Curl MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Curl - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

v . curl v = v . ∇ x v = [v ∇ v] = 0

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

\(\rm\vec a\) एक अवकलनीय सदिश बिंदु फलन है और u एक अवकलनीय अदिश बिंदु फलन है।

\(\rm \nabla× (u\vec a)\)

= curl × \((u\vec a)\)

= \(\rm (\nabla u)\times \vec a +u(\nabla \times \vec a)\)

अतः विकल्प (1) सही है।

स्पष्टीकरण:

⇒   चूँकि \(\mathbf{F} \) अघूर्णी है, इसलिए हमारे पास \(\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \) है,

\(\mathbf{F} \) का कर्ल निम्न द्वारा दिया गया है:

⇒ \(\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\)

⇒ जहाँ P = x + 2y + az, Q = bx - 3y - z, R = 4x + cy + 2z.

⇒ \(\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x + 2y + az & bx - 3y - z & 4x + cy + 2z \end{vmatrix}\)

⇒ सारणिक का विस्तार करने पर,

⇒ \(\nabla \times \mathbf{F} = \hat{i} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ bx - 3y - z & 4x + cy + 2z \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x + 2y + az & 4x + cy + 2z \end{vmatrix} \) \(+ \hat{k} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ x + 2y + az & bx - 3y - z \end{vmatrix}\)

⇒ \( \nabla \times \mathbf{F} = (c + 1) \hat{i} - (4 - a) \hat{j} + (b - 2) \hat{k} \)

चूँकि \(\mathbf{F} \) अघूर्णी है,

c + 1 = 0,  4 - a = 0,  b - 2 = 0 

⇒\(c = -1, \quad a = 4, \quad b = 2\)

⇒\(a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 + 2^2 + (-1)^2 = 16 + 4 + 1 = 21\)

अतः विकल्प 4 सही है। 

यदि  \(\vec{r}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}+z \vec{k}\) और \(\vec{a}=a_1 \vec{\imath}+a_2 \vec{\jmath}+a_3 \vec{k}\) तब \(\vec{r} \times \vec{a}=\begin{bmatrix} ​​​​\hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ {x} & {y} & {z} \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix} \)

स्पष्टीकरण:

\(\vec{r}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}+z \vec{k}\) और \(\vec{a}=a_1 \vec{\imath}+a_2 \vec{\jmath}+a_3 \vec{k}\)

तब \(\vec{r} \times \vec{a}=\begin{bmatrix} ​​​​\hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ {x} & {y} & {z} \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix} \)

= \(\rm \hat{\mathbf{i}}(a_3y-a_2z)-\hat{\mathbf{j}}(a_3x-a_1z)+\hat{\mathbf{k}}(a_2x-a_1y)\)

अब, \(\nabla \times(\vec{r} \times \vec{a})=​​\)\(\begin{bmatrix} ​​​​\hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ (a_3y-a_2z) & (a_1z-a_3x) & (a _2x-a_1y) \end{bmatrix} \)

⇒ \(\nabla \times(\vec{r} \times \vec{a})=​​(-a_1-a_1)\hat{\mathbf{i}}-(a_2+a_2)\hat{\mathbf{j}}+(-a_3-a_3)\hat{\mathbf{k}}\)

⇒ \(\nabla \times(\vec{r} \times \vec{a})=​​-2a_1\hat{\mathbf{i}}-2a_2\hat{\mathbf{j}}+-2a_3\hat{\mathbf{k}}\)

⇒ \(\nabla \times(\vec{r} \times \vec{a})=​​-2a\)

चूँकि दिया गया है \(\nabla \times(\vec{r} \times \vec{a})=m \vec{a}\)

⇒ m= -2

संकल्पना:

एक सदिश का कर्ल निम्नलिखित आव्यूह के विस्तार द्वारा दिया जाता है

अगर \(\vec{f}={{f}_{1}}\hat{i}+{{f}_{2}}\hat{j}+{{f}_{3}}\hat{k}\)

फिर

\(\nabla \times ~\vec{f}=\left| \begin{matrix} {\hat{i}} & {\hat{j}} & \hat{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ {{f}_{1}} & {{f}_{2}} & {{f}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

गणना​:

दिया गया सदिश है

\(~\vec{u}=yz~\hat{i}+3zx~\hat{j}+z~\hat{k}\)

तो \(\nabla \times ~\vec{u}=\left| \begin{matrix} {\hat{i}} & {\hat{j}} & {\hat{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ yz & 3zx & z \\ \end{matrix} \right|\)

\(\nabla \times ~\vec{u}=\hat{i}\left( \frac{\partial (z)}{\partial y}-\frac{\partial (3zx)}{\partial z} \right)-\hat{j}\left( \frac{\partial (z)}{\partial x}-\frac{\partial (yz)}{\partial z} \right)+~\hat{k}\left( \frac{\partial (3zx)}{\partial x}-\frac{\partial( yz)}{\partial y} \right)\)

दिया गया है कि, \(\vec A = \vec \nabla u\)

\(\left| {\vec \Delta \times \vec A} \right| = curl\left( {\vec A} \right)\)

\(= curl\left( {\vec \nabla {\rm{u}}} \right)\)

हम जानते हैं कि किसी भी अदिश फलन 'f' के लिए

\(curl\;\left( {\vec \nabla {\rm{f}}} \right) = 0\)

अपसरण (प्रवणता ϕ) = \(\vec{\nabla }\cdot \left( \vec{\nabla }\phi \right)=\left( \vec{\nabla }\cdot \vec{\nabla } \right)\cdot \phi ~={{\nabla }^{2}}\phi\)

माना ϕ (x, y, z) का फलन है

तब प्रवणता \(\left( \phi \right)=i\frac{\partial \phi }{\partial x}+j\frac{\partial \phi }{\partial y}+k\frac{\partial \phi }{\partial z}\)

अपसरण (प्रवणता ϕ) \(=\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\phi }{\partial {{z}^{2}}}\)

संकल्पना:

एक सदिश का कर्ल:

माना कि \(\rm \vec{v} = v_1 \rm \vec{i} + v_2 \rm \vec{j}+ v_3 \rm \vec{k}\)  है। 

तो सदिश फलन v का कर्ल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm curl \rm \;\vec v =∇ \times {\rm{\;\vec v\;}}=\begin{vmatrix} \rm \vec i & \rm \vec j & \rm \vec k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \rm v_1 & \rm v_2 & \rm v_3 \end{vmatrix}\)

जहाँ ∇ = \(\rm \frac{{\partial }}{{\partial x}} \hat{i}+ \frac{{\partial }}{{\partial y }} \hat{j} +\frac{{\partial }}{{\partial z }} \hat{k}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \vec v\) = yz î + 3xz ĵ + z k̂

\(\rm curl \rm \;\vec v =∇ \times {\rm{\;\vec v\;}}=\begin{vmatrix} \rm \vec i & \rm \vec j & \rm \vec k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \rm yz & \rm 3xz & \rm z \end{vmatrix}\)

\(= \rm \vec i (\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial (3xz)}{\partial z})-\rm \vec j (\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial (yz)}{\partial z})+\rm \vec k (\frac{\partial (3xz)}{\partial x} - \frac{\partial (yz)}{\partial y})\)

\(= \rm \vec i (0-3x)- \rm \vec j (0-y)+\rm \vec k (3z-z)\\= -3x\rm \vec i +y \rm \vec j +2z\rm \vec k \)

संकल्पना:

माना कि ϕ, (x, y, z) का एक फलन है।

तो grad \(\left( ϕ \right)=\hat{i}\frac{\partial ϕ }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial ϕ }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial ϕ }{\partial z}\)

कर्ल (grad (ϕ)) \(=\left| \begin{matrix} {\hat{i}} & {\hat{j}} & {\hat{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{\partial ϕ }{\partial x} & \frac{\partial ϕ }{\partial y} & \frac{\partial ϕ }{\partial z} \\ \end{matrix} \right|\)

