Statistics & Exploratory Data Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Statistics & Exploratory Data Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Mar 10, 2025

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Latest Statistics & Exploratory Data Analysis MCQ Objective Questions

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 1:

(Xn, n ≥ 1) तथा X किसी प्रायिकता समष्टि पर यादृच्छिक चर हैं। मानिए कि Xn का X में अभिसरण प्रायिकता में होता है। निम्न में से कौन - से सत्य है?

  1. \(\left(\left|X_n-X\right|^2\right)\) → 0
  2. P(Xn ≤ x) → P(X ≤ x) सभी x ∈ ℝ 
  3. E (Min(1, \(\left|X_n-X\right|\))) → 0
  4. प्रायिकता 1 के साथ \(\left|X_n-X\right| \rightarrow 0\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 1 Detailed Solution

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 2:

आप कंपनी I तथा II में रु. 1000 निवेश करना चाहते हैं। यदि बाज़ार अच्छा है, तो कंपनी | द्वारा 50% का लाभांश घोषित होगा जबकि कंपनी ॥ द्वारा 30% घोषित होगा। यदि बाज़ार खराब है, कंपनी | द्वारा 10% का लाभांश जबकि कंपनी II द्वारा 20% लाभांश घोषित होगा। पूर्वानुमान है कि बाज़ार के सुधरने की प्रायिकता 0.4 तथा खराब होने की प्रायिकता 0.6 है। अपेक्षित लाभांश को अधिकतमीकृत करने के लिए निवेश होना चाहिए

  1. कंपनी I में रु. 1000 तथा कंपनी II में कुछ नहीं
  2. कंपनी । में कुछ नहीं तथा कंपनी II में रु. 1000
  3. प्रत्येक कंपनी में रु. 500
  4. रु.600 कंपनी । में तथा रु. 400 कंपनी II में

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 2 Detailed Solution

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 3:

ऐसी प्रणाली के विषय में सोचिए जिसके दो घटकों के जीवनकाल उनकी क्षय दर (hazard rate) λ के साथ i.i.d. चर घातांकी हैं। यदि इन घटकों को श्रेणी क्रम तथा समांतर क्रम में रखे जाने पर प्रणाली के क्षय फलन (hazard functions) h1 तथा h2 हों, तो निम्न में से कौन - से सत्य हैं?

  1. h2(t) < h1(t) सभी t > 0 के लिए
  2. h2(t) < λ सभी t > 0 के लिए
  3. h1(t) < λ सभी t > 0 के लिए
  4. hऐसा फलन है जो t के साथ दृढ़तः वृद्धिमान फलन है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 3 Detailed Solution

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 4:

एक डिज़ाईन जिसमें चार 'ट्रीटमेंट' और 2 प्लॉट प्रत्येकी तीन ब्लॉक वाले है, उसमें ट्रीटमेंट A तथा B ब्लॉक 1 तथा 3 को और ट्रीटमेंट C तथा D ब्लॉक 2 को दिया गया है। अत: परिणामी डिज़ाईन

  1. अपूर्ण है
  2. संबद्ध है
  3. अ - लंबकोणीय (non - orthogonal) है
  4. सभी 'एलीमेंटरी ट्रीटमेंट कन्ट्रास्ट' आकलनीय है.

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 4 Detailed Solution

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 5:

Y1, Y2, ..., YN ~ i.i.d. N(μ, σ2), मानें जहां μ तथा σअज्ञात हैं। Y1, Y2, ..., YN में से n साईज़ के एक SRSWR (μ1, μ2, ..., μn) एवं Y1, Y2, ..., YN में से n साईज़ के SRSWOR (v1, v2, ..., vn) पर विचार करें। Y = \(\sum_{i=1}^N Y_i=N \bar{Y}\) का आकलन करने के लिए \(\hat{Y}_{W R}=\frac{N}{n} \sum_{i=1}^n u_i\) तथा \(\hat{Y}_{W O R}=\frac{N}{n} \sum_{i=1}^n v_i\) को परिभाषित करें। तब निम्न में से कौन - से सत्य हैं?

