বিভাজ্যতা ও ভাগশেষ MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Divisibility and Remainder - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

৩১০ পর্যন্ত কতগুলি সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য তা নির্ণয় করো।

ব্যবহৃত সূত্র:

পদের সংখ্যা = ⌊N / d⌋

যেখানে, N = ৩১০ এবং d = ৮

গণনা:

⇒ পদের সংখ্যা = ⌊৩১০ / ৮⌋

⇒ পদের সংখ্যা = ⌊৩৮.৭৫⌋

⇒ পদের সংখ্যা = ৩৮

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প (৩)।

প্রদত্ত:

সংখ্যাগুলি হল 203, 359, 437 এবং 593, প্রতিটি ক্ষেত্রে 8 ভাগশেষ থাকে।

ব্যবহৃত সূত্র:

প্রদত্ত সংখ্যাগুলিকে একই ভাগশেষ রেখে ভাগ করে এমন বৃহত্তম সংখ্যাটি খুঁজে বের করার জন্য, সংখ্যাগুলির পার্থক্যের HCF (সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয় করুন।

গণনা:

প্রতিটি সংখ্যা থেকে 8 বিয়োগ করুন:

203 - 8 = 195

359 - 8 = 351

437 - 8 = 429

593 - 8 = 585

এখন, 195, 351, 429 এবং 585 এর HCF নির্ণয় করুন:

প্রথমে, 195 এবং 351 এর HCF নির্ণয় করুন:

⇒ HCF(195, 351) = 39

এরপর, 39 এবং 429 এর HCF নির্ণয় করুন:

⇒ HCF(39, 429) = 39

পরিশেষে, 39 এবং 585 এর HCF নির্ণয় করুন:

⇒ HCF(39, 585) = 39

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1।

প্রয়োজনীয় সূত্র:

11 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম:

একটি সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি বিজোড় স্থানে অবস্থিত অঙ্কগুলির যোগফল এবং জোড় স্থানে অবস্থিত অঙ্কগুলির যোগফলের পার্থক্য 0 বা 11-এর গুণিতক হয়।

গণনা:

বিকল্প 1 পরীক্ষা করা হচ্ছে:

একটি সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার অঙ্কগুলির যোগফল 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়।

⇒ 11 দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম অনুসারে এটি ভুল।

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1।

প্রদত্ত:

আমাদের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি খুঁজে বের করতে হবে, যাকে 36, 45 এবং 54 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবার 3 অবশিষ্ট থাকে।

ব্যবহৃত সূত্র:

প্রয়োজনীয় সংখ্যা = (36, 45, 54) এর ল.সা.গু + 3

গণনা:

প্রথমে, 36, 45 এবং 54 এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:

36 = 22 × 32

45 = 32 × 5

54 = 2 × 33

ল.সা.গু = 22 × 33 × 5

ল.সা.গু = 540

⇒ প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 540 + 3

⇒ প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 543

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প (3)।

প্রদত্ত:

একটি সংখ্যাকে 84 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 27 হয়।

ব্যবহৃত সূত্র:

যখন একটি সংখ্যাকে কোন ভাজক দিয়ে ভাগ করা হয়, তখন নতুন ভাজক দিয়ে ভাগশেষকে ভাগ করার ফলাফল হল নতুন ভাগশেষ।

গণনা:

সংখ্যা = 84 × k + 27 (যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা)

যখন এই সংখ্যাকে 6 দিয়ে ভাগ করা হয়:

⇒ 27 ÷ 6

⇒ 27 = 6 × 4 + 3

⇒ ভাগশেষ = 3

∴ ভাগশেষটি হলো 3.

প্রদত্ত:

\((49^{15} - 1) \)

অনুসৃত ধারণা:

aⁿ​​​​​​ - bⁿ (a + b) দ্বারা বিভাজ্য যেখানে n একটি ধনাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা 

গণনা:

\((49^{15} - 1) \)

⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)

⇒ \((7^{30} - 1) \)

এখানে, 30 ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা

ধারণা অনুসারে,

\((7^{30} - 1) \) (7 + 1) অর্থাৎ, 8 দ্বারা বিভাজ্য।

∴ 8 \((49^{15} - 1) \)-এর একটি উৎপাদক।

প্রদত্ত:

5 অঙ্কের সংখ্যা 676xy 3, 7 এবং 11 দ্বারা বিভাজ্য

ধারণা:

যখন 676xy 3, 7 এবং 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, এটি অবশ্যই 3, 7 এবং 11 এর ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য হবে। 

ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ 

গণনা:

ল.সা.গু (3, 7, 11) = 231

সবচেয়ে বড় 5-অঙ্কের সংখ্যা 67699 নিয়ে এবং এটিকে 231 দ্বারা ভাগ করুন।

∵ 67699 = 231 × 293 + 16

⇒ 67699 = 67683 + 16 

⇒ 67699 - 16 = 67683 (231 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য)

∴ 67683 = 676xy (যেখানে x = 8, y = 3)

(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3

⇒ 24 - 15 = 9 

∴ নির্ণেয় ফলাফল হল = 9

x2 + ax + b কে x - 5 দ্বারা ভাগ করলে, 34 ভাগশেষ থাকে,

⇒ 5² + 5a + b = 34

⇒ 5a + b = 9      ----(1)

