భాగహారం మరియు శేషం MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Divisibility and Remainder - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్లోడ్ కరెన్
Last updated on May 19, 2025
Latest Divisibility and Remainder MCQ Objective Questions
భాగహారం మరియు శేషం Question 1:
ఒక సంఖ్యని 345 తో భాగిస్తే 35 శేషము వచ్చింది. అదే సంఖ్యను 15తో భాగిస్తే వచ్చే శేషము ఎంత ?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 1 Detailed Solution
ఇవ్వబడింది:
345తో భాగించినప్పుడు ఒక సంఖ్య N శేషంగా 35ని ఇస్తుంది.
N ని 15తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషాన్ని కనుగొనాలి.
గణన:
ఆ సంఖ్యను ఇలా సూచిద్దాం:
N = 345k + 35
k ఒక పూర్ణాంకం.
15తో భాగించినప్పుడు 345 యొక్క శేషాన్ని కనుగొనండి
345 ÷ 15 = 23 శేషం 0
కాబట్టి, 345k 15తో పూర్తిగా భాగింపబడుతుంది.
15తో భాగించినప్పుడు 35 యొక్క శేషాన్ని కనుగొనండి
35 ÷ 15 = 2 శేషం 5
అందువల్ల, N ని 15తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం 5.
చివరి సమాధానం: 5
భాగహారం మరియు శేషం Question 2:
223 ను 5 చే భాగిస్తే వచ్చే శేషము ఎంత ?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 2 Detailed Solution
ఇవ్వబడింది:
223ని 5తో భాగించగా వచ్చే శేషం కనుగొనండి.
ఉపయోగించిన సూత్రం:
5తో భాగించినప్పుడు 2 యొక్క ఏదైనా ఘాతానికి, శేషం ఈ క్రమంలో ఉంటుంది: 2, 4, 3, 1.
గణన:
2 యొక్క ఘాత చక్రం (mod 5): 21 ≡ 2 (mod 5) 22 ≡ 4 (mod 5) 23 ≡ 3 (mod 5) 24 ≡ 1 (mod 5) (ప్రతి 4 ఘాతాలకు చక్రం పునరావృతమవుతుంది)
ఇప్పుడు, 23ని 4తో భాగించగా వచ్చే శేషాన్ని కనుగొనండి: 23ని 4తో భాగిస్తే శేషం 3 వస్తుంది.
కాబట్టి, 223 ≡ 23 ≡ 3 (mod 5).
∴ శేషం 3.
భాగహారం మరియు శేషం Question 3:
p(x) = x3 + 2x2 + ax + b ను x - 1 మరియు x - 2 లచే భాగించగా వచ్చు శేషాలు వరుసగా 0, 1 అయితే, a2 + b2 =
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 3 Detailed Solution
ఇచ్చిన బహుపది \( p(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b \), కు శేష సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి \( a \)} మరియు \( b \). విలువలు కనుగొందాం. \( p(x) \)} ని \( x - 1 \), తో భాగించగా శేషం \( 0 \), కాబట్టి:
\[ p(1) = 1 + 2 + a + b = 0 \implies a + b = -3 \quad \text{(1)} \]
\( p(x) \)} ని \( x - 2 \), తో భాగించగా శేషం \( 1 \), కాబట్టి:
\[ p(2) = 8 + 8 + 2a + b = 1 \implies 2a + b = -15 \quad \text{(2)} \]
సమీకరణాలు (1) మరియు (2) ను సాధించగా, \( a = -12 \)} మరియు \( b = 9 \). కాబట్టి:
\[ a^2 + b^2 = (-12)^2 + (9)^2 = 144 + 81 = 225 \]
అందువల్ల చివరి సమాధానం:
\[ \boxed{225} \]
భాగహారం మరియు శేషం Question 4:
13x ≡ 1(మాపం 15) ను తృప్తి పరిచే నాలుగంకెల సంఖ్యలలో కనిష్ఠ ధన సంఖ్య కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 4 Detailed Solution
ఇచ్చినవి:
13x ≡ 1 (mod 15)
x ఒక 4-అంకెల ధనాత్మక పూర్ణాంకం
ఉపయోగించిన సూత్రం:
ax ≡ b (mod m)
గణన:
13x ≡ 1 (mod 15)
⇒ -2x ≡ 1 (mod 15)
⇒ -2x ≡ 1 + 15 (mod 15)
⇒ -2x ≡ 16 (mod 15)
⇒ x ≡ -8 (mod 15)
⇒ x ≡ -8 + 15 (mod 15)
⇒ x ≡ 7 (mod 15)
కాబట్టి, x ని x = 15k + 7 గా వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ k ఒక పూర్ణాంకం.
నమకు అతి చిన్న ధనాత్మక 4-అంకెల పూర్ణాంకం అవసరం.
x ఒక 4-అంకెల సంఖ్య కావడానికి, x ≥ 1000.
