అకరణీయ మరియు కరణీయ సంఖ్యలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Rational or Irrational Numbers - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఉపయోగించిన సూత్రం :

ఒక భిన్నం యొక్క హారం 2^m × 5ⁿ రూపంలో వ్యక్తీకరించబడితే, దానికి ముగింపు దశాంశ విస్తరణ ఉంటుంది, ఇక్కడ m మరియు n ఋణాత్మకం కాని పూర్ణాంకాలు.

లెక్కింపు:

(a) \(\frac{2139}{3750}\) = \(\frac{713}{1250}\)

⇒ 1250 = 2 × 625 = 2 × 5⁴

హారం యొక్క కారకాన్ని 2m × 5n రూపంలో వ్యక్తీకరించవచ్చు కాబట్టి, దశాంశ విస్తరణ ముగుస్తుంది.

(b) \(\frac{39}{9375}\) = \(\frac{13}{3125}\)

⇒ 3125 = 3 × 5 ⁵

హారం యొక్క కారకాన్ని 2m × 5n రూపంలో వ్యక్తీకరించవచ్చు కాబట్టి , దశాంశ విస్తరణ ముగుస్తుంది.

(c) \(\frac{64}{455}\) దాని సరళమైన రూపంలో ఉంది.

455 = 5 × 7 × 13

హారం 2^m × 5ⁿ రూపంలో లేదు, కాబట్టి దశాంశ విస్తరణ అంతం కాదు.

(d) \(\frac{245}{1344} = \frac{35}{192}\)

192 = 2⁶ × 3

హారం 2^m × 5ⁿ రూపంలో లేదు, కాబట్టి దశాంశ విస్తరణ అంతం కాదు.

∴ (a) మరియు (b) ముగింపు దశాంశ విస్తరణలను కలిగి ఉన్నాయి.

ఇవ్వబడింది:

అంతం కాని దశాంశ విస్తరణను కలిగి ఉన్న అకరణీయ సంఖ్యను మనం నిర్ణయించాలి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక అకరణీయ సంఖ్య దాని హారం (సరళీకరణ తర్వాత) 2 లేదా 5 కాని ప్రధాన కారకాన్ని కలిగి ఉంటే అంతం కాని దశాంశ విస్తరణను కలిగి ఉంటుంది.

గణన:

1) \(\frac{11}{1000}\)

హారం = 1000 = \(2^3 \times 5^3\)

హారం యొక్క ప్రధాన కారకాలు 2 మరియు 5.

ఇది అంతమయ్యే దశాంశ విస్తరణను కలిగి ఉంటుంది.

2) \(\frac{23}{2^3 5^2}\)

హారం = \(2^3 \times 5^2\)

హారం యొక్క ప్రధాన కారకాలు 2 మరియు 5.

ఇది అంతమయ్యే దశాంశ విస్తరణను కలిగి ఉంటుంది.

3) \(\frac{19}{2^2 5^7 7^5}\)

హారం = \(2^2 \times 5^7 \times 7^5\)

హారం యొక్క ప్రధాన కారకాలు 7 (2 మరియు 5 కాకుండా) ఉన్నాయి.

ఇది అంతం కాని దశాంశ విస్తరణను కలిగి ఉంటుంది.

4) \(\frac{4^2}{2 \times 5^2}\)

హారం = \(2 \times 5^2\)

హారం యొక్క ప్రధాన కారకాలు 2 మరియు 5

ఇది అంతమయ్యే దశాంశ విస్తరణను కలిగి ఉంటుంది.

∴ సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

గణన:

A = \( \frac{1}{√{2}+√{3}-√{5}} \) మరియు B = \(\frac{1}{√{2}-√{3}-√{5}}\) అని తీసుకుందాం

Aని పరిష్కరించడం,

సరళీకరించడం,

⇒ A = \( \frac{1}{(√{2}+√{3})-√{5}} \) x \({(√{2}+√{3})+√{5}} \over {(√{2}+√{3})+√{5}} \) = \({(√{2}+√{3})+√{5}} \over {(√{2}+√{3})^2-(√{5}})^2 \)

⇒ A = \({√{2}+√{3}+√{5}} \over {5+2√{6}-5} \) = \({√{2}+√{3}+√{5}} \over {2√{6}} \)

Bని పరిష్కరించడం,

⇒ B = \( \frac{1}{(√{2}-√{3})-√{5}} \) x \({(√{2}-√{3})+√{5}} \over {(√{2}-√{3})+√{5}} \) = \({(√{2}-√{3})+√{5}} \over {(√{2}-√{3})^2-(√{5}})^2 \)

⇒ B = \({√{2}-√{3}+√{5}} \over {5-2√{6}-5} \) = \({√{2}-√{3}+√{5}} \over -{2√{6}} \)

ఇప్పుడు,

⇒ A + B = \({√{2}+√{3}+√{5}} \over {2√{6}} \) + \({√{2}-√{3}+√{5}} \over -{2√{6}} \)

⇒ A + B = \({√{2}+√{3}+√{5}} -{√{2}+√{3}-√{5}} \over {2√{6}} \)

⇒ A + B = \(+2√{3} \over {2√{6}} \) = \(√{3} \over {√2 \times√{3}} \)= \(1\over {√2 } \)

∴ సరైన సమాధానం \(1 \over { \sqrt{2}}\).