আবার,

x2 + bx + a কে x - 5 দ্বারা ভাগ করলে 52 ভাগশেষ থাকে,

⇒ 5² + 5b + a = 52

⇒ 5b + a = 27      ----(2)

(1) + (2) করে পাই,

⇒ 6a + 6b = 36

গণনা:

সংখ্যাগুলি হল 8, 12 এবং 16 যেগুলিকে অবশ্যই 400 এবং 500 এর মধ্যের সংখ্যাকে ভাগ করতে হবে এবং অবশিষ্ট 5 পেতে হবে

বিভিন্ন সংখ্যার গুণিতক বের করার জন্য, আমাদের LCM বের করতে হবে

8, 12, 16 এর LCM

8 = 2³, 12 = 2² x 3, 16 = 2⁴

LCM = 2⁴ x 3 = 48

সংখ্যার প্যাটার্ন = 48k + 5 (অবশিষ্ট)

400 এবং 500 এর মধ্যে সংখ্যা

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 48 x 9 + 5 = 437

সবচেয়ে বড় সংখ্যা = 48 x 10 + 5 = 485

তাই,

সংখ্যার যোগফল = 437 + 485

⇒ 922

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1

প্রদত্ত:

17 দ্বারা 2384 কে ভাগ করা হয়।

গণনা:

2384 = 2(4 × 96) = 1696

আমরা জানি যে যখন 17 দ্বারা 16 কে ভাগ করা হয় তখন ভাগশেষ থাকে -1 

যখন 17 দ্বারা 1696 কে ভাগ হয়ে যায় তখন তখন ভাগশেষ থাকে = (-1) ⁹⁶ = 1।

অনুসৃত ধারণা:

যেকোনো সংখ্যার শেষ 2টি অঙ্ক 4 দ্বারা বিভাজ্য হলে, সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য হয়।

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী সংখ্যাগুলি হল:

2332, 2552, 4664, 2772, 6776, 4884, 2992 এবং 6996

সুতরাং, abba আকারে এরকম 8টি সংখ্যা রয়েছে, যা 4 দ্বারা বিভাজ্য।

∴ সঠিক উত্তর হল 8

প্রদত্ত:

5-অঙ্কের সংখ্যা 750PQ, 3, 7 এবং 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়

অনুসৃত ধারণা:

লসাগু এর ধারণা

গণনা:

3, 7, এবং 11-এর লসাগু হল 231।

5-অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা 75099 কে নিয়ে এবং তাকে 231 দ্বারা ভাগ করার পর।

যদি 75099 কে 231 দিয়ে ভাগ করি তাহলে ভাগফল হিসেবে 325 এবং ভাগশেষ হিসাবে 24 পাব।

তাহলে, পাঁচ অঙ্কের সংখ্যাটি হল 75099 - 24 = 75075৷

সংখ্যা = 75075 এবং P = 7, Q = 5

এখন,

P + 2Q = 7 + 10 = 17

∴ P + 2Q এর মান হল 17।

প্রদত্ত:

পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা 247xy , 3, 7 এবং 11 দ্বারা বিভাজ্য

গণনা:

3, 7, এবং 11 এর ল.সা.গু হল 231

প্রশ্ন অনুসারে

247xy এর বৃহত্তম সম্ভাব্য মান হল 24799

যখন আমরা 24799 কে 231 দ্বারা ভাগ করি, আমরা অবশিষ্ট হিসেবে 82 পাই

সংখ্যা = 24799 – 82

⇒ 24717

এখন x = 1 এবং y = 7

(2y – 8x) = (2 × 7 – 8 × 1)

⇒ (14 – 8)

⇒ 6

∴ প্রয়োজনীয় মান হল 6

প্রদত্ত:

চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে 16, 19 এবং 38 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিটি ক্ষেত্রে 6 অবশিষ্ট থাকে।

গণনা:

16, 19 এবং 38 এর ল.সা.গু.,

⇒ 16 = 2 x 2 x 2 x 2

⇒ 19 = 19 x 1

⇒ 38 = 2 x 19 x 1

⇒ ল.সা.গু. = 2 x 2 x 2 x 2 x 19 = 304

আমরা জানি চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 1,000 

1,000 কে 304 দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে 88

সুতরাং, চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যাকে 304 দ্বারা ভাগ করা হয় = 1000 + (304 - 88)

⇒ 1216

এখন নির্ণেয় সংখ্যাটির 6 অবশিষ্ট থাকে,

সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যা = 1216 + 6

⇒ 1222

1222 এর অঙ্কগুলির যোগফল = 1 + 2 + 2 + 2

⇒ 7

∴ সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যা হল 7

প্রদত্ত:

যখন আমরা X কে যদি 6 দ্বারা ভাগ আমরা ভাগশেষ হিসাবে 5 পাই। 

গণনা:

ধরা যাক, সংখ্যাটি হ'ল 11 

যখন আমরা 11 কে 6 দ্বারা  ভাগ করি আমরা ভাগশেষ হিসাবে 5 পাই। (শর্ত সন্তুষ্ট) 

যদি আমরা (x + 5) কে 3 দ্বারা ভাগ করি, তবে 

(11 + 5) ÷ 3

⇒ 16 ÷ 3