  1. \(\hat{Y}\)wor का Y1, Y2, ..., YN पर सप्रतिबंध प्रसरण  \(\frac{N(N-n)}{n(N-1)} \sum_{i=1}^N\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2\) है
  2. \(\hat{Y}\)wor का Y1, Y2, ..., Yपर सप्रतिबंध प्रसरण  \(\frac{N(N-n)}{n(N-1)} \sum_{i=1}^N\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2\) है
  3. \(\hat{Y}\)wor का अप्रतिबंध प्रसरण  \(\frac{N(N-1)}{n} \sigma^2\) है
  4. \(\hat{Y}\)wor का अप्रतिबंध प्रसरण \(\frac{N^2}{n} \sigma^2\) है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 5 Detailed Solution

Top Statistics & Exploratory Data Analysis MCQ Objective Questions

मानें कि X1, X2, X3 तथा X4 स्वतंत्र तथा सर्वथा समबंटित बर्नूली \(\left(\frac{1}{3}\right)\) यादृच्छिक चर हैं। मानें कि X(1), X(2), X(3) तथा X(4) तदनुसार संगत क्रम सांखियकी दर्शाते है। निम्न में से कौन-सा सत्य है?

  1. X(1) तथा X(4) स्वतंत्र हैं।
  2. X(2) की प्रत्याशा \(\frac{1}{2}\) है।
  3. X(2) का प्रसरण \(\frac{8}{81}\) है।
  4. X(4) एक अपभष्ट यादृच्छिक चर है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : X(2) का प्रसरण \(\frac{8}{81}\) है।

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 6 Detailed Solution

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सही उत्तर विकल्प 3 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

प्रसामान्य बंटन में से माध्य μ ∈ (−∞, 5] तथा प्रसरण 1 वाले आकार 3 के यादृच्छिक प्रतिदर्श {3, 6, 9} पर विचार करें। तब μ का अधिकतम संभाविता आकलन (maximum likelihood estimate) _______ है।

  1. 6
  2. 5
  3. 3
  4. 9

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 5

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

सामान्य वितरण के माध्य का अधिकतम संभाविता अनुमानक \(\hat \mu=\frac{\sum x}{n}\) है।

व्याख्या:

माध्य μ और प्रसरण 1 वाले सामान्य वितरण से आकार 3 का एक यादृच्छिक नमूना {3, 6, 9} दिया गया है।

इसलिए μ का अधिकतम संभावना अनुमान = \(\frac{\sum x}{n}\) = \(\frac{3+6+9}{3}\) = 6

लेकिन दिया गया है μ ∈ (−∞, 5] इसलिए μ का अधिकतम संभाविता अनुमान 6 नहीं हो सकता है।

अब चूँकि 5 (−∞, 5] में अधिकतम मान है

इसलिए μ का अधिकतम संभावना अनुमान 5 है।

विकल्प (2) सही है।

निम्न में से कौन-सा फलन एक वैध संचयी बंटन है?

  1. F(x) = \(\begin{cases}\rm \frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\\rm \frac{2+x^2}{3+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)
  2. F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{2+x^2}{3+2 x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)
  3. F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0 \text {, } \\ \rm\frac{2 \cos (x)+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)
  4. F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{1+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : F(x) = \(\begin{cases}\rm \frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\\rm \frac{2+x^2}{3+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 8 Detailed Solution

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अवधारणा:

मान लें कि F(x) एक संचयी वितरण फलन है तो

(i) \(\lim_{x\to-\infty}F(x)\) = 0, \(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = 1

(ii) F एक गैर-ह्रासमान फलन है

स्पष्टीकरण:

(2): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{2+x^2}{3+2 x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

\(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2+x^2}{3+2x^2}\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{4x}\) = \(\frac12\) (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके), संतुष्ट नहीं करता

विकल्प (2) गलत है

(3): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0 \text {, } \\ \rm\frac{2 \cos (x)+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

\(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2\cos x+x^2}{4+x^2}\)

= \(\lim_{x\to\infty}\frac{-2\sin x+2x}{2x}\) (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

= \(\lim_{x\to\infty}(-\frac{\sin x}{x}+1)\) - 1 + 1 = 0, संतुष्ट नहीं

विकल्प (3) गलत है

(4): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{1+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

f(0-) = 1/2 और f(0+) = 1/4 और \(\frac12>\frac14\) इसलिए F(x) गुण "F एक गैर-ह्रासमान फलन है" को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (4) गलत है

इसलिए विकल्प (1) सही है।

मानें कि X, λ माध्य वाला प्वासों यादच्छिक चर है। निम्न में से कौन-सा प्राचलिक फलन आकलनीय नहीं है?

