Ordinary Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Ordinary Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE) का क्लेराउट रूप है

y = px + f(p) और इसका हल निम्न है

y = cx + f(c) जहाँ c स्वेच्छ अचर है

व्याख्या:

sin px cos y = cos px sin y + p

sin px cos y - cos px sin y = p

sin(px - y) = p (चूँकि sin A cos B - cos A sin B = sin(A - B))

px - y = sin^-1p

y = px - sin-1p जो क्लेराउट रूप है।

इसलिए, व्यापक हल है

y = cx - sin-1 c

विकल्प (2) सही है।

व्याख्या:

बेसेल फलनों की सर्वसमिका के अनुसार,

\(\rm \int_0^x J_0(t)J_1(x-t)dt\) = J0(x) - cos x

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

हम जानते हैं कि

Pn(x) Qn-2(x) - Qn(x) Pn-2(x) = \((2n-1)x\over n(n-1)\), जहाँ Pn(x) और Qn(x) क्रमशः प्रथम और द्वितीय प्रकार के लेजेंड्रे बहुपद हैं।

n = 5 रखने पर हमें मिलता है,

P5(x) Q3(x) - Q5(x) P3(x) = \(9x\over 5\times 4\) = \(\rm\frac{9}{20}x\)

अतः विकल्प (2) सही है।

व्याख्या:

अवकल समीकरण में x = 1 रखने पर

(1 - x²)P_n''(x) - 2xP_n'(x) + n(n + 1)P_n(x) = 0

हमें प्राप्त होता है

0 × Pn''(1) - 2Pn'(1) + n(n + 1)Pn(1) = 0

⇒ 2Pn'(1) = n(n + 1)Pn(1)

⇒ 2Pn'(1) = n(n + 1) (चूँकि Pn(1) = 1 है)

⇒ Pn'(1) = \(\rm \frac{n(n+1)}{2}\)

अतः विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

-y" + 5y = λy, y(0) = 0, y(π) = 0

⇒ y'' + (λ - 5)y = 0

λ - 5 = 0 के लिए, अर्थात λ = 5

y'' = 0

समाकलन करने पर, 

⇒ y = ax + b

y(0) = 0, y(π) = 0 का उपयोग करने पर, हमें a = b = 0 प्राप्त होता है,

इसलिए, हल y = 0 है अर्थात, तुच्छ हल

इसी प्रकार λ - 5 < 0 अर्थात, λ < 5 के लिए भी हमें तुच्छ हल प्राप्त होगा।

के लिए, λ - 5 > 0 अर्थात, λ > 5 मान लीजिए λ - 5 = k²

इसलिए ODE है,

y'' + (λ - 5)y = 0

⇒ y'' + k2 y = 0

सहायक समीकरण

m² + k2 = 0

⇒ m = ± ki

व्यापक हल

y = c₁cos(kx) + c₂sin(kx)

दिया गया है: y(0) = 0, y(π) = 0

y(0) = 0 ⇒ c₁ = 0

y(π) = 0 ⇒ c2sin(kπ) = 0

⇒ sin(kπ) = 0 (यदि c₂ ≠ 0)

⇒ sin(kπ) = sin(nπ)

⇒ k = n, n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ λ - 5 = n², n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ λ = 5 + n2, n ∈ \(\mathbb Z\)

इसलिए सबसे छोटी वास्तविक संख्या λ जिसके लिए दी गई समस्या का एक गैर-तुच्छ हल है, वह है:

λ = 6

विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

व्याख्या:

A = \(\left[\begin{array}{ll}5 & 4 \\1 & 2\end{array}\right]\)

tr(A) = 5 + 2 = 7 और det(A) = 10 - 4 = 6

आइगेन मान निम्न द्वारा दी गई हैं

λ² - tr(A)λ + det(A) = 0

λ2 - 7λ + 6 = 0

(λ - 1)(λ - 6) = 0

λ = 1, 6

आइगेन मान λ = 1 के संगत आइगेन सदिश निम्न द्वारा दिया गया है

\(\left[\begin{array}{ll}4 & 4 \\1 & 1\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{ll}u_1 \\u_2\end{array}\right]\) = 0

u₁ + u₂ = 0 ⇒ u1 = - u2

आइगेन सदिश u = \(\begin{bmatrix}-1 \\1\end{bmatrix}\)