ఇచ్చినవి:

i) అనుక్రమంగా ఉన్న రెండు ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే ఉన్నాయి.

ii) ప్రతి ధనాత్మక ప్రధాన సంఖ్యకు, దానికి అనుగుణంగా ఒక ప్రతికూల ప్రధాన సంఖ్య ఉంటుంది.

iii) రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ సరి సంఖ్య.

iv) సహాభాజ్య సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ ప్రధాన సంఖ్యలు.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ప్రధాన సంఖ్యలు: 1 మరియు తనను తాను మాత్రమే భాగించే సంఖ్యలు.

సహాభాజ్య సంఖ్యలు: 1 తప్ప మరే ఇతర సాధారణ భాజకం లేని రెండు సంఖ్యలు.

గణన:

⇒ i) నిజం: 2 మరియు 3 మాత్రమే అనుక్రమంగా ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలు.

⇒ ii) తప్పు: ప్రతికూల ప్రధాన సంఖ్యలు లేవు.

⇒ iii) తప్పు: ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం బేసి సంఖ్య కావచ్చు, ఉదాహరణకు 2 + 3 = 5.

⇒ iv) తప్పు: సహాభాజ్య సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు కావలసిన అవసరం లేదు.

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3), ప్రకటన (i) మాత్రమే.

ఇచ్చినది:

సమీకరణం = 2 / (1 - √2)

దశ 1:

(1 - √2) యొక్క సంయుగ్మంతో లవం మరియు హారంను గుణించండి:

సమీకరణం = [2 x (1 + √2)] / [(1 - √2) x (1 + √2)]

దశ 2:

హారం = (1 - √2)(1 + √2) = 1 - 2 = -1

దశ 3:

లవం = 2 x (1 + √2) = 2 + 2√2

దశ 4:

సమీకరణం = -(2 + 2√2)

∴ సరళీకరించిన సమీకరణం -2 - 2√2.

ఇచ్చినది:

\(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

ఉపయోగించిన భావన:

0.ab̅ = (ab - a)/90

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

గణన:

\(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

⇒ (46 - 4)/90 - (589 - 5)/990 + (333 - 3)/990

⇒ 42/90 - 584/990 + 330/990

⇒ 42/90 - 254/990

⇒ (462 - 254)/990

⇒ 208/990

ఈ సూత్రం ప్రకారం

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

\(0.2\overline{10}\) = (210 - 2)/990

∴ \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\) విలువ \(0.2\overline{10}\) కి సమానం.

ఇవ్వబడింది:

0.135135....

వాడిన కాన్సెప్ట్

సంఖ్యలు (p/q) రూపంలో ఉన్నాయి, ఇక్కడ q ≠ 0 మరియు p , q లు వాస్తవసంఖ్యలు అని పిలవబడే పూర్ణసంఖ్యలు.

లెక్క:

 x = 0.135135....  అనుకోండి    ----(1)

సమీకరణం (1) ని 1000 తో గుణిస్తే, మనకి వచ్చేది

1000x = 135.135....      ----(2)

సమీకరణం (2) నుండి సమీకరణం (1) ని తీసివేస్తే, మనకి వస్తుంది

1000x - x = (135.135...) - (0.135135....)

⇒ 999x = 135

⇒ x = 135/999

⇒ x = 45/333

⇒ x = 5/37

∴  0.135135.... ని p/q రూపంలో 5/37 గా రాయవచ్చు.

ఉపయోగించిన భావన:-

కరణీయ సంఖ్యలు అంటే p/q రూపంలో వ్రాయలేని సంఖ్యలు. ఇక్కడ p మరియు q పూర్ణాంకం మరియు q సున్నాకి సమానం కాదు.

 Key Points

• రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం అకరణీయ సంఖ్య లేదా కరణీయ సంఖ్య కావచ్చు.
• రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్దం లేదా భాగాహారం అకరణీయ సంఖ్య లేదా కరణీయ సంఖ్య కావచ్చు.

వివరణ:-

రెండు కరణీయ సంఖ్యలు \(\sqrt{3}\) మరియు \(-\sqrt{3}\) ఉన్నాయనుకుందాం. ఈ రెండు సంఖ్యల మొత్తం 0.

\(\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0\)

ఇక్కడ, 0 అనేది అకరణీయ సంఖ్య. కాబట్టి, రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ఇప్పుడు రెండు కరణీయ సంఖ్యలు \(\sqrt{3}\) మరియు \(\sqrt{3}\) అనుకుందాం. ఈ రెండు సంఖ్యల మొత్తం,

\(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)

ఇక్కడ, \(2\sqrt{3}\) అనేది కరణీయ సంఖ్య. కాబట్టి, రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం కరణీయ సంఖ్య.

కాబట్టి, రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం అకరణీయ లేదా కరణీయ సంఖ్య కావచ్చు.

ఇప్పుడు, వాస్తవ సంఖ్య అనేది అకరణీయ లేదా కరణీయ సంఖ్య అని మనకు తెలుసు. కాబట్టి రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ వాస్తవ సంఖ్య అని చెప్పవచ్చు.

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 3.

105/112 = (15 × 7) / (16 × 7) = 15/16

ఉపయోగించిన భావన:

\(.BC\overline{DEF}\) = \(\frac{BCDEF - BC}{99900}\)

గణన:

\(.45\overline{235}\)

⇒ \(\frac{45235-45}{99900}\)

⇒ \(\frac{45190}{99900}\)

⇒ \(\frac{4519}{9990}\)

∴ సరైన సమాధానం \(\frac{4519}{9990}\).

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\(0.a \bar b\) ఈ రూపంలో మనకు సంఖ్య ఉంటే

అప్పుడు, \(0.a \bar b\) = \(ab - a\over 90\)

ఇందులో బార్ లేని అంకె సంఖ్య నుండి తీసివేయబడుతుంది

ఇప్పుడు, ఈ భిన్నం p/q రూపంలో ఉంది

గణన:

ఇక్కడ, మనకు \(0.2\bar7\) ఉంది

ఇక్కడ మనకు ఒక అంకెపై మాత్రమే బార్ ఉంది

అలాగే, 2 బార్ లేకుండా ఉంది కాబట్టి ఇది లవములో 27 నుండి తీసివేయబడుతుంది

కాబట్టి, \(0.2\bar7\) = \(27 -2\over90\) = 25/90 = 5/18

ఇప్పుడు, 5/18 p/q రూపంలో ఉంది

అందువల్ల, దీనిని p/q 5/18 రూపంలో వ్యక్తీకరించవచ్చు.

లెక్కింపు:

హేతుబద్ధ సంఖ్య - p/q రూపంలో ఉండే సంఖ్య

ఇచ్చిన ఎంపిక ప్రకారం

⇒ \(√ {{3^2} + {4^2}} \) = √25 = 5 అనేది హేతుబద్ధ సంఖ్య

⇒ \( √ {12.96} \) = 3.6 ఒక హేతుబద్ధ సంఖ్య

⇒ √125 = 5√5 హేతుబద్ధ సంఖ్య కాదు

⇒ √900 = 30 అనేది హేతుబద్ధ సంఖ్య

∴ √125 హేతుబద్ధ సంఖ్య కాదు

ఇచ్చింది:

\(0.3\overline {35} \)

గణన:

x = \(0.3\overline {35} \) → (1)

రెండు సంఖ్యలు పునరావృతమవుతున్నందున, మనము రెండు వైపులా 100తో గుణిద్దాం.

⇒ 100x = 33.535

దీని నుండి సమీకరణం (1) తీసివేస్తే, మనకు లభిస్తుంది

⇒ 100x – x = 33.535 – 0.335

⇒ 99x = 33.200

⇒ x = \(\frac{33.2}{99}\) = \(\frac{332}{990}\)

కాబట్టి, \(0.3\overline {35} \) యొక్క భిన్న రూపం  \(\frac{332}{990}\).

⇒ 11025 = 52 × 212

⇒ 6025 = 52 × 241

⇒ 9025 = 52 × 192

⇒ 3025 = 52 × 112

ఇచ్చినది

√ 5 మరియు √ 7

భావన

అకరణీయ సంఖ్యలు అనేవి ముగిసే, ముగించని లేదా పునరావృతమయ్యే సంఖ్యలు.

గణన

√5 = 2.33 మరియు √7 = 2.64

అకరణీయ సంఖ్య 2.33... మరియు 2.64 మధ్య ఉంటుంది...

కాబట్టి, \(2{2\over5}\) మాత్రమే 2.33 మరియు 2.64 మధ్య ఉండే సంఖ్య

∴ \(2{2\over5}\) అనేది \(\sqrt{5}\) మరియు \(\sqrt{7}\) మధ్య ఉండే అకరణీయ సంఖ్య