  1. λ−1
  2. λ
  3. λ2
  4. e−λ​

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : λ−1

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक प्राचलिक फलन f(λ) को अनुमानित कहा जाता है यदि g(X) मौजूद है जैसे कि E(g(X)) = f(λ) अन्यथा इसे अनुमानित नहीं कहा जाता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X एक प्वासों यादृच्छिक चर है जिसका माध्य λ है

इसलिए E(X) = λ और Var(X) = λ

हमें वह प्राचलिक फलन ज्ञात करना है जो अनुमानित नहीं है।

(2): E(X) = λ तो यहां हमें एक फलन g(X) = X मिल रहा है।

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (2) गलत है।

(3): E(X2) = [E(X)]2 + Var(X) = λ2 + λ

इसलिए E(X2 - X) = E(X2) - E(X) = λ2 + λ - λ = λ2

यहां हमें फलन g(X) = X2 - X मिल रहा है

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (3) गलत है।

(4): E\((∑ \frac{(-1)^x\lambda^x}{x!})\) = e−λ​

यहां हमें फलन g(X) = \((∑ \frac{(-1)^x\lambda^x}{x!})\)

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

मानें कि θ ∈ R के लिए, X1, X2, …, Xn स्वतंत्र रूप से तथा सर्वथा समवंटित N(θ, 1) यादृच्छिक चर हैं। मानें कि X̅ = n−1 \(\rm\displaystyle\sum_{i=1}^n\) Xi पतिदर्श का माध्य दर्शाता है तथा t0.975, n−1 स्टूडेंट-1 परीक्षण का 0.975 विभाजक दर्शाता है जिसकी n − 1 स्वांत्य कोटि हैं। लिम्न अंतराल के लिए दिये बक्तक्यों मैं से कौन सा सही है

X̅ ± t.975, n−1 \(\rm\frac{1}{\sqrt{n}}\)?

  1. यह अंतराल यथायथ 0.95 विश्वास्यता स्तर के साय θ के लिए विश्वास्यता अंतराल है।
  2. यह अंतराल θ का 0.95 से कर्म विश्वास्थता स्तर वाला विश्यास्थता अंतराल है।
  3. यह अंतराल θ का 0.95 से अचिक विश्वास्थता स्तर वाला विश्चास्यता अंतराल है।
  4. यह अंतराल विश्यास्थता अंतराल नही है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : यह अंतराल θ का 0.95 से अचिक विश्वास्थता स्तर वाला विश्चास्यता अंतराल है।

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 10 Detailed Solution

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व्याख्या:

दिया गया है कि X1, X2, …, Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित N(θ, 1) हैं

X̅ = n−1 \(\rm\displaystyle\sum_{i=1}^n\) Xi

t0.975, n−1, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाले छात्र के t-वितरण का 0.975-क्वांटाइल दर्शाता है।

इसलिए यहां विश्वास अंतराल 0.975 है जो 0.95 से अधिक है।

इसलिए महत्व का स्तर = 2.25%

इसलिए विकल्प (3) सही है

मानें कि X = (X1, X2, X3, X4)T का बहुचर प्रसामान्य N4(0, I2 ⊗ Σ) है, जहां I2 तत्समक 2 × 2 आव्यूह है, ⊗ क्रोनेकर गुणनफल है, तथा Σ = \(\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]\) है। परिभाषित करें कि Z = \(\left(\begin{array}{ll} \rm X_1 & \rm X_2 \\ \rm X_3 & \rm X_4\end{array}\right)\) तथा Q = ((Qij)) = ZTZ है। मानें कि \(\rm χ_n^2\) स्यातंत्य कोटि n वाला काई-वर्ग यादृच्छिक विचर, तथा Wm(n, Σ) प्राचलों n एवं Σ के साथ m कोटि का विशार्ट बंटन है। (Q11 + Q12 + Q21 + Q22) का बंटन ____ है।

  1. W1(2, 2)
  2. W1(1, 2)
  3. W1(2, 1)
  4. \(2\rm χ_n^2\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : W1(2, 2)

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 11 Detailed Solution

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सही उत्तर विकