फलन f(x) = (x + 1)cotx x = 0 पर सतत रहेगा यदि f(0) का मान ________ है।

संकल्पना:

एक फलन को सतत कहा जाता है यदि

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})}$

गणना:

दिया गया:

f(x) = (x + 1)cotx

दोनों तरफ से log लेना

log (f(x)) = cot x log (x + 1)

x = 0 पर निरंतरता की जाँच के लिए

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\cot \mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{x}+1)}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{x}+1)}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}}}}$ = 0/0

L--हॉस्पिटल नियम का उपयोग करना

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)}}}$

$={\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\mathrm{x}}{(\mathrm{x}+1)}}$

⇒ log (f(0)) = 1

⇒ f(0) = e1 = e