विभाज्यता और शेषफल MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Divisibility and Remainder - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

कुल संख्याएँ = 90

संख्याएँ "9 से जुड़ी" हैं यदि:

9 से विभाज्य

अंकों का योग = 9

अंक 9 शामिल है। 

प्रयुक्त सूत्र:

9 से जुड़ी नहीं संख्याओं की कुल संख्या = कुल संख्याएँ - 9 से जुड़ी संख्याएँ

गणना:

9 से विभाज्य संख्याएँ: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 (10 संख्याएँ)

जिनके अंकों का योग = 9: (9 से विभाज्य में पहले ही गिना गया है)

जिनमें 9 अंक है: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 (8 और संख्याएँ)

⇒ कुल जुड़ी हुई संख्याएँ = 10 + 8 = 18

⇒ 9 से जुड़ी नहीं संख्याएँ = 90 - 18

⇒ 72

∴ सही उत्तर 72 है।

दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल = 9375

जब सबसे बड़ी संख्या को सबसे छोटी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो भागफल = 15

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए संख्याएँ y हैं।

इसलिए, x x y = 9375

और, x/y = 15

गणना:

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं जहाँ x > y, तो

xy = 9375 ...i)

प्रश्न के अनुसार

x = y × 15

समीकरण (i) में x का मान रखें

y × 15 × y = 9375

⇒ y2 = 9375/15

⇒ y = 9375/15

⇒ y = √625

⇒ y = 25

समीकरण (i) से

x = 9375/25

⇒ x = 375

∴ x और y का योग = 375 + 25 = 400

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Key Points 

दिया गया व्यंजक निश्चित रूप से 3 से विभाज्य है, क्योंकि 9, 3 से विभाज्य है।

3 से भाग देने के बाद, पद होंगे:

93/3 = 3 × 92

94/3 = 3 × 93

95/3 = 3 × 94

……आदि।

ये सभी पद विषम होंगे, क्योंकि इनमें से प्रत्येक में केवल विषम संख्याएँ गुणा हो रही हैं।

कुल मिलाकर, इन विषम पदों की संख्या 98 होगी, जिनका योग स्पष्ट रूप से सम होगा। इसलिए, परिणामी 2 से विभाज्य होगा।

इसलिए, मूल व्यंजक 3 और 2 दोनों से विभाज्य है। इसका अर्थ है कि यह 6 से भी विभाज्य होना चाहिए। इसलिए, शेषफल शून्य होगा।

दिया गया है:

हमें वह सबसे बड़ी दो अंकों वाली संख्या ज्ञात करनी है जिसमें 5 जोड़ने पर वह 4 और 5 दोनों से विभाज्य हो जाती है।

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि सबसे बड़ी दो अंकों वाली संख्या x है। शर्त यह है कि (x + 5) 4 और 5 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

इसका अर्थ है कि (x + 5) 4 और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य से विभाज्य होना चाहिए, जो कि 20 है।

गणना:

हमें दो अंकों वाली संख्याओं की सीमा में 20 का सबसे बड़ा गुणज (x + 5) प्राप्त करना है।

सबसे बड़ी दो अंकों वाली संख्या 99 है। इसलिए, हम 99 से नीचे की ओर जाँच करना शुरू करते हैं।

x = 94 के लिए,

⇒ (94 + 5 = 99)

99, 20 से विभाज्य नहीं है।

x = 93 के लिए,

⇒ (93 + 5 = 98)

98, 20 से विभाज्य नहीं है।

x = 88 के लिए,

⇒ (88 + 5 = 93)

93, 20 से विभाज्य नहीं है।

x = 75 के लिए,

⇒ (75 + 5 = 80)

80, 20 से विभाज्य है।

वह सबसे बड़ी दो अंकों वाली संख्या जिसमें 5 जोड़ने पर वह 4 और 5 दोनों से विभाज्य हो जाती है, 75 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

बहुपद P(x) = x¹⁰⁰ - 2x⁵¹ + 1

भाजक = x² - 1

प्रयुक्त सूत्र:

शेषफल प्रमेय कहता है कि यदि किसी बहुपद P(x) को (x - c) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल P(c) प्राप्त होता है।

द्विघात से विभाजन के लिए, हम विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग कर सकते हैं: P(x) = Q(x)D(x) + R(x), जहाँ D(x) भाजक है, Q(x) भागफल है, और R(x) शेषफल है।

R(x) की घात, D(x) की घात से कम होनी चाहिए। चूँकि D(x) = x² - 1 (घात 2) है, इसलिए शेषफल R(x) (Ax + B) के रूप का होगा।

गणना:

माना, P(x) = x¹⁰⁰ - 2x⁵¹ + 1

भाजक x² - 1 है। हम इसे (x - 1)(x + 1) के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं।

माना, शेषफल R(x) = Ax + B है, क्योंकि भाजक एक द्विघात (घात 2) है, शेषफल रैखिक (घात 1) या एक स्थिरांक होना चाहिए।

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार:

P(x) = Q(x)(x² - 1) + (Ax + B)

P(x) = Q(x)(x - 1)(x + 1) + (Ax + B)

अब, समीकरण में भाजक के मूल (x² - 1 = 0 ⇒ x = ±1) को प्रतिस्थापित करें।

जब x = 1:

P(1) = (1)¹⁰⁰ - 2(1)⁵¹ + 1

P(1) = 1 - 2(1) + 1

P(1) = 1 - 2 + 1

P(1) = 0

इसके अलावा, P(x) = Q(x)(x - 1)(x + 1) + (Ax + B) से, x = 1 प्रतिस्थापित करने पर:

P(1) = Q(1)(1 - 1)(1 + 1) + (A(1) + B)

P(1) = Q(1)(0)(2) + A + B

P(1) = A + B

इसलिए, हमारे पास हमारा पहला समीकरण है:

A + B = 0 ......(समीकरण 1)

जब x = -1:

P(-1) = (-1)¹⁰⁰ - 2(-1)⁵¹ + 1

चूँकि (-1)^{सम संख्या} = 1 और (-1)^{विषम संख्या} = -1:

P(-1) = 1 - 2(-1) + 1

P(-1) = 1 + 2 + 1

P(-1) = 4

इसके अलावा, P(x) = Q(x)(x - 1)(x + 1) + (Ax + B) से, x = -1 प्रतिस्थापित करने पर:

P(-1) = Q(-1)(-1 - 1)(-1 + 1) + (A(-1) + B)

P(-1) = Q(-1)(-2)(0) - A + B

P(-1) = -A + B

इसलिए, हमारे पास हमारा दूसरा समीकरण है:

-A + B = 4 ......(समीकरण 2)

अब, रैखिक समीकरणों (समीकरण 1 और समीकरण 2) के निकाय को हल करें:

A + B = 0

-A + B = 4

समीकरण 1 और समीकरण 2 जोड़ें:

(A + B) + (-A + B) = 0 + 4

2B = 4

B = 4 / 2 = 2

समीकरण 1 में B = 2 प्रतिस्थापित करें:

A + 2 = 0

A = -2

शेषफल R(x) Ax + B है।

R(x) = -2x + 2 = 2(1 - x)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है:

\((49^{15} - 1) \)

​प्रयुक्त अवधारणा:

an​​​​​​ - bn, (a + b) से विभाज्य है जब n एक सम धनात्मक पूर्णांक है।

यहां, a और b अभाज्य संख्या होनी चाहिए।

गणना:

\((49^{15} - 1) \)

⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)

⇒ \((7^{30} - 1) \)

यहाँ, 30 एक धनात्मक पूर्णांक है।

अवधारणा के अनुसार,

\((7^{30} - 1) \), (7 + 1) अर्थात् 8 से विभाज्य है।

∴ 8, \((49^{15} - 1) \) का भाजक है।

दिया गया है:

676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है। 

अवधारणा:

जब 676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो यह 3, 7 और 11 के लघुत्तम समापवर्त्य से भी विभाज्य होगा। 

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल 

गणना:

(3, 7, 11) लघुत्तम समापवर्त्य = 231

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 67699 लेकर उसे 231 से भाग देने पर।

∵ 67699 = 231 × 293 + 16

⇒ 67699 = 67683 + 16 

⇒ 67699 - 16 = 67683 (231 से पूर्णतः विभाज्य)

∴ 67683 = 676xy (जहाँ x = 8, y = 3)

(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3

⇒ 24 - 15 = 9 

∴ अभीष्ट परिणाम = 9

x² + ax + b को x - 5 से विभाजित करने पर शेषफल 34 प्राप्त होता है,

⇒ 5² + 5a + b = 34

⇒ 5a + b = 9      ----(1)

पुनः,

x² + bx + a को x - 5 से विभाजित करने पर शेषफल 52 प्राप्त होता है।

⇒ 5² + 5b + a = 52

⇒ 5b + a = 27      ----(2)

समीकरण (1) + (2) से हमें प्राप्त होता है,

⇒ 6a + 6b = 36

दिया गया है:

संख्याएँ 500 से 650 तक हैं जो न तो 3 से विभाज्य हैं और न ही 7 से विभाज्य हैं।

गणना:

3 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/3 → 166 (भागफल)

7 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/7 → 71 (भागफल)

21 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/21 → 23 (भागफल)

3 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/3 → 216 (भागफल)

7 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/7 → 92 (भागफल)

