Green's Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Green's Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

ग्रीन प्रमेय: माना C तल में एक धनात्मक रूप से उन्मुख, खंडशः मृदु, सरल बंद वक्र है और D, C द्वारा परिबद्ध क्षेत्र है। यदि P(x,y) और Q(x,y) का एक विवृत क्षेत्र पर सतत प्रथम खंडशः अवकलज है, जिसमें D शामिल है, तब ${\oint }_C(\mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{Q}\mathrm{d}\mathrm{y})=\int {\int }_{\mathrm{D}}(\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \mathrm{y}})\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

स्पष्टीकरण:

∫c[(x2015 y2016 + 2014y) dx + (x2016 y2015 + 2017x) dy]

ग्रीन प्रमेय का प्रयोग करने पर,

∫ ∫_c (2016 x²⁰¹⁵ y²⁰¹⁵+ 2017 - 2016 x2015 y2015 -2014) dx dy

= 3 ∫ ∫_c ds 

= 3 × वृत्त का क्षेत्रफल

= 3π 

Concept:

Green's Theorem:

Green's Theorem relates a line integral around a simple closed curve C to a double integral over the plane region D bounded by C The theorem states:

${\oint }_C(Pdx+Qdy)={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dA$

Calculations:

the area enclosed by C, we can use a specific form of Green's Theorem. Consider the vector field (P, Q) =(x/2. y/2). Applying Green's Theorem to this vector field gives us:

${\oint }_C(-\frac{y}{2}dx+\frac{x}{2}dy)={\iint }_D(\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{y}{2}))dA$

Calculating the partial derivatives, we get:

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}$

$\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{y}{2})=-\frac{1}{2}$

So, the integrand becomes:

${\iint }_D(\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2}))dA={\iint }_D(1)dA={\iint }_{D}dA$

The right-hand side is simply the area of D. Therefore, the left-hand side gives us the area enclosed by C

${\oint }_C(-\frac{y}{2}dx+\frac{x}{2}dy)=\text{Area}(D)$

Multiplying through by 2, we get:

${\oint }_C(-ydx+xdy)=2\cdot \text{Area}(D)$

Thus, the area A enclosed by C is:

$A=\frac{1}{2}{\oint }_C(xdy-ydx)$

Conclusion:

Therefore, the correct formula for the area of the region enclosed by a simple closed curve C is:

$A=\frac{1}{2}{\oint }_C(xdy-ydx)$

Among the given options, the correct answer is: 2

स्पष्टीकरण:

ग्रीन का प्रमेय:

यह एक सरल बंद वक्र C के चारों ओर एक रेखा समाकल और C से परिबद्ध समतल क्षेत्र D पर दोहरा समाकल के बीच संबंध देता है।

माना कि R, xy समतल में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र है जिसकी सीमा C में परिमित रूप से बहुत से सुचारू वक्र होते हैं।

माना कि F₁ (x, y) और F₂ (x, y) ऐसे फलन हैं जो निरंतर होते हैं और जिनके निरंतर आंशिक अवकलज होते हैं:

$\frac{\partial F_1}{\partial y}$ और $\frac{\partial F_2}{\partial x}$ । फिर

ग्रीन के प्रमेय के अनुसार

$\oint \left(F_{1}dx+F_{2}dy\right)=\int \underset{R}{\overset{}{\int }}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)dxdy$

स्टोक का प्रमेय:

स्टोक्स का प्रमेय: यह बताता है कि एक (बंद) पथ L के चारों ओर एक सदिश क्षेत्र $\overrightarrow{A}$ का परिसंचरण प्रदान किए गए L से परिबद्ध खुली सतह S के ऊपर $\overrightarrow{A}$के कर्ल के सतह समाकल के बराबर है और $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$, S पर निरंतर है।

$\underset{L}{\oint }\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}=\underset{S}{\int }\left(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}\right)\cdot d\overrightarrow{S}$

ग्रीन का प्रमेय स्टोक्स के प्रमेय का द्वि-आयामी विशेष मामला है ।

अवधारणा:

ग्रीन प्रमेय:-  यदि दो फलन M(x, y) और N(x, y) और उनके आंशिक अवकलज एकल मान हैं और एक बंद वक्र C से परिबद्ध क्षेत्र R पर संतत हैं, तो

$\oint (Mdx+Ndy)=\int {\int }_R(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy$

ग्रीन प्रमेय एक बंद वक्र C के चारों ओर एक रेखा समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोगी है।

गणना:

हमारे पास है,

⇒ $\underset{\mathrm{C}}{\oint }[(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}-\mathrm{x}\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{y}]$

तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ M = cos x sin y - x y

⇒ N = sin x cos y

M को आंशिक रूप से 'y' के सापेक्ष अवकलित करने पर

⇒ $\frac{\partial M}{\partial y}=cosxcosy-x$

N को आंशिक रूप से 'x' के सापेक्ष अवकलित करने पर

⇒ $\frac{\partial N}{\partial x}=cosxcosy$

⇒ $\int {\int }_s[(cosxcosy)-(cosxcosy-x)]dxdy$

⇒ $\int {\int }_{s}xdxdy$ 

⇒ ${\displaystyle {\int }_{x=-1}^1{\int }_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}xdxdy}$

⇒ ${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x{\displaystyle {\left[y\right]}_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dx}}$

⇒ ${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}xdx[\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2}]}$

⇒ $2{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx}$

⇒ माना 1 - x² = t

⇒ अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ - 2x dx = dt

⇒ x dx = $-\frac{dt}{2}$

जब x = -1

⇒ 1 - 1 = 0 = t

जब x = 1

⇒ 1 - 1 = 0 = t

⇒ $2{\displaystyle {\int }_{-0}^0-\sqrt{t}\frac{dt}{2}}$

⇒ 2 × 0

⇒ 0

∴ यदि C एक वृत्त x2 + y2 = 1 है, तो $\underset{\mathrm{C}}{\oint }[(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}-\mathrm{x}\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{y}]$ का मान 0 है। 

गणना:

इस विशेष स्थिति में, ध्रुवीय निर्देशांक में ग्रीन प्रमेय को लागू करना अधिक आसान है। मूलबिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 2 के धनात्मक उन्मुख वृत्त के चारों ओर वक्र से परिबद्ध क्षेत्र D पर दोहरे समाकलन की रेखा की समानता इस प्रकार है:

∮CP dx + Q dy = ∫∫D (dQ/dx - dP/dy) dA

हमें पहले dQ/dx और dP/dy की गणना करने की आवश्यकता है:

dQ/dx = d(-x3)/dx = -3x2 dP/dy = d(y3)/dy = 3y2

फिर, dQ/dx - dP/dy = -3x² - 3y²

ध्रुवीय निर्देशांक में, x = rcos(θ) और y = rsin(θ), और ध्रुवीय निर्देशांक में क्षेत्र तत्व dA, r dr dθ है।

इनके साथ x और y को प्रतिस्थापित करने और सरलीकरण करने पर प्राप्त होता है:

dQ/dx - dP/dy = -3r2(cos2(θ) + sin2(θ)) = -3r2

इसलिए, ग्रीन के प्रमेय के अनुसार, रेखा समाकलन ∮CP dx + Q dy दोहरे समाकलन के बराबर है। 

∫(0 से 2π तक) ∫(0 से 2 तक) -3r²  × r dr dθ.

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इस दोहरे समाकलन की गणना करते हैं। 

= ∫ (0 से 2π तक) [(-3/4 × r⁴) 0 से 2 तक] dθ = ∫ (0 से 2π तक) (-3/4 × 16) dθ = -12 × ∫ (0 से 2π तक) dθ = -12 × [θ, 0 से 2π तक] = -12 × 2π = -24π

दिए गए वृत्त के चारों ओर धनात्मक दिशा में ∮C y3 dx - x3 dy का मान -24π है।

स्पष्टीकरण:

ग्रीन का प्रमेय

• रेखा समाकल को एक दोहरे समाकल में परिवर्तित करता है।
• ग्रीन का प्रमेय xy - समतल में रेखा समाकल को समान xy - समतल में सतह समाकल में रूपांतरित करता है