आइगेन मान λ = 6 के संगत आइगेन सदिश निम्न द्वारा दिया गया है

\(\begin{bmatrix}-1 & 4 \\1 & -4\end{bmatrix}\)\(\left[\begin{array}{ll}v_1 \\v_2\end{array}\right]\) = 0

v1 - 4v2 = 0 ⇒ v1 = 4v2

आइगेन सदिश v = \(\left[\begin{array}{ll}4 \\1\end{array}\right]\)

इसलिए हल है

x(t) = c1\(\begin{bmatrix}-1 \\1\end{bmatrix}\)et + c2\(\left[\begin{array}{ll}4 \\1\end{array}\right]\)e6t

x(t) = \(\begin{bmatrix}-c_1e^t+4c_2e^{6t} \\c_1e^t+c_2e^{6t}\end{bmatrix}\)

e^t → ∞ जैसा t → ∞ साथ ही e6t → ∞ जैसा t → ∞

इसलिए x(t) किसी भी x0 ≠ 0 के लिए बंधा हुआ हल नहीं है

(1) गलत है।

e−6t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1e^{-5t}+4c_2 \\c_1e^{-5t}+c_2\end{bmatrix}\) → \(\begin{bmatrix}4c_2 \\c_2\end{bmatrix}\), 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है

इसलिए (2) गलत है।

e−t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1+4c_2e^{5t} \\c_1+c_2e^{5t}\end{bmatrix}\)→ \(\begin{bmatrix}-c_1 \\c_1\end{bmatrix}\), t → ∞ के रूप में ∞ की ओर प्रवृत्त नहीं होता है

(3) गलत है।

e−10t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1e^{-9t}+4c_2e^{-4t} \\c_1e^{-9t}+c_2e^{-4t}\end{bmatrix}\), t → ∞ के रूप में 0 की ओर प्रवृत्त होता है, सभी x0 ≠ 0 के लिए

विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

माना f ∶ ℝ2 → ℝ  स्थानीयतः लिपशिट्ज फलन है। प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करने पर,

ẋ = f(t, x), x(t0) = x0

 (t0, x0) ∈ ℝ2  के लिए,

पिकार्ड के प्रमेय का प्रयोग करने पर, हम जानते हैं कि हल अंतराल 

\(|x-x_o|< a ; |t-t_o|< b \)  में निहित हैं। 

जो एक विवृत्त अंतराल है। 

इसलिए, विकल्प (2) सही विकल्प है।

अवधारणा:

चर पृथक्करण अवकल समीकरण  \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\) प्रकार की प्रथम-कोटि की साधारण अवकल समीकरण है, जहां f(x) और g(y), x और y के सापेक्ष फलन हैं।

स्पष्टीकरण:

\(\rm x \frac{d y}{d x}=y\),  y(0) = 0, x > 0

⇒ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)

⇒ \(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)

अब, दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

logy = logx + logc

⇒ y=cx

(0,0) से गुजरता है

⇒ 0=0

⇒ अनन्त हल

संकल्पना:

व्याख्या:

A = \(\left[\begin{array}{ll}5 & 4 \\1 & 2\end{array}\right]\)

tr(A) = 5 + 2 = 7 और det(A) = 10 - 4 = 6

आइगेन मान निम्न द्वारा दी गई हैं

λ² - tr(A)λ + det(A) = 0

λ2 - 7λ + 6 = 0

(λ - 1)(λ - 6) = 0

λ = 1, 6

आइगेन मान λ = 1 के संगत आइगेन सदिश निम्न द्वारा दिया गया है

\(\left[\begin{array}{ll}4 & 4 \\1 & 1\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{ll}u_1 \\u_2\end{array}\right]\) = 0

u₁ + u₂ = 0 ⇒ u1 = - u2

आइगेन सदिश u = \(\begin{bmatrix}-1 \\1\end{bmatrix}\)

आइगेन मान λ = 6 के संगत आइगेन सदिश निम्न द्वारा दिया गया है

\(\begin{bmatrix}-1 & 4 \\1 & -4\end{bmatrix}\)\(\left[\begin{array}{ll}v_1 \\v_2\end{array}\right]\) = 0

v1 - 4v2 = 0 ⇒ v1 = 4v2

आइगेन सदिश v = \(\left[\begin{array}{ll}4 \\1\end{array}\right]\)

