஆக இருந்தால்

tan θ = \(\rm L\over D\)

கணக்கீடு:

OP கோபுரத்தின் நீளம் x ஆக இருக்கட்டும்

உருவத்தில் இருந்து,

OA = 

OB = 

OC = 

∴ AB = OA - OB = 

BC = OB - OC = 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

கருத்து : 

\(\rm\ tan\;x =\frac {\text {opposite side }}{\text {adjacent side}}\)

கணக்கீடுகள்:

ஒரு சமதளத்தில் நிற்கும் கோபுரத்தின் நிழலைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, தளத்தின் நீளம் 50 மீ ஆக இருப்பது கண்டறியப்பட்டது. அப்படியென்றால் இது 30° ஆக இருக்கும் போது சூரியனின் உயரம் 60° ஆக இருக்கும்.

h என்பது கோபுரத்தின் உயரம் மற்றும் 'l' என்பது நிழலின் நீளம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

தரவுகளிலிருந்து, நம்மிடம் இருப்பது \(\tan 60° = \frac{h}{L}\)

⇒ \(\rm\sqrt{3} = \frac{h}{L}\)....(1)

இதேபோல, \(\tan 30^\circ = \frac{h}{L + 50}\)

⇒\(\rm\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{h}{L + 50}\) ....(2)

(1) லிருந்து \(h =\sqrt{3}l\)     -----(3)

இதை (2) இல் வைக்கவும்

⇒\(\rm\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{{\sqrt3L}}{L + 50}\)
⇒ L + 50 = 3L

⇒ L = 25 மீ

⇒ h = 25\(\sqrt{3}\)      [3 லிருந்து]

∴ கோபுரத்தின் உயரம் 25\(\sqrt{3}\)

\(\tan 60 = \frac{h}{x}\)

\(\sqrt 3 = \frac{h}{x}\)

\(h = \sqrt 3 x\)

\(\tan 30 = \frac{h}{{x + 40}}\)

\(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{h}{{x + 40}}\)

\(h\sqrt 3 = x + 40\)

\(\left( {\sqrt 3 x} \right)\left( {\sqrt 3 } \right) = x + 40\)

3x = x + 40

2x = 40

x = 20 மீ

தீர்வு:

கொடிக்கம்பத்தின் மேற்பகுதிக்கும் பார்வையாளருக்கும் இடையே உள்ள தூரம் x மீ ஆக இருக்கட்டும்.

\(\triangle\)OFA இல்,  \(\tan 2α =\frac{30}{x}\) 
\( \because \tan 2 α=\frac{2 \tan α}{1-\tan ^2 α} \)
\( \Rightarrow \frac{2 \tan α}{1-\tan ^2 α}=\frac{30}{x} \ldots (i)\)

\(\triangle\) OFG இல், \( \tan α=\frac{5}{x} \ldots(i i)\) 
(i) மற்றும் (ii) லிருந்து, நமக்குக் கிடைப்பது
\( \Rightarrow \frac{2 \times(5 / x)}{1-(5 / x)^2}=\frac{30}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{10 x^2}{x\left(x^2-25\right)}=\frac{30}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-25}=3 \)
\( \Rightarrow x^2=3 x^2-75 \)
\( \Rightarrow 2 x^2=75 \)
\( \Rightarrow x=\sqrt{\frac{25 \times 3}{2}} \)
\( \Rightarrow x=5 \sqrt{\frac{3}{2}} \)

கொடுக்கப்பட்டது:

தரையில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு கோபுரத்தின் உச்சியின் உயரத்தின் கோணம் 30° ஆகும்.

கோபுரத்தை நோக்கி 30 மீட்டர் நடந்த பிறகு, உச்சியின் உயரக் கோணம் 60° ஆகிறது.

கணக்கீடுகள்:

AB கோபுரமாகவும், C மற்றும் D என்பது கண்காணிப்புப் புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும்.

▵ABD இல், \(\dfrac{AB}{AD}\) = tan60° = √3

=> AD = \(\dfrac{AB}{√3}\)

= \(\dfrac{h}{√3}\)

▵ABC இல், \(\dfrac{AB}{AC}\) = tan30° = \(\dfrac{1}{√3}\)

=> AC = AB × √3 = h√3

∴ CD = (AC - AD) = h√3 - \(\dfrac{h}{√3}\)

=> h√3 - \(\dfrac{h}{√3}\) = 30

=> \(\dfrac{3h - h}{√3}\) = 30

=> 3h - h = 30√3

=> h = \(\dfrac{30√3}{2}\)

=> h = 15√3

=> h = 15 × 1.73

=> h = 25.95~26

∴ விடை 26 மீ.

கணக்கீடு:

B மற்றும் D ஆகியவை ஆற்றின் இரு எதிர் பக்கங்களாகவும், A என்பது கோபுரத்தின் உச்சியாகவும் இருக்கட்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட,

ஏசி = 9 மீ

ஒரு முக்கோணத்தில், ஏபிசி

tan 30∘ =  \(\frac{AC}{BC}\)⇒

⇒ \(\frac{1}{√ 3}=\frac{9}{BC}\)

⇒ BC = 9√3 ----(1)

ஒரு ΔABD இல்

tan 45∘ =  \(\frac{AC}{CD}\)

⇒ \(1=\frac{9}{CD}\)

⇒  CD = 9   -----(2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) சேர்த்தல்

⇒ BC + CD = 9√3 + 9

⇒ BD = 9(√3 + 1)

எனவே, ஆற்றின் அகலம் 9(√3 + 1) ஆகும்.

Important Points
 tan30° மதிப்பைப் பெற பின்வரும் அட்டவணை பயன்படுத்தப்படுகிறது