यदि M और N एक खुले क्षेत्र में परिभाषित किए गए (x, y) के कार्य हैं तो ग्रीन के प्रमेय से

$\oint \left(\mathrm{M}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{N}\mathrm{d}\mathrm{y}\right)=\int \int \left(\frac{\partial \mathrm{N}}{\partial \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{M}}{\partial \mathrm{y}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

Additional Information

स्टोक्स प्रमेय:

$\oint \overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}$ = $\iint \left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}\right).d\overrightarrow{s}$

गॉस अपसरण प्रमेय:

$\oint A.ds=\iiint (\mathrm{\nabla }.A)dv$

$\oint \overrightarrow{F.}\hat{n}ds=\iiint (\mathrm{\nabla }.F)dv$

संकल्पना:

यदि M (x, y), N (x, y), $\frac{\partial M}{\partial x}$ और $\frac{\partial M}{\partial x}$ x-y समतल में साधारण बंद वक्र c द्वारा परिबद्ध क्षेत्र R पर निरंतर फलन हैं, फिर इस प्रमेय के अनुसार:

${\oint }_c^{}(Mdx+Ndy)={\iint }_R^{}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy$

इसका उपयोग सदिश समाकलन को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

यह बंद रेखा और खुली सतह समाकलन के बीच संबंध देता है।

गणना:

दिया हुआ:

$\underset{C}{\int }\left(xydy-y^{2}dx\right)$

मानक समीकरण Mdx + Ndy के साथ तुलना करके M = -y ² और N = xy।

$\therefore \frac{\partial M}{\partial y}=-2yand\frac{\partial N}{\partial x}=y$

${\oint }_c^{}(Mdx+Ndy)={\iint }_R^{}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy$

$\therefore \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=y-(-2y)\Rightarrow 3y$

$\therefore {\iint }_R^{}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy$

$\therefore {\int }_{x=0}^{x=1}{\int }_{y=0}^{y=1}3ydxdy$

$\therefore {\int }_{x=0}^{x=1}\frac{3}{2}[y^2{]}_0^{1}dx$

$\therefore \frac{3}{2}{\int }_{x=0}^{x=1}dx$

$\therefore \frac{3}{2}[1{]}_0^1$

$\therefore \frac{3}{2}$

संकल्पना:

ग्रीन की प्रमेय

यदि "R" 1 या अधिक सरल वक्र 'C' और M(x, y), से संबद्ध xy तल का एक बंद क्षेत्र है और N(x, y) एक क्षेत्र "R" में संतत फलन हैं, तो हमें प्राप्त है, $\underset{C}{\overset{}{\oint }}Mdx+Ndy=\int \underset{R}{\overset{}{\int }}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)$

गणना:

दिया गया सदिश है:

$\overrightarrow{A}=xy\widehat{a_x}+x^2\widehat{a_y}$

$\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}=xydx+x^{2}dy$

जहाँ $d\overrightarrow{l}=dx\widehat{a_x}+dy\widehat{a_y}+dz\widehat{a_z}$

ग्रीन की प्रमेय का उपयोग करने पर,

$\underset{C}{\overset{}{\oint }}Mdx+Ndy=\int \underset{R}{\overset{}{\int }}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dxdy$

$=\underset{x=\frac{1}{\sqrt{3}}}{\overset{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\int }}\underset{y=1}{\overset{3}{\int }}\left(2x-x\right)dydx$

$=\underset{x=\frac{1}{\sqrt{3}}}{\overset{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\int }}2xdx$

$={\frac{x^2}{2}2|}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}$

$=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}$

= 1

अवधारणा:

ग्रीन प्रमेय:-  यदि दो फलन M(x, y) और N(x, y) और उनके आंशिक अवकलज एकल मान हैं और एक बंद वक्र C से परिबद्ध क्षेत्र R पर संतत हैं, तो

$\oint (Mdx+Ndy)=\int {\int }_R(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy$

ग्रीन प्रमेय एक बंद वक्र C के चारों ओर एक रेखा समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोगी है।

गणना:

हमारे पास है,

⇒ $\underset{\mathrm{C}}{\oint }[(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}-\mathrm{x}\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{y}]$

तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ M = cos x sin y - x y

⇒ N = sin x cos y

M को आंशिक रूप से 'y' के सापेक्ष अवकलित करने पर

⇒ $\frac{\partial M}{\partial y}=cosxcosy-x$

N को आंशिक रूप से 'x' के सापेक्ष अवकलित करने पर

⇒ $\frac{\partial N}{\partial x}=cosxcosy$

⇒ $\int {\int }_s[(cosxcosy)-(cosxcosy-x)]dxdy$

⇒ $\int {\int }_{s}xdxdy$ 

⇒ ${\displaystyle {\int }_{x=-1}^1{\int }_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}xdxdy}$

⇒ ${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x{\displaystyle {\left[y\right]}_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dx}}$

⇒ ${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}xdx[\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2}]}$

⇒ $2{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx}$

⇒ माना 1 - x² = t

⇒ अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ - 2x dx = dt

⇒ x dx = $-\frac{dt}{2}$

जब x = -1

⇒ 1 - 1 = 0 = t

जब x = 1

⇒ 1 - 1 = 0 = t

⇒ $2{\displaystyle {\int }_{-0}^0-\sqrt{t}\frac{dt}{2}}$

⇒ 2 × 0

⇒ 0

∴ यदि C एक वृत्त x2 + y2 = 1 है, तो $\underset{\mathrm{C}}{\oint }[(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}-\mathrm{x}\mathrm{y})\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{y}]$ का मान 0 है। 

ग्रीन का प्रमेय:

$\oint \left(\mathrm{M}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{N}\mathrm{d}\mathrm{y}\right)=\int \int \left(\frac{\partial \mathrm{N}}{\partial \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{M}}{\partial \mathrm{y}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

स्टोक्स प्रमेय:

$\oint \overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}$ = $\iint \left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}\right).d\overrightarrow{s}$

गॉस अपसरण प्रमेय:

$\oint A.ds=\iiint (\mathrm{\nabla }.A)dv$

$\oint \overrightarrow{F.}\hat{n}ds=\iiint (\mathrm{\nabla }.F)dv$

स्पष्टीकरण:

ग्रीन का प्रमेय

• रेखा समाकल को एक दोहरे समाकल में परिवर्तित करता है।
• ग्रीन का प्रमेय xy - समतल में रेखा समाकल को समान xy - समतल में सतह समाकल में रूपांतरित करता है

यदि M और N एक खुले क्षेत्र में परिभाषित किए गए (x, y) के कार्य हैं तो ग्रीन के प्रमेय से

$\oint \left(\mathrm{M}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{N}\mathrm{d}\mathrm{y}\right)=\int \int \left(\frac{\partial \mathrm{N}}{\partial \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{M}}{\partial \mathrm{y}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

Additional Information

स्टोक्स प्रमेय:

$\oint \overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}$ = $\iint \left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}\right).d\overrightarrow{s}$

गॉस अपसरण प्रमेय:

$\oint A.ds=\iiint (\mathrm{\nabla }.A)dv$

$\oint \overrightarrow{F.}\hat{n}ds=\iiint (\mathrm{\nabla }.F)dv$

स्पष्टीकरण:

ग्रीन का प्रमेय:

यह एक सरल बंद वक्र C के चारों ओर एक रेखा समाकल और C से परिबद्ध समतल क्षेत्र D पर दोहरा समाकल के बीच संबंध देता है।

माना कि R, xy समतल में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र है जिसकी सीमा C में परिमित रूप से बहुत से सुचारू वक्र होते हैं।

माना कि F₁ (x, y) और F₂ (x, y) ऐसे फलन हैं जो निरंतर होते हैं और जिनके निरंतर आंशिक अवकलज होते हैं:

$\frac{\partial F_1}{\partial y}$ और $\frac{\partial F_2}{\partial x}$ । फिर

ग्रीन के प्रमेय के अनुसार

$\oint \left(F_{1}dx+F_{2}dy\right)=\int \underset{R}{\overset{}{\int }}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)dxdy$

स्टोक का प्रमेय:

स्टोक्स का प्रमेय: यह बताता है कि एक (बंद) पथ L के चारों ओर एक सदिश क्षेत्र $\overrightarrow{A}$ का परिसंचरण प्रदान किए गए L से परिबद्ध खुली सतह S के ऊपर $\overrightarrow{A}$के कर्ल के सतह समाकल के बराबर है और $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$, S पर निरंतर है।

$\underset{L}{\oint }\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}=\underset{S}{\int }\left(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}\right)\cdot d\overrightarrow{S}$

ग्रीन का प्रमेय स्टोक्स के प्रमेय का द्वि-आयामी विशेष मामला है ।

व्याख्या:

ग्रीन की प्रमेय एक क्षेत्र पर द्विशः समाकल को क्षेत्र की परिसीमा के चारों ओर एक रेखा समाकल से जोड़ता है।

विशेष रूप से, यह एक फ्लक्स द्विशः समाकल को एक परिसंचरण रेखा समाकल से संबंधित करता है या एक परिसंचरण द्विशः समाकल को एक फ्लक्स रेखा समाकल से जोड़ता है।

यह सदिश कलन में एक मौलिक प्रमेय है और समतल में रेखा समाकल के लिए कलन के मौलिक प्रमेय के उच्च विमीय रूपांतरण के रूप में कार्य करता है।

संकल्पना:

यदि M (x, y), N (x, y), $\frac{\partial M}{\partial x}$ और $\frac{\partial M}{\partial x}$ x-y समतल में साधारण बंद वक्र c द्वारा परिबद्ध क्षेत्र R पर निरंतर फलन हैं, फिर इस प्रमेय के अनुसार:

${\oint }_c^{}(Mdx+Ndy)={\iint }_R^{}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy$

इसका उपयोग सदिश समाकलन को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

यह बंद रेखा और खुली सतह समाकलन के बीच संबंध देता है।

गणना:

दिया हुआ:

$\underset{C}{\int }\left(xydy-y^{2}dx\right)$

मानक समीकरण Mdx + Ndy के साथ तुलना करके M = -y ² और N = xy।

$\therefore \frac{\partial M}{\partial y}=-2yand\frac{\partial N}{\partial x}=y$

${\oint }_c^{}(Mdx+Ndy)={\iint }_R^{}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy$

$\therefore \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=y-(-2y)\Rightarrow 3y$

$\therefore {\iint }_R^{}(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y})dxdy$

$\therefore {\int }_{x=0}^{x=1}{\int }_{y=0}^{y=1}3ydxdy$

$\therefore {\int }_{x=0}^{x=1}\frac{3}{2}[y^2{]}_0^{1}dx$

$\therefore \frac{3}{2}{\int }_{x=0}^{x=1}dx$

$\therefore \frac{3}{2}[1{]}_0^1$

$\therefore \frac{3}{2}$

संकल्पना:

ग्रीन की प्रमेय

यदि "R" 1 या अधिक सरल वक्र 'C' और M(x, y), से संबद्ध xy तल का एक बंद क्षेत्र है और N(x, y) एक क्षेत्र "R" में संतत फलन हैं, तो हमें प्राप्त है, $\underset{C}{\overset{}{\oint }}Mdx+Ndy=\int \underset{R}{\overset{}{\int }}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)$

गणना:

दिया गया सदिश है:

$\overrightarrow{A}=xy\widehat{a_x}+x^2\widehat{a_y}$

$\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}=xydx+x^{2}dy$

जहाँ $d\overrightarrow{l}=dx\widehat{a_x}+dy\widehat{a_y}+dz\widehat{a_z}$

ग्रीन की प्रमेय का उपयोग करने पर,

$\underset{C}{\overset{}{\oint }}Mdx+Ndy=\int \underset{R}{\overset{}{\int }}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)dxdy$

$=\underset{x=\frac{1}{\sqrt{3}}}{\overset{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\int }}\underset{y=1}{\overset{3}{\int }}\left(2x-x\right)dydx$

$=\underset{x=\frac{1}{\sqrt{3}}}{\overset{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\int }}2xdx$

$={\frac{x^2}{2}2|}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}$

$=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}$

= 1