Divergence MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Divergence - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या

दिया गया है:
D एक बंद पृष्ठ है।
$\overrightarrow{F}=(a,b,c)$ , एक स्थिर सदिश।
$\overrightarrow{N}$ बाह्य दिशा में इकाई अभिलंब सदिश है।

अपसरण प्रमेय कहता है:

${\iint }_D\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS={\iiint }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})dV$

जहाँ V पृष्ठ D द्वारा परिबद्ध आयतन है।

चूँकि $\overrightarrow{F}=(a,b,c)$ एक स्थिर सदिश है, $\overrightarrow{F}$ का अपसरण है:
$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial c}{\partial z}=0$
क्योंकि प्रत्येक घटक a, b और c स्थिर (x, y या z से स्वतंत्र) है। इस प्रकार, V पर $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}$ का आयतन समाकल है:
${\iiint }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})dV={\iiint }_{V}0dV=0$

इसलिए:

${\iint }_D\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS=0$

सही विकल्प: विकल्प 2) ${\iint }_D\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS=0$ है। 

स्पष्टीकरण:

अभिकथन (A): दिया गया सदिश क्षेत्र

⇒ $\mathbf{F}=(y^2-z^2+3yz-2x)\hat{i}+(3xz+2xy)\hat{j}+(3xy-2xz+2z)\hat{k}$

⇒ परिनालिकीय है। 

⇒ कारण (R): एक सदिश क्षेत्र $\mathbf{F}$ को परिनालिकीय कहा जाता है, यदि -

⇒ $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=0$

⇒ $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$

⇒ $F_1=y^2-z^2+3yz-2x,F_2=3xz+2xy,F_3=3xy-2xz+2z$

⇒ $\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(y^2-z^2+3yz-2x)=-2,$

⇒ $\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(3xz+2xy)=2x$

⇒ $\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}(3xy-2xz+2z)=-2x+2$

⇒ $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=(-2)+(2x)+(-2x+2)=0$

⇒ चूँकि $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=0$ , दिया गया सदिश क्षेत्र परिनालिकीय है। 

⇒ अभिकथन (A) सत्य है। 

कारण (R) सत्य है। 

चूँकि (R) परिनालिकीय क्षेत्र की परिभाषा को सही ढंग से समझाता है, यह (A) को भी सही ढंग से समझाता है। 

अतः विकल्प 1 सही है। 

स्पष्टीकरण:

यदि $\mathbf{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ और $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$  है, तो

ज्ञात करना है: $\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)$ 

⇒ हमें यह फलन दिया गया है:

$f=\frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

चरण 1:

$\mathrm{\nabla }f$ की गणना करें,

प्रवणता संकारक है,

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

आंशिक व्युत्पन्न की गणना:

⇒ $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{\partial }{\partial x}((x^2+y^2+z^2{)}^{-\frac{1}{2}})$

शृंखला नियम का उपयोग करने पर, 

$\frac{\partial }{\partial x}((x^2+y^2+z^2{)}^{-\frac{1}{2}})=-\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2{)}^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x$

⇒ सरलीकरण,

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{x}{(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}}=-\frac{x}{r^3}$

इसी प्रकार,

$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{y}{r^3},$

$\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{z}{r^3}$

⇒चरण 2: प्रवणता संकारक को सदिश के रूप में लिखने पर,

$\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)=(-\frac{x}{r^3},-\frac{y}{r^3},-\frac{z}{r^3})$

या सदिश संकेतन में

$\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{\mathbf{r}}{r^3}$

अतः विकल्प 1 सही है। 

व्याख्या:

यदि $f$ दोगुने सतत अवकलनीय है, तो इसके द्वितीय अवकलज उस कोटि से स्वतंत्र है जिसमें अवकलज लागू होते हैं। $▽f$ के व्यंजक में सभी पद समाप्त हो जाते हैं, और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $▽f=0$ हैcurl⁡∇f=0." id="MathJax-Element-12-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">

• विचलन एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है लेकिन एक अदिश में परिणाम होता है।
• कर्ल एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है और एक सदिश क्षेत्र में परिणाम देता है।
• प्रवणता एक अदिश पर  संचालित होता है लेकिन परिणाम एक सदिश क्षेत्र में होता है ।
• कर्ल का विचलन, प्रवणता का कर्ल हमेशा शून्य होता है।
• इस प्रकार, कर्ल की प्रवणता कर्ल (जो एक सदिश क्षेत्र है) का परिणाम उस प्रवणता को संचालित करने के लिए देता है, जो गणितीय रूप से अमान्य अभिव्यक्ति है। 

स्पष्टीकरण:

एक सदिश क्षेत्र V को प्रवणता क्षेत्र कहा जाता है, यदि कोई अदिश फलन f इस प्रकार मौजूद है कि सदिश क्षेत्र V, f की प्रवणता है। दूसरे शब्दों में, V को इस गुण को संतुष्ट करना होगा कि V = ∇f, जहाँ ∇f, f की प्रवणता है।

अतः सही उत्तर 4 है।

संकल्पना:

दिए गए सदिश क्षेत्र का अपसरण निम्न है,

$div\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}\dots \left(1\right)$

गणना:

दिया है:

$\overrightarrow{F}=x^{2}z\hat{i}+xy\hat{j}-y{z}^2\hat{k}$

समीकरण (1) का उपयोग करने पर,

$\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=\left(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot \overrightarrow{F}$

$\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=2xz+x–2yz$

$\therefore div\overrightarrow{F}at\left(1,-1,1\right)=2+1+2=5$

व्याख्या:

यदि $f$ दोगुने सतत अवकलनीय है, तो इसके द्वितीय अवकलज उस कोटि से स्वतंत्र है जिसमें अवकलज लागू होते हैं। $▽f$ के व्यंजक में सभी पद समाप्त हो जाते हैं, और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $▽f=0$ हैcurl⁡∇f=0." id="MathJax-Element-12-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">

• विचलन एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है लेकिन एक अदिश में परिणाम होता है।
• कर्ल एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है और एक सदिश क्षेत्र में परिणाम देता है।
• प्रवणता एक अदिश पर  संचालित होता है लेकिन परिणाम एक सदिश क्षेत्र में होता है ।
• कर्ल का विचलन, प्रवणता का कर्ल हमेशा शून्य होता है।
• इस प्रकार, कर्ल की प्रवणता कर्ल (जो एक सदिश क्षेत्र है) का परिणाम उस प्रवणता को संचालित करने के लिए देता है, जो गणितीय रूप से अमान्य अभिव्यक्ति है। 

अवधारणा:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overline{\mathrm{r}}=\nabla .\overrightarrow{\mathrm{r}}$

जहाँ ∇ = $\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\hat{\mathrm{i}}+\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\hat{\mathrm{j}}+\frac{\partial }{\partial \mathrm{z}}\hat{\mathrm{k}}$

गणना:

दिया हुआ: $\overline{\mathrm{r}}=\left(\mathrm{x}\overline{\mathrm{i}}+\mathrm{y}\overline{\mathrm{j}}+\mathrm{z}\overline{\mathrm{k}}\right)$

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overline{\mathrm{r}}=\nabla .\overrightarrow{\mathrm{r}}$

$=(\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\hat{\mathrm{i}}+\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\hat{\mathrm{j}}+\frac{\partial }{\partial \mathrm{z}}\hat{\mathrm{k}})\cdot \left(\mathrm{x}\overline{\mathrm{i}}+\mathrm{y}\overline{\mathrm{j}}+\mathrm{z}\overline{\mathrm{k}}\right)$

$=\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{z}}$

= 1 +1 + 1

= 3

संकल्पना:

लाप्लास ऑपरेटर n-आयामी यूक्लिडियन स्थान में एक द्वितीय कोटि अवकल ऑपरेटर है, जिसे विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है। (∇•) प्रवणता का (∇ ϕ) है। इस प्रकार यदि f एक दुगना अवकलनीय वास्तविक मान फलन है तो लाप्लासियन ϕ को ∇2ϕ द्वारा परिभाषित किया जाता है।

गणना​:

दिया गया:

= 2x 3 y 2 z 4

${\mathrm{\nabla }}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{{\partial }^{\mathbf{2}}}{\partial {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\frac{{\partial }^{\mathbf{2}}}{\partial {\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\frac{{\partial }^{\mathbf{2}}}{\partial {\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}$

ϕ के अदिश फलन पर उपरोक्त सूत्र को लागू करना,

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}$

$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}(6x^2{y}^2{z}^4)=12x{y}^2{z}^4$

$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(4x^{3}y{z}^4)=4x^3{z}^4$

$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}(8x^3{y}^2{z}^3)=24x^3{y}^2{z}^2$

∴ ${\mathrm{\nabla }}^{\mathbf{2}}\varphi \mathbf{=}\mathbf{12}{\mathbf{xy}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{z}}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{4}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}{\mathbf{z}}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{24}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}$

संकल्पना:

किसी सदिश क्षेत्र $\overrightarrow{A}$ के विचलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$Div=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\overrightarrow{A}$

नाबला ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}={\hat{a}}_x\frac{\partial }{\partial x}+{\hat{a}}_y\frac{\partial }{\partial y}+{\hat{a}}_z\frac{\partial }{\partial z}$

गणना:

$Div=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\overrightarrow{A}$

$=({\hat{a}}_x\frac{\partial }{\partial x}+{\hat{a}}_y\frac{\partial }{\partial y}+{\hat{a}}_z\frac{\partial }{\partial z}).(5x^2\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right){\hat{a}}_x)$

$=\frac{\partial }{\partial x}\left(5x^2\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)$

$=\left(10x\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)+5x^2\frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)$

x = 1 के लिए, हमें प्राप्त है:

$\mathrm{\nabla }.\overrightarrow{A}=10$

संकल्पना:

विचलन प्रमेय कहता है कि:

$\int \int ◯D.ds={\iiint }_V\left(\nabla .D\right)dV$

जहाँ ∇.D सदिश क्षेत्र D का अपसरण है।

आयताकार निर्देशांक में, विचलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}=\left(\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}\right)$