⇒ 15k + 7 ≥ 1000
⇒ 15k ≥ 993
⇒ k ≥ 993 / 15
⇒ k ≥ 66.2
k కి అతి చిన్న పూర్ణాంక విలువ 67.
x = 15k + 7 లో k = 67 ని ప్రతిక్షేపించండి:
x = 15 x 67 + 7
x = 1005 + 7
x = 1012
∴ నాలుగు అంకెలు కలిగిన అతి చిన్న ధనాత్మక పూర్ణాంకం 1012.
భాగహారం మరియు శేషం Question 5:
ఒక సంఖ్యను 84తో భాగించగా, శేషం 27 వస్తుంది. అదే సంఖ్యను 6తో భాగిస్తే, శేషం ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 5 Detailed Solution
ఇవ్వబడింది:
ఒక సంఖ్యను 84తో భాగించగా శేషం 27 వస్తుంది.
ఉపయోగించిన సూత్రం:
ఒక సంఖ్యను ఒక భాజకంతో భాగించినప్పుడు, శేషాన్ని కొత్త భాజకంతో భాగించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం శేషం.
గణనలు:
సంఖ్య = 84 x k + 27 (ఇక్కడ k ఒక పూర్ణాంకం)
ఈ సంఖ్యను 6తో భాగిస్తే:
⇒ 27 ÷ 6
⇒ 27 = 6 x 4 + 3
⇒ శేషం = 3
∴ శేషం 3.
Top Divisibility and Remainder MCQ Objective Questions
క్రింది సంఖ్యలలో ఏది \((49^{15} - 1) \) యొక్క విభాజకం?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది:
\((49^{15} - 1) \)
ఉపయోగించిన భావన:
n సరి ధన పూర్ణాంకం అయినప్పుడు an - bn అనేది (a + b) ద్వారా భాగించబడుతుంది.
గణన:
\((49^{15} - 1) \)
⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)
⇒ \((7^{30} - 1) \)
ఇక్కడ, 30 అనేది ధనాత్మక పూర్ణాంకం.
భావన ప్రకారం,
\((7^{30} - 1) \) (7 + 1) అంటే 8 ద్వారా భాగించబడుతుంది.
∴ 8 అనేది \((49^{15} - 1) \) భాగహారం.
5-అంకెల సంఖ్య 676xy 3, 7 మరియు 11 ద్వారా భాగించబడితే, (3x - 5y) విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFఇవ్వబడినవి:
676xy 3, 7 & 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది
కాన్సెప్ట్:
676xy 3, 7 &11 ద్వారా భాగించబడినప్పుడు, అది 3, 7 &11 యొక్క క.సా.గు ద్వారా కూడా భాగించబడుతుంది.
విభాజ్యము= భాజకము × భాగహారలబ్ధము + శేషం
లెక్కింపు:
క.సా.గు (3, 7, 11) = 231
అతిపెద్ద 5-అంకెల సంఖ్య 67699 తీసుకొని దానిని 231తో భాగించండి.
∵ 67699 = 231 × 293 + 16
⇒ 67699 = 67683 + 16
⇒ 67699 - 16 = 67683 (పూర్తిగా 231తో భాగించబడుతుంది)
∴ 67683 = 676xy (ఇక్కడ x = 8, y = 3)
(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3
⇒ 24 - 15 = 9
∴ అవసరమైన ఫలితం = 9
x2 + ax + b, x - 5తో భాగించినప్పుడు, 34 మరియు x2 + bx + a, x - 5 ద్వారా భాగించబడినప్పుడు, 52 శేషం వస్తే, a + b = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFx2 + ax + b, x - 5తో భాగించబడినప్పుడు, 34 మిగులుతుంది,
⇒ 52 + 5a + b = 34
⇒ 5a + b = 9 ----(1)
మళ్ళీ,
x2 + bx + a, x - 5తో భాగించినప్పుడు, 52 మిగులుతుంది
⇒ 52 + 5b + a = 52
⇒ 5b + a = 27 ----(2)
(1) + (2) నుండి,
⇒ 6a + 6b = 36
⇒ a + b = 6
8, 12 మరియు 16 సంఖ్యలతో భాగించినప్పుడు, అది ప్రతి సందర్భంలో 5 ను శేషంగా వదిలివేసే 400 మరియు 500 మధ్య సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFగణనలు:
సంఖ్యలు 8, 12 మరియు 16, అవి తప్పనిసరిగా 400 & 500 మధ్య సంఖ్యలను భాగించినప్పుడు శేషం 5ని పొందాలి
విభిన్న సంఖ్యల గుణకారాన్ని కనుగొనడానికి, మనం LCMని కనుగొనాలి
8, 12, 16 యొక్క LCM
8 = 2³, 12 = 2² x 3, 16 = 2⁴
LCM = 2⁴ x 3 = 48
సంఖ్య నమూనా = 48k + 5 (శేషం)
400 & 500 మధ్య సంఖ్యలు
అతి చిన్న సంఖ్య = 48 x 9 + 5 = 437
అతిపెద్ద సంఖ్య = 48 x 10 + 5 = 485
కాబట్టి,
సంఖ్యల మొత్తం = 437 + 485
⇒ 922
∴ సరైన ఎంపిక ఎంపిక 1.
