Divergence Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Divergence Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 15, 2025
Latest Divergence Theorem MCQ Objective Questions
Divergence Theorem Question 1:
यदि \(\rm \vec H=x\hat i+2y\hat j+3z\hat k\) हो, तो \(\rm \iint_x\vec H.\hat ndS\) बराबर है (जहाँ S के द्वारा परिबद्ध आयतन A है) -
Answer (Detailed Solution Below)
Divergence Theorem Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
\(\rm \vec H=x\hat i+2y\hat j+3z\hat k\)
\(\nabla\cdot\vec H=({\partial \over \partial x}i+{\partial \over \partial y}j+{\partial \over \partial z}k)\cdot(xi+2yj+3zk)\)
= \({\partial \over \partial x}(x)+{\partial \over \partial y}(2y)+{\partial \over \partial z}(3z)\)
= 1 + 2 + 3 = 6
इसलिए, \(\rm \iint_x\vec H.\hat ndS\) = \(\int\int\int_A\nabla\cdot\vec HdA\)
= \(\int\int\int_A6dA\)
= 6A
विकल्प (2) सही है।
Divergence Theorem Question 2:
एक सदिश क्षेत्र बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली (s, ϕ, z) में इस प्रकार व्यक्त किया गया है,
\(\vec{F}=\frac{A}{s} \hat{s}+\frac{B}{s} \hat{z}\).
यदि यह क्षेत्र एक स्थिर वैद्युत क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, तो A और B के संभावित मान क्रमशः हैं:
Answer (Detailed Solution Below)
Divergence Theorem Question 2 Detailed Solution
सिद्धांत:
स्थिर वैद्युत क्षेत्र में यह गुण होता है कि इसका कर्ल शून्य होता है।
बेलनाकार निर्देशांकों में कर्ल इस प्रकार दिया गया है:
\(\vec \nabla \times \vec F=\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \hat r & r \hat \phi & \hat z \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_r & rF_{\phi} & F_z \end{pmatrix}\)
दिया गया है:
\(\vec{F}=\frac{A}{s} \hat{s}+\frac{B}{s} \hat{z}\)
\(\vec \nabla \times \vec F=\frac{1}{s}\begin{pmatrix} \hat s & s \hat \phi & \hat z \\ \frac{\partial}{\partial s} & \frac{\partial }{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{A}{s} & 0 & \frac{B}{s} \end{pmatrix} \\ \quad =\frac{1}{s}[0\cdot \hat s-(\frac{-B}{s^2}-0) s\hat \phi + 0 \cdot \hat z] \\ \quad = \frac{B}{s^2} \hat \phi\)
सदिश क्षेत्र F के स्थिर वैद्युत होने के लिए
\(\vec \nabla \times \vec {F}=0 \\ \Rightarrow \frac{B}{s^2}\hat \phi =0 \\ \Rightarrow B=0\)
B का मान शून्य होना चाहिए। A का मान कुछ भी हो सकता है।
सही विकल्प (1) है: A=1 और B=0.
Divergence Theorem Question 3:
सदिश क्षेत्र \(\vec u = {e^x}\left( {\cos y\hat i + \sin y\hat j} \right)\) का अपसरण ________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Divergence Theorem Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
किसी भी सदिश क्षेत्र \(\vec A\) का अपसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
\(Div= \vec \nabla .\vec A\)
नाबला प्रचालक को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है:
\(\vec \nabla ={\hat i\frac{\partial }{{\partial x}} + \hat j\frac{\partial }{{\partial y}}}+\hat k\frac{\partial }{\partial z}\)
गणना:
दिया हुआ है कि:
सदिश \(\vec u = {e^x}\left( {\cos y\hat i + \sin y\hat j} \right)\)
u का अपसरण निम्न होगा
\(Div = \vec \nabla .\vec u\)
\(= \left( {i\frac{\partial }{{\partial x}} + j\frac{\partial }{{\partial y}}} \right).\left( {{e^x}.\cos y\hat i + {e^x}.{\rm{siny}}\hat j} \right)\)
\( = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{e^x}.\cos y} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{e^x}.\sin y} \right)\)
\( = {e^x}.\cos y + {e^x}.\cos y\)
\(\vec \nabla .\vec u = 2{e^x}\cos y\)
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सदिश क्षेत्र \(\vec u = {e^x}\left( {\cos y\hat i + \sin y\hat j} \right)\) का अपसरण ________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Divergence Theorem Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
किसी भी सदिश क्षेत्र \(\vec A\) का अपसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
\(Div= \vec \nabla .\vec A\)
नाबला प्रचालक को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है:
\(\vec \nabla ={\hat i\frac{\partial }{{\partial x}} + \hat j\frac{\partial }{{\partial y}}}+\hat k\frac{\partial }{\partial z}\)
गणना:
दिया हुआ है कि:
सदिश \(\vec u = {e^x}\left( {\cos y\hat i + \sin y\hat j} \right)\)
u का अपसरण निम्न होगा
\(Div = \vec \nabla .\vec u\)
\(= \left( {i\frac{\partial }{{\partial x}} + j\frac{\partial }{{\partial y}}} \right).\left( {{e^x}.\cos y\hat i + {e^x}.{\rm{siny}}\hat j} \right)\)
\( = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{e^x}.\cos y} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{e^x}.\sin y} \right)\)
\( = {e^x}.\cos y + {e^x}.\cos y\)
\(\vec \nabla .\vec u = 2{e^x}\cos y\)
Divergence Theorem Question 5:
सदिश क्षेत्र \(\vec u = {e^x}\left( {\cos y\hat i + \sin y\hat j} \right)\) का अपसरण ________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Divergence Theorem Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
किसी भी सदिश क्षेत्र \(\vec A\) का अपसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
\(Div= \vec \nabla .\vec A\)
नाबला प्रचालक को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है:
\(\vec \nabla ={\hat i\frac{\partial }{{\partial x}} + \hat j\frac{\partial }{{\partial y}}}+\hat k\frac{\partial }{\partial z}\)
गणना:
दिया हुआ है कि:
सदिश \(\vec u = {e^x}\left( {\cos y\hat i + \sin y\hat j} \right)\)
u का अपसरण निम्न होगा
\(Div = \vec \nabla .\vec u\)
\(= \left( {i\frac{\partial }{{\partial x}} + j\frac{\partial }{{\partial y}}} \right).\left( {{e^x}.\cos y\hat i + {e^x}.{\rm{siny}}\hat j} \right)\)
\( = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{e^x}.\cos y} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{e^x}.\sin y} \right)\)
\( = {e^x}.\cos y + {e^x}.\cos y\)
\(\vec \nabla .\vec u = 2{e^x}\cos y\)
Divergence Theorem Question 6:
यदि \(\rm \vec H=x\hat i+2y\hat j+3z\hat k\) हो, तो \(\rm \iint_x\vec H.\hat ndS\) बराबर है (जहाँ S के द्वारा परिबद्ध आयतन A है) -
Answer (Detailed Solution Below)
Divergence Theorem Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
\(\rm \vec H=x\hat i+2y\hat j+3z\hat k\)
\(\nabla\cdot\vec H=({\partial \over \partial x}i+{\partial \over \partial y}j+{\partial \over \partial z}k)\cdot(xi+2yj+3zk)\)
= \({\partial \over \partial x}(x)+{\partial \over \partial y}(2y)+{\partial \over \partial z}(3z)\)
= 1 + 2 + 3 = 6
इसलिए, \(\rm \iint_x\vec H.\hat ndS\) = \(\int\int\int_A\nabla\cdot\vec HdA\)
= \(\int\int\int_A6dA\)
= 6A
विकल्प (2) सही है।
Divergence Theorem Question 7:
एक सदिश क्षेत्र बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली (s, ϕ, z) में इस प्रकार व्यक्त किया गया है,
\(\vec{F}=\frac{A}{s} \hat{s}+\frac{B}{s} \hat{z}\).
यदि यह क्षेत्र एक स्थिर वैद्युत क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, तो A और B के संभावित मान क्रमशः हैं:
Answer (Detailed Solution Below)
Divergence Theorem Question 7 Detailed Solution
सिद्धांत:
स्थिर वैद्युत क्षेत्र में यह गुण होता है कि इसका कर्ल शून्य होता है।
बेलनाकार निर्देशांकों में कर्ल इस प्रकार दिया गया है:
\(\vec \nabla \times \vec F=\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \hat r & r \hat \phi & \hat z \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_r & rF_{\phi} & F_z \end{pmatrix}\)
दिया गया है:
\(\vec{F}=\frac{A}{s} \hat{s}+\frac{B}{s} \hat{z}\)
\(\vec \nabla \times \vec F=\frac{1}{s}\begin{pmatrix} \hat s & s \hat \phi & \hat z \\ \frac{\partial}{\partial s} & \frac{\partial }{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{A}{s} & 0 & \frac{B}{s} \end{pmatrix} \\ \quad =\frac{1}{s}[0\cdot \hat s-(\frac{-B}{s^2}-0) s\hat \phi + 0 \cdot \hat z] \\ \quad = \frac{B}{s^2} \hat \phi\)
सदिश क्षेत्र F के स्थिर वैद्युत होने के लिए
\(\vec \nabla \times \vec {F}=0 \\ \Rightarrow \frac{B}{s^2}\hat \phi =0 \\ \Rightarrow B=0\)
B का मान शून्य होना चाहिए। A का मान कुछ भी हो सकता है।
सही विकल्प (1) है: A=1 और B=0.