इसलिए हल है

x(t) = c1\(\begin{bmatrix}-1 \\1\end{bmatrix}\)et + c2\(\left[\begin{array}{ll}4 \\1\end{array}\right]\)e6t

x(t) = \(\begin{bmatrix}-c_1e^t+4c_2e^{6t} \\c_1e^t+c_2e^{6t}\end{bmatrix}\)

e^t → ∞ जैसा t → ∞ साथ ही e6t → ∞ जैसा t → ∞

इसलिए x(t) किसी भी x0 ≠ 0 के लिए बंधा हुआ हल नहीं है

(1) गलत है।

e−6t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1e^{-5t}+4c_2 \\c_1e^{-5t}+c_2\end{bmatrix}\) → \(\begin{bmatrix}4c_2 \\c_2\end{bmatrix}\), 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है

इसलिए (2) गलत है।

e−t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1+4c_2e^{5t} \\c_1+c_2e^{5t}\end{bmatrix}\)→ \(\begin{bmatrix}-c_1 \\c_1\end{bmatrix}\), t → ∞ के रूप में ∞ की ओर प्रवृत्त नहीं होता है

(3) गलत है।

e−10t|x(t)| = \(\begin{bmatrix}-c_1e^{-9t}+4c_2e^{-4t} \\c_1e^{-9t}+c_2e^{-4t}\end{bmatrix}\), t → ∞ के रूप में 0 की ओर प्रवृत्त होता है, सभी x0 ≠ 0 के लिए

विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

स्पष्टीकरण:

y' = -y2, y(0) = -1

यहाँ f(x, y) = -y2 और \(\partial f\over \partial y\) = -2y दोनों सतत हैं, तो पिकार्ड प्रमेय के अनुसार इसका एक अद्वितीय हल होना चाहिए, जिसमें 0 हो।​

अब, y' = -y2

⇒ \(dy\over -y^2\) = dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

\(\frac1y\) = x + c

y(0) = -1 का प्रयोग करने पर, हमें c = -1 प्राप्त होता है। 

अतः हल \(\frac1y\) = x - 1 ⇒ y = \(1\over(x-1)\)है। 

y, x = 1 पर परिभाषित नहीं है। 

यहाँ, अंतराल (-∞, 1) में केवल 0 है।

इसलिए IVP का अंतराल (-∞, 1)​ में अद्वितीय हल है। 

अतः (3) सही है। 

स्पष्टीकरण:

दिया गया है: x2y″(x) - 2y(x) = 0, y(1) = 1, y(2) = 1

व्यापक रूप से तुलना करने पर,

a = 1, b = 0, c = -2

सहायक समीकरण है,

m2 - m - 2 = 0

(m - 2)(m + 1) = 0

m = 2, -1

अतः व्यापक हल है,

\(y=c_1x^{2}+c_2x^{-1}\)

y(1) = 1, y(2) = 1 का प्रयोग करने पर,

1 = \(c_1+c_2\).....(i)

और \(1=4c_1+\frac{c_2}2\)....(ii)

(i) को 4 से गुणा करने और घटाने पर हमें प्राप्त होता है,

4 - 1 = \(4c_2-\frac{c_2}{2}\)

3 = \(\frac{7c_2}{2}\) ⇒ c₂ = \(\frac67\)

(i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

c₁ = \(\frac17\)

हल 

y = \(\frac17\)x² + \(\frac67\) x^-1

इसलिए, 

y(3) = \(\frac17\times9+\frac67\times \frac13\) = \(\frac{11}7\)

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

माना साधारण अवकल समीकरण (ODE) का निकाय इस प्रकार है  

\(\rm \frac{d x}{d t}=f(x,y)\)

\(\rm \frac{d y}{d t}=g(x,y)\)

फिर यदि जैकोबियन आव्यूह का आइगेनमान ​​​​है

(i) वास्तविक और दोनों धनात्मक तो क्रांतिक बिंदु अस्थिर नोड है। 

(ii) वास्तविक और दोनों ऋणात्मक तो क्रांतिक बिंदु उपगामी स्थिर नोड  है। 

स्पष्टीकरण:

साधारण अवकल समीकरण (ODE) का दिया गया निकाय है

\(\rm \frac{d x}{d t}=-4 x-y\)

\(\rm \frac{d y}{d t}=x-2 y\)

f(x, y) = -4x - y, g(x, y) = x - 2y

जैकोबियन (J) = \(\begin{bmatrix}f_x&f_y\\g_x&g_y\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}-4&-1\\1&-2\end{bmatrix}\)

इसलिए J के आइगेनमान ​​दिए गए हैं

x² - tr(J)x + det(J) = 0

x2 + 6x + 9 = 0

(x + 3)² = 0 

x = -3, -3

दोनों आइगेनमान ऋणात्मक हैं। 

इसलिए क्रांतिक बिंदु एक उपगामी स्थिर नोड है। 

(1) सही है।