कर्ल (grad (ϕ)) \(=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}\)

संकल्पना:

प्रवणता: मान लीजिए कि एक फलन F(x, y, z) है तो F या ∇F की प्रवणता को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

∇F = \(\frac{∂F}{∂x}\hat i \ + \ \frac{∂F}{∂y}\hat j \ + \ \frac{∂F}{∂z} \hat k\), जहाँ i, j, k सदिश इकाईयाँ हैं।

कर्ल: त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक में सदिश क्षेत्र \(\vec F = \vec F_x \hat i \ + \ \vec F _y \hat j \ + \ \vec F_ z \hat k\) के कर्ल को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:-  

कर्ल \(\vec F\) या \(\vec \bigtriangledown × \vec F\) = \(\left( \frac{∂}{∂x}\hat i \ + \ \frac{∂}{∂y} \hat j \ + \ \frac{∂}{∂z} \hat k \right) × \left( \vec F_x \hat i \ + \ F_y \hat j \ + \ F_z \hat k \right)\)

\(\vec \bigtriangledown × \vec F\) = \( \left|\begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ \vec F_x & \vec F_y & \vec F_z \end{matrix} \right|\)

\(\vec \bigtriangledown × \vec F\) = \(\hat i \left( \frac{∂}{∂y} F_z - \frac{∂}{∂z}F_y \right) - \hat j \left( \frac{∂}{∂x} F_z - \frac{∂}{∂z}F_x \right) + \hat k \left( \frac{∂}{∂x}F_y - \frac{∂}{∂y} F_x \right)\)

अपसरण: त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक में एक सतत अवकलनीय सदिश क्षेत्र F = Fxi + Fyj + Fzk के अपसरण को अदिश मान फलन के रूप में परिभाषित किया गया है।

इसे divF = ∇.F द्वारा निरूपित किया जाता है

∇.F = \(\left( \frac{∂}{∂x} i + \frac{∂}{∂y}j + \frac{∂}{∂z} k \right) . (F_x i + F_y j + F_z k )\)

∇.F = \(\frac{∂F_x}{∂x} + \frac{∂F_y}{∂y} + \frac{∂F_z}{∂z}\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(\vec a \times (\vec b \times \vec c ) = (\vec a .\vec c) \vec b - (\vec a.\vec b) \vec c\)

गणना:

हमारे पास है,

⇒ \(\vec \bigtriangledown × \vec F\) = \(\hat i × \frac{∂F}{∂x} + \hat j × \frac{∂F}{∂y} +\hat k × \frac{∂F}{∂z}\)

⇒ \(∇ × (∇ × \vec F)\) = \(\sum \hat i × \frac{∂}{∂x} \left(\hat i × \frac{∂F}{∂x} + \hat j × \frac{∂F}{∂y} +\hat k × \frac{∂F}{∂z} \right)\)

⇒ \(∇ × (∇ × \vec F)\) = \(\sum \hat i × \left[ i × \frac{∂^2\vec F}{∂x^2} + \hat j × \frac{∂^\vec 2F}{∂x∂y} +\hat k × \frac{∂^2\vec F}{∂x∂dz} \right]\)

⇒ \(∇ × (∇ × \vec F)\) = \(\sum \left[\hat i × \left( \hat i × \frac{∂^2\vec F}{∂x2} \right)+ \hat i × \left(\hat j × \frac{∂^\vec 2F}{∂x∂y} \right)+\hat i × \left(\hat k × \frac{∂^2\vec F}{∂x∂dz}\right) \right]\)

⇒ \(\sum \left[ \left(\hat i . \frac{∂^2 \vec F}{∂x^2} \right) \hat i - (\hat i .\hat i) \frac{∂^2 \vec F}{∂x^2} + \left( \hat i. \frac{∂^2 \vec F}{∂x∂dy}\right) \hat j - (\hat i .\hat j) \frac{∂^2\vec F}{∂x∂y} + \left( \hat i . \frac{∂^2\vec F}{∂x∂z} \right) \hat k - (\hat i.\hat k) \frac{∂^2\vec F}{∂x∂z} \right]\)

