उंची आणि अंतर MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Heights and Distances - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

धुरांड्याला जोडणारी रेषा जमिनीशी 45° चा कोन बनवते.

एक घर 25 मी उंच आणि दुसरे घर 10 मी उंच आहे

गणना

tan 45 = BR/AR = 1

∴ AR = BR

AS = RQ

AS = RQ = 10 मी

BR = BQ - RQ = 25 - 10 = 15 मी

AR = 15 मी

दोन घरांमधील अंतर 15 मी आहे.

दिलेले आहे:

10 मी उंच खांबाच्या शीर्ष आणि पायावर बांधलेल्या एका मनोऱ्याच्या उंचीचा उन्नत कोन अनुक्रमे 30° आणि 60° आहेत.

गणना:

AD हा खांब आहे आणि BC हा मनोरा आहे, अशाप्रकारे दिलेला डेटा पुढील रेखाचित्रानुसार दर्शविला जाऊ शकतो.

प्रश्नानुसार,

आपल्याकडे, खांबाची उंची, AD = 10 मीटर

∠CDE = 30^° आणि ∠CAB = 60^°

काटकोन Δ ABC मध्ये,

tan 60° = BC/AB

⇒ √3 = (EC + BE)/AB   (∵ AD = BE = 10 मी)

⇒ AB = (EC + 10)/√3     .....(1)

काटकोन ΔDEC मध्ये,

tan 30° = EC/DE

⇒ 1/√3 = EC/AB   (∵ DE = AB)

⇒ AB = √3EC     .....(2)

समीकरण (1) व (2) वरून, आपल्याकडे, 

(EC + 10)/√3 = √3EC

⇒ EC + 10 = 3EC 

⇒ EC = 10/2 = 5

मनोऱ्याची उंची = 10 + 5 = 15 (BE +EC)

∴ मनोऱ्याची उंची 15 मी आहे.

दिलेले आहे:

इमारतीची उंची = 1000 मीटर

उंचीचा कोन = 30°

वापरलेले सूत्र:

Tan θ = लंब/पाया= P/B

Tan 30° = 1/√3

√3 चे मूल्य = 1.732 

गणना:

Tan 30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = 1000/BC

⇒ BC = 1000√3

⇒ BC = 1000 × 1.732 = 1732 मीटर

∴ योग्य उत्तर 1732 मीटर आहे.

वापरलेली संकल्पना:

sin θ = समोरची बाजू/कर्ण

गणना:

पतंग, दोर आणि जमीन यांनी तयार केलेल्या काटकोन त्रिकोण गृहीत धरूया. पतंगाची जमिनीपासूनची उंची म्हणजे पतंगापासून जमिनीवर काढलेल्या लंबाची लांबी आहे. दोऱ्याची लांबी म्हणजे त्रिकोणाचा कर्ण आहे. समजा, पतंगाचा जमिनीशी असणारा उन्नत कोन θ आहे.

काटकोन त्रिकोण ABC मध्ये, आपल्याकडे:

AC = पतंगाची उंची = 30 मी

AB = दोऱ्याची लांबी = 60 मी

⇒ sin θ = पतंगाची उंची/दोऱ्याची लांबी

⇒ sin θ = 30/60

⇒ sin θ = 1/2

⇒ θ = 30°

म्हणून, पतंगाचा जमिनीशी असणारा उन्नत कोन 30° असेल.

उकल:

ध्वज कर्मचारी आणि निरीक्षक यांच्यातील अंतर x m आहे असे समजा

\(\triangle\)OFA मध्ये,  \(\tan 2α =\frac{30}{x}\) 
\( \because \tan 2 α=\frac{2 \tan α}{1-\tan ^2 α} \)
\( \Rightarrow \frac{2 \tan α}{1-\tan ^2 α}=\frac{30}{x} \ldots (i)\)

\(\triangle\)OFG मध्ये, \( \tan α=\frac{5}{x} \ldots(i i)\) 
(i) आणि (ii) वरून, आपल्याला मिळते
\( \Rightarrow \frac{2 \times(5 / x)}{1-(5 / x)^2}=\frac{30}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{10 x^2}{x\left(x^2-25\right)}=\frac{30}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-25}=3 \)
\( \Rightarrow x^2=3 x^2-75 \)
\( \Rightarrow 2 x^2=75 \)
\( \Rightarrow x=\sqrt{\frac{25 \times 3}{2}} \)
\( \Rightarrow x=5 \sqrt{\frac{3}{2}} \)

दिलेले आहे:

इमारतीची उंची = 1000 मीटर

उंचीचा कोन = 30°

वापरलेले सूत्र:

Tan θ = लंब/पाया= P/B

Tan 30° = 1/√3

√3 चे मूल्य = 1.732 

गणना:

Tan 30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = 1000/BC

⇒ BC = 1000√3

⇒ BC = 1000 × 1.732 = 1732 मीटर

∴ योग्य उत्तर 1732 मीटर आहे.