विश्‍लेषण:

$\mathrm{\nabla }\left(\mathrm{x}\mathrm{i}+\mathrm{y}\mathrm{j}+\mathrm{z}\mathrm{k}\right)$

$=\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\left(\mathrm{y}\right)+\frac{\partial }{\partial \mathrm{z}}\left(\mathrm{z}\right)=3$

• विचलन एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है लेकिन एक अदिश में परिणाम होता है।
• कर्ल एक सदिश क्षेत्र पर काम करता है और एक सदिश क्षेत्र में परिणाम देता है।
• प्रवणता एक अदिश पर कार्य करता है लेकिन परिणाम एक सदिश क्षेत्र में होता है।
• कर्ल का विचलन, प्रवणता का कर्ल हमेशा शून्य होता है।
• इस प्रकार, कर्ल का प्रवणता कर्ल (जो एक सदिश क्षेत्र है) का परिणाम उस प्रवणता को संचालित करने के लिए देता है, जो गणितीय रूप से अमान्य अभिव्यक्ति है।

स्पष्टीकरण :

यदि कोई सदिश बिंदु फलन F(x, y, z) = F1i + F2j + F3k स्थान के किसी क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित और अवकलनीय है तो F का अपसरण div F या ∇.F द्वारा निरूपित किया जाता है। निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है

div F = ∇.F = $\frac{\delta F_1}{\delta x}+\frac{\delta F_2}{\delta y}+\frac{\delta F_3}{\delta z}$ 

सोलेनोइडल सदिश: एक सदिश फलन F को सोलेनोइडल सदिश कहा जाता है यदि ∇.F = 0।

Additional Information

अघूर्णी सदिश: एक सदिश बिंदु फलन F एक अघूर्णी सदिश होना कहा जाता है, तो curl F = 0

curl F = ∇ × F = $\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\delta }{\delta x}& \frac{\delta }{\delta y}& \frac{\delta }{\delta z}\\ F_1& F_2& F_3\end{array}\right]$

अदिश विभव सदिश: यदि किसी दिए गए अघूर्णी सदिश F के लिए एक अदिश बिंदु फलन ϕ(x, y, z) मौजूद हो जैसे कि F = ∇ ϕ तो ϕ (x, y, z) को F का अदिश विभव फलन कहा जाता है।

संकल्पना:

दिए गए सदिश क्षेत्र का अपसरण निम्न है,

$div\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}\dots \left(1\right)$

गणना:

दिया है:

$\overrightarrow{F}=x^{2}z\hat{i}+xy\hat{j}-y{z}^2\hat{k}$

समीकरण (1) का उपयोग करने पर,

$\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=\left(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot \overrightarrow{F}$

$\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=2xz+x–2yz$

$\therefore div\overrightarrow{F}at\left(1,-1,1\right)=2+1+2=5$

व्याख्या:

यदि $f$ दोगुने सतत अवकलनीय है, तो इसके द्वितीय अवकलज उस कोटि से स्वतंत्र है जिसमें अवकलज लागू होते हैं। $▽f$ के व्यंजक में सभी पद समाप्त हो जाते हैं, और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $▽f=0$ हैcurl⁡∇f=0." id="MathJax-Element-12-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">

• विचलन एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है लेकिन एक अदिश में परिणाम होता है।
• कर्ल एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है और एक सदिश क्षेत्र में परिणाम देता है।
• प्रवणता एक अदिश पर  संचालित होता है लेकिन परिणाम एक सदिश क्षेत्र में होता है ।
• कर्ल का विचलन, प्रवणता का कर्ल हमेशा शून्य होता है।
• इस प्रकार, कर्ल की प्रवणता कर्ल (जो एक सदिश क्षेत्र है) का परिणाम उस प्रवणता को संचालित करने के लिए देता है, जो गणितीय रूप से अमान्य अभिव्यक्ति है। 

अवधारणा:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overline{\mathrm{r}}=\nabla .\overrightarrow{\mathrm{r}}$

जहाँ ∇ = $\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\hat{\mathrm{i}}+\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\hat{\mathrm{j}}+\frac{\partial }{\partial \mathrm{z}}\hat{\mathrm{k}}$

गणना:

दिया हुआ: $\overline{\mathrm{r}}=\left(\mathrm{x}\overline{\mathrm{i}}+\mathrm{y}\overline{\mathrm{j}}+\mathrm{z}\overline{\mathrm{k}}\right)$

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overline{\mathrm{r}}=\nabla .\overrightarrow{\mathrm{r}}$

$=(\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\hat{\mathrm{i}}+\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\hat{\mathrm{j}}+\frac{\partial }{\partial \mathrm{z}}\hat{\mathrm{k}})\cdot \left(\mathrm{x}\overline{\mathrm{i}}+\mathrm{y}\overline{\mathrm{j}}+\mathrm{z}\overline{\mathrm{k}}\right)$

$=\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{z}}$

= 1 +1 + 1

= 3