⇒ \(\sum \left[ \left(\hat i. \frac{∂^2\vec F}{∂x^2}\right) \hat i - \frac{∂^2 \vec F}{∂x^2} + \left(\hat i. \frac{∂^2\vec F}{∂x∂y} \right) \hat j - 0 + \left( \hat i. \frac{∂^2 \vec F}{∂x∂z}\right) \hat k - 0 \right]\)

⇒ \(\sum \left[ \hat i \frac{∂}{∂x} \left(\hat i. \frac{∂\vec F}{∂x}\right) + \hat j \frac{∂}{∂y}\left( \hat i . \frac{∂\vec F}{∂x}\right) + \hat k \frac{∂}{∂z}\left(\hat i . \frac{∂\vec f}{∂x}\right) \right] - \sum \frac{∂^2\vec F}{∂x^2}\)

⇒ \(\sum \left( \hat i \frac{∂}{∂x} + \hat j \frac{∂}{∂y} + \hat k \frac{∂}{∂z} \right) \left(\hat i . \frac{∂\vec F}{∂x}\right) - \left[ \frac{∂^2\vec F}{∂x^2} + \frac{∂^2\vec F}{∂y^2} + \frac{∂^2\vec F}{∂x^2}\right]\)

⇒ \(\sum ∇ \left( \hat i . \frac{∂\vec F}{∂x}\right) - ∇^2\vec F\)

⇒ \(∇ \left( \sum \hat i . \frac{∂\vec F}{∂x}\right) - ∇^2 \vec F\)

⇒ \(∇(∇.F) - ∇^2F\)

⇒ \(∇ \times (∇ \times \vec F) = ∇(∇.F) - ∇^2F\)

⇒ \(curl curl \vec F = grad \ div\ \vec F - ∇^2 \vec F\)

⇒ \(grad \ div \ \vec F = curl \ curl \vec F + ∇^2\vec F\)

∴ सत्य कथन \(grad \ div \ \vec F = curl \ curl \vec F + ∇^2\vec F\) है। 

दूसरा विकल्प ∇ (ϕ) = ϕ(∇f) +  ⋅ (∇ϕ) सही है।

संकल्पना:

गुणनफल नियम

• जैसा कि गुणनफल नियम इंगित करता है, आइए दो सरल फलन f और g लेते हैं और दोनों अवकलनीय हैं। 

⇒  \(\frac{d}{dx}[f(x)⋅ g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]\)

• अब उसी गुणनफल नियम को सादृश्यता नियम द्वारा दो सदिश फलनों ϕ और \(\overline{f}\) पर लेने पर। 

​⇒ ∇ ⋅ (ϕ\(\overline{f}\)) = ϕ(∇f) + \(\overline{f}\) ⋅ (∇ϕ)

प्रमाण:

आइए δ को दो सदिश फलन ϕ और \(\overline{f}\) के गुणनफल के रूप में लेते हैं।

∴ δ = ϕ⋅\(\overline{f}\)  ................(1)

अब फलन δ को अवकलित करने पर 

∴ δ' = \(lim_{~h\rightarrow 0}\) \([\frac{ϕ (x+h)⋅ \overline{f}(x+h)-ϕ(x+h)\overline{f}(x)+ϕ(x+h)\overline{f}(x)-ϕ(x)\overline{f}(x)}{h}]\)

∴ δ' = \(lim_{~h\rightarrow 0}\)\([ϕ(x+h)\frac{\overline f(x+h)-\overline f(x)}{h}+\overline f(x) \frac{ϕ (x+h)-ϕ (x)}{h}]\)

∴ δ' = \(lim_{~h\rightarrow 0}\) ϕ (x + h) ⋅  \(lim_{~h\rightarrow 0}\)\(\frac{\overline f(x+h)-\overline f(x)}{h}\) + \(lim_{~h\rightarrow 0}\) \(\overline f (x)\) ⋅ \(lim_{~h\rightarrow 0}\) \(\frac{\phi (x+h)-\phi (x)}{h}\)