गणना:

येथे, AD आणि BE ही एकच शिडी आहे.

अशाप्रकारे, AD = BE

Δ ACD मध्ये,

AD2 = AC2 + CD2 = (y + 0.8)2 + 2.52

Δ BCE मध्ये,

BE2 = BC2+ CE2 = y2 + (2.5 + 1.4)2 = y2 + 3.92

कारण, AD = BE

अशाप्रकारे, AD² = BE²

(y + 0.8)2 + 2.52 =  y2 + 3.92

⇒ y2 + (0.8)2 + 2 × y × 0.8  + 6.25 = y2 + 15.21

⇒ 0.64 + 1.6y + 6.25 = 15.21

⇒ 1.6y = 15.21 - 0.64 - 6.25 = 8.32

⇒ y = 8.32 / 1.6 = 5.2

अशाप्रकारे,

AD2 = (y + 0.8)2 + 2.52 = (5.2 + 0.8)2 + 2.52 = 36 + 6.25 = 42.25

अशाप्रकारे, शिडीची लांबी = AD = √42.25 = 6.5 मीटर

∴ पर्याय (2) योग्य आहे.

प्लॅटफॉर्मची उंची x मीटर मानू.

⇒ tan45° = लंब/पाया = (47 – x) / 40

⇒ 1 = (47 – x) / 40

⇒ 40 = 47 – x

⇒ x = 7

∴ प्लॅटफॉर्मची उंची = 7 मीटर 

BE ही पक्ष्याची तलावापासूनची उंची आहे.

⇒ BE = ED = h मीटर 

⇒ AF = CE = 60 मीटर 

⇒ BC = (h – 60) मीटर आणि CD = (h + 60) मीटर

ΔABC मध्ये,

tan 30 = BC/AC

⇒ 1/√3 = (h – 60)/AC

⇒ AC = √3 (h – 60)      ----(i)

ΔADC मध्ये

tan 60 = CD/AC

⇒ √3 = (h + 60)/AC

⇒ AC = (h + 60)/√3      ----(ii)

समीकरण (i) आणि समीकरण (ii) वरून 

√3 (h – 60) = (h + 60)/√3

⇒ 3 (h – 60) = (h + 60)

⇒ 3h – 180 – h = 60

⇒ 2h = 240

⇒ h = 120 मीटर 

∴ तलावापासून पक्ष्याची उंची 120 मीटर आहे.

संकल्पना:

जर L लांबीच्या मनोऱ्यापासून D अंतरावरील बिंदुपासूनच्या उंचीवरील कोन हा θ असेल तर, 

tan θ = \(\rm L\over D\)

गणना:

OP या मनोऱ्याची ऊंची x घेऊ, 

आकृतीवरून, 

OA = \(\rm {x\over\tan30}=\sqrt{3}x\)

OB = \(\rm {x\over\tan45}=x\)

OC = \(\rm {x\over\tan60}={x\over√{3}}\)

∴ AB = OA - OB = \(\rm \sqrt 3 x-x\)

BC = OB - OC = \(\rm x-\frac{x}{\sqrt 3}\)

⇒ \(\rm {AB\over BC}={\sqrt 3 x-x\over\rm x-\frac{x}{\sqrt 3}}\)

⇒ \(\rm {AB\over BC}={\sqrt 3(\sqrt 3 -1)\over \sqrt 3 -1} \)

⇒ \(\boldsymbol{\rm AB:BC=\sqrt{3} : 1}\)

\(\tan 60 = \frac{h}{x}\)

\(\sqrt 3 = \frac{h}{x}\)

\(h = \sqrt 3 x\)

\(\tan 30 = \frac{h}{{x + 40}}\)

\(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{h}{{x + 40}}\)

\(h\sqrt 3 = x + 40\)

\(\left( {\sqrt 3 x} \right)\left( {\sqrt 3 } \right) = x + 40\)

3x = x + 40

2x = 40

x = 20 मीटर

संकल्पना :

\(\rm\ tan\;x =\frac {\text {opposite side }}{\text {adjacent side}}\)

गणना:

एका समतलावर उभ्या असलेल्या टॉवरची सावली पाहता, सूर्याची उंची 60° पेक्षा 30° असते तेव्हा विमान 50 मीटर जास्त असते.