21 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/21 → 30 (भागफल)

⇒ 500 और 650 के बीच 3 से विभाज्य कुल संख्याएं = 216 - 166 = 50

⇒ 500 और 650 के बीच 7 से विभाज्य कुल संख्याएं = 92 - 71 = 21

⇒ 500 और 650 के बीच 21 से विभाज्य कुल संख्याएं = 30 - 23 = 7

500 और 650 के बीच कुल संख्याएं = 150 + 1 = 151

∴ अभीष्ट संख्या = 151 - (50 + 21 - 7) = 151 - 64 = 87

∴ 500 से 650 तक (दोनों को मिलाकर) ऐसी 87 संख्याएँ हैं जो न तो 3 से और न ही 7 से विभाज्य हैं। 

गणना:

संख्याएँ 8, 12 और 16 हैं जो संख्याओं को 400 और 500 के बीच विभाजित करती हैं और शेष 5 प्राप्त करती हैं।

विभिन्न संख्याओं के गुणज ज्ञात करने के लिए, हमें लघुतम समापवर्त्य का पता लगाना होगा।

8, 12, 16 का लघुतम समापवर्त्य

8 = 2³, 12 = 2² × 3, 16 = 2⁴

लघुतम समापवर्त्य = 2⁴ × 3 = 48

संख्या का स्वरूप = 48k + 5 (शेषफल)

400 और 500 के बीच की संख्या

सबसे छोटी संख्या = 48 × 9 + 5 = 437

सबसे बड़ी संख्या = 48 × 10 + 5 = 485

इसलिए,

संख्याओं का योग = 437 + 485

⇒ 922

∴ सही चुनाव विकल्प 1 है।

दिया है:

2384 को 17 से विभाजित किया गया है।

गणना:

2³⁸⁴ = 2^{(4 × 96)} = 16⁹⁶

हम जानते हैं कि जब 16 को 17 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल -1 प्राप्त होता है

जब 16⁹⁶ को 17 से विभाजित किया जाता है तब शेषफल = (-1)⁹⁶ = 1

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक 4 से विभाज्य हैं, तो वह संख्या 4 से विभाज्य होगी

गणना:

प्रश्न के अनुसार, संख्याएँ हैं

2332, 2552, 4664, 2772, 6776, 4884, 2992, और 6996

तो, abba के रूप में 8 ऐसी संख्याएँ हैं, जो 4 से विभाज्य हैं

∴ सही उत्तर 8 है

गलती अंक

यदि आप 20 पर समाप्त होने वाले उदाहरण पर विचार कर रहे हैं,

तो, 'abba' '0220' होगा, और 0220 चार अंकों की संख्या नहीं है।  

इसी प्रकार 40,60,80 पर समाप्त होने वाले उदाहरण के मामले में भी यही बात लागू होती है।

दिया गया है:

पाँच अंकों की संख्या 750PQ, 3, 7 और 11 से विभाज्य है।

प्रयुक्त अवधारणा:

लघुत्तम समापवर्त्य की अवधारणा

गणना:

3, 7 और 11 का लघुत्तम समापवर्त्य 231 है।

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 75099 लेकर उसमें 231 से भाग करने पर,

यदि हम 75099 को 231 से भाग करें तो हमें भागफल 325 और शेषफल 24 प्राप्त होता है।

तो, पाँच अंकों की संख्या 75099 - 24 = 75075

संख्या = 75075 और P = 7, Q = 5

अब,

P + 2Q = 7 + 10 = 17

∴ P + 2Q का मान 17 है।

दिया गया है:

यदि पांच अंकों की संख्या 247xy 3, 7 और 11 से विभाज्य है

गणना:

3, 7, 11 का लघुत्तम समापवर्त्य 231 है

प्रश्न के अनुसार

247xy का महत्तम संभावित मान 24799 है

जब हम 24799 को 231 से विभाजित करते हैं तो हमें 82 शेषफल प्राप्त होता है

संख्या = 24799 – 82

⇒ 24717

अब x = 1 और y = 7

(2y – 8x) = (2 × 7 – 8 × 1)

⇒ (14 – 8)

⇒ 6

∴ अभीष्ट मान 6 है

गणना:

(265)4081 + 9, 266 से विभाजित किया जाता है

⇒ (266 - 1)⁴⁰⁸¹ + 9

अब जब 266 से विभाजित किया जाता है,

⇒ \( (266 - 1)^{4081}\over 266\) + \(9 \over 266\)

पहले भिन्न से शेषफल (- 1)⁴⁰⁸¹ तथा दूसरे भिन्न से +9 होगा

पूर्ण शेषफल = - 1 + 9 = 8

∴ (265)4081 + 9 को 266 से विभाजित करने पर शेषफल 8 होगा।