∴ δ' = \(\phi (x) \cdot Δ \overline f(x) + \overline f(x) Δ \phi (x)\)

∴ δ' = ϕ(∇f) + \(\overline{f}\) ⋅ (∇ϕ)   .............(2)

समीकरण (1) से ⇒ δ = ϕ⋅\(\overline{f}\)

⇒ δ' या ∇δ = ∇ ⋅ (ϕ\(\overline{f}\))   ...............(3)

समीकरणों (2) और (3) से।

∇ ⋅ (ϕ\(\overline{f}\)) = ϕ(∇f) + \(\overline{f}\) ⋅ (∇ϕ)

• अत: यह सत्य है और विकल्प 2 सत्य हो जाता है।

संकल्पना:

एक सदिश का कर्ल निम्नलिखित आव्यूह के विस्तार द्वारा दिया जाता है

अगर \(\vec{f}={{f}_{1}}\hat{i}+{{f}_{2}}\hat{j}+{{f}_{3}}\hat{k}\)

फिर

\(\nabla \times ~\vec{f}=\left| \begin{matrix} {\hat{i}} & {\hat{j}} & \hat{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ {{f}_{1}} & {{f}_{2}} & {{f}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

गणना​:

दिया गया सदिश है

\(~\vec{u}=yz~\hat{i}+3zx~\hat{j}+z~\hat{k}\)

तो \(\nabla \times ~\vec{u}=\left| \begin{matrix} {\hat{i}} & {\hat{j}} & {\hat{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ yz & 3zx & z \\ \end{matrix} \right|\)

\(\nabla \times ~\vec{u}=\hat{i}\left( \frac{\partial (z)}{\partial y}-\frac{\partial (3zx)}{\partial z} \right)-\hat{j}\left( \frac{\partial (z)}{\partial x}-\frac{\partial (yz)}{\partial z} \right)+~\hat{k}\left( \frac{\partial (3zx)}{\partial x}-\frac{\partial( yz)}{\partial y} \right)\)

संकल्पना:

कोणीय वेग = \(\frac{1}{2} \times \;\) रैखिक वेग का कर्ल

यानी \(\omega = \frac{1}{2} \times \left( {\vec \nabla \times \vec V} \right)\)

कर्ल एक सदिश संक्रियक है जो तीन-आयामी स्थान में एक सदिश क्षेत्र के अतिसूक्ष्म घूर्णन का वर्णन करता है।

एक अदिश क्षेत्र का कर्ल अपरिभाषित है। यह केवल 3D सदिश क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।

\(Curl = \nabla \times F = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} i&j&k\\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\ {{F_1}}&{{F_2}}&{{F_3}} \end{array}} \right|\)

गणना:

दिया हुआ

\(\vec V = 2{x^2}y\hat i + xy{z^2}\hat j + xy\hat K\)

\(\therefore \vec \nabla \times \vec V = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} i&j&k\\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\ {2{x^2}y}&{xy{z^2}}&{xy} \end{array}} \right|\)

= î (x – 2xyz) – ĵ (y - 0) + k̂ (yz2 – 2x2)

\(\therefore {\left( {\vec \nabla \times \vec V} \right)_{1,1,1}} = i\left( {1 - 2} \right) - \hat j\left( {1 - 0} \right) + \hat k\left( {1 - 2} \right)\) = -i – j – k

\( \Rightarrow \omega = \frac{1}{2}\left( { - i - \hat j - k} \right)\)

\(\therefore \left| \omega \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;units\)

दिया गया है कि, \(\vec A = \vec \nabla u\)

\(\left| {\vec \Delta \times \vec A} \right| = curl\left( {\vec A} \right)\)

\(= curl\left( {\vec \nabla {\rm{u}}} \right)\)

हम जानते हैं कि किसी भी अदिश फलन 'f' के लिए

\(curl\;\left( {\vec \nabla {\rm{f}}} \right) = 0\)