समजा, h ही टॉवरची उंची आहे आणि 'l' ही सावलीची लांबी आहे.

माहितीवरून, आपल्याकडे  आहे

⇒ \(\rm\sqrt{3} = \frac{h}{L}\)....(1)

त्याचप्रमाणे, \(\tan 30^\circ = \frac{h}{L + 50}\)

⇒\(\rm\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{h}{L + 50}\) ....(2)

 (1) वरून  \(h =\sqrt{3}l\)    -----(3)

त्यात टाका (2)

⇒\(\rm\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{{\sqrt3L}}{L + 50}\)
⇒ L + 50 = 3L

⇒ L = 25 मी

⇒ h = 25 [3 वरून ]

∴ टॉवरची उंची 25 \(\sqrt{3}\) आहे

उकल:

ध्वज कर्मचारी आणि निरीक्षक यांच्यातील अंतर x m आहे असे समजा

\(\triangle\)OFA मध्ये,  \(\tan 2α =\frac{30}{x}\) 
\( \because \tan 2 α=\frac{2 \tan α}{1-\tan ^2 α} \)
\( \Rightarrow \frac{2 \tan α}{1-\tan ^2 α}=\frac{30}{x} \ldots (i)\)

\(\triangle\)OFG मध्ये, \( \tan α=\frac{5}{x} \ldots(i i)\) 
(i) आणि (ii) वरून, आपल्याला मिळते
\( \Rightarrow \frac{2 \times(5 / x)}{1-(5 / x)^2}=\frac{30}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{10 x^2}{x\left(x^2-25\right)}=\frac{30}{x} \)
\( \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-25}=3 \)
\( \Rightarrow x^2=3 x^2-75 \)
\( \Rightarrow 2 x^2=75 \)
\( \Rightarrow x=\sqrt{\frac{25 \times 3}{2}} \)
\( \Rightarrow x=5 \sqrt{\frac{3}{2}} \)

दिलेले आहे:

जमिनीवरील एका बिंदूपासून मनोऱ्याच्या शिखराचा उन्नत कोन 30° आहे.

मनोऱ्याच्या दिशेने 30 मी चालल्यानंतर, शिखराचा उन्नत कोन 60° होतो.

गणना:

समजा, AB हा मनोरा आणि C आणि D हे निरीक्षण बिंदू आहेत.

▵ABD मध्ये, \(\dfrac{AB}{AD}\) = tan60° = √3

=> AD = \(\dfrac{AB}{√3}\)

= \(\dfrac{h}{√3}\)

▵ABC मध्ये, \(\dfrac{AB}{AC}\) = tan30° = \(\dfrac{1}{√3}\)

=> AC = AB x √3 = h√3

∴ CD = (AC - AD) = h√3 - \(\dfrac{h}{√3}\)

=> h√3 - \(\dfrac{h}{√3}\) = 30

=> \(\dfrac{3h - h}{√3}\) = 30

=> 3h - h = 30√3

=> h = \(\dfrac{30√3}{2}\)

=> h = 15√3

=> h = 15 × 1.73

=> h = 25.95~26

∴ 26 मीटर हे योग्य उत्तर आहे.

AB = DE = 1500√3

Δ ABC मध्ये,

\(tan\;60^\circ = \frac{{AB}}{{BC}}\)

\(BC = \frac{{1500\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 1500\)

Δ DEC मध्ये,

\(tan\;30^\circ = \frac{{DE}}{{CE}}\)

\(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{1500\sqrt 3 }}{{{\rm{CE}}}}\)

CE = 1500 × 3 = 4500

BE = CE – BC

BE = 4500 – 1500

BE = 3000

वेग = अंतर/वेळ \( = \frac{{3000}}{{15}} = 200\)  मीटर प्रति सेकंद