2384 ను 17 తో విభజించినప్పుడు శేషం ఏమిటి?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది:
2384 ను 17 ద్వారా విభజించారు.
లెక్కింపు:
2384 = 2(4 × 96) = 1696
16 ను 17 తో విభజించినప్పుడు శేషం -1 అని మనకు తెలుసు
1696 ను 17 ద్వారా విభజించినప్పుడు, శేషం र = (-1) 96 = 1.
నాలుగు అంకెల సంఖ్య abbaను 4 మరియు a < bతో భాగించగలిగిన, అలాంటి సంఖ్యలు ఎన్ని కలవు?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDF5-అంకెల సంఖ్య 750PQ 3, 7 మరియు 11 ద్వారా భాగించబడినట్లయితే, P + 2Q విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చిన దత్తాంశం:
ఐదు అంకెల సంఖ్య 750PQ 3, 7 మరియు 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది
ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్::
క.సా.గు యొక్క పద్ధతి
సాధన:
3, 7 మరియు 11 యొక్క క.సా.గు 231.
అతిపెద్ద 5-అంకెల సంఖ్య 75099 తీసుకొని దానిని 231తో భాగించడం ద్వారా.
మనం 75099ని 231తో భాగిస్తే మనకు 325 గుణకం మరియు 24 శేషం.
అప్పుడు, ఐదు అంకెల సంఖ్య 75099 - 24 = 75075.
సంఖ్య = 75075 మరియు P = 7, Q = 5
ఇప్పుడు,
P + 2Q = 7 + 10 = 17
∴ P + 2Q విలువ 17.
ఐదు అంకెల సంఖ్య 247xy 3, 7 మరియు 11 ద్వారా భాగించబడితే, (2y - 8x) విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFఇవ్వబడినవి:
ఐదు అంకెల సంఖ్య 247xy 3, 7 మరియు 11 ద్వారా భాగించబడినట్లయితే
లెక్కింపు:
3, 7, 11 యొక్క క.సా.గు 231
ప్రశ్న ప్రకారం
247xy యొక్క అతిపెద్ద సాధ్యం విలువ 24799
మనం 24799ని 231తో భాగిస్తే మనకు 82 మిగిలి ఉంటుంది
సంఖ్య = 24799 – 82
⇒ 24717
ఇప్పుడు x = 1 మరియు y = 7
(2y – 8x) = (2 × 7 – 8 × 1)
⇒ (14 - 8)
⇒ 6
∴ అవసరమైన విలువ 6
16, 19 మరియు 38తో భాగించినప్పుడు ప్రతి సందర్భంలో శేషం 6ని వదిలివేసే అతి చిన్న నాలుగు అంకెల సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం ఎంత అవుతుంది?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFఇవ్వబడినది:
16, 19 మరియు 38తో భాగించబడిన అతి చిన్న 4 అంకెల సంఖ్య
మరియు ప్రతి సందర్భంలో శేషం 6.
గణన:
16, 19 మరియు 38 యొక్క కసాగు,
⇒ 16 = 2 x 2 x 2 x 2
⇒ 19 = 19 x 1
⇒ 38 = 2 x 19 x 1
⇒ కసాగు = 2 x 2 x 2 x 2 x 19 = 304
నాలుగు అంకెల అతి చిన్న సంఖ్య = 1,000
1,000ని 304తో భాగిస్తే శేషం 88 అవుతుంది.
కాబట్టి, 304 = 1000 + (304 - 88) ద్వారా విభజించబడిన అతి చిన్న నాలుగు అంకెల సంఖ్య
⇒ 1216
ఇప్పుడు శేషం 6 మిగిల్చే అవసరమైన సంఖ్య,
కాబట్టి అవసరమైన సంఖ్య = 1216 + 6
⇒ 1222
1222 = 1 + 2 + 2 + 2 అంకెల మొత్తం
⇒ 7
∴ అవసరమైన మొత్తం 7.
x ను 6 ద్వారా విభజించినట్లయితే శేషం 5 వస్తుంది. (x + 5) ను 3 ద్వారా విభజించినట్లయితే శేషం ఏమిటి:
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFఇవ్వబడింది:
xని 6తో భాగిస్తే మనకు 5 మిగిలి ఉంటుంది.
గణన:
సంఖ్య 11గా ఉండనివ్వండి
మనం 11ని 6తో భాగించినప్పుడు మిగిలిన దానిని 5గా పొందుతాము (పరిస్థితి సంతృప్తికరంగా ఉంది).
మనం (x + 5)ని 3తో భాగిస్తే
(11 + 5) ÷ 3
⇒ 16 ÷ 3
మనం 16ని 3తో భాగిస్తే మనకు 1 మిగిలి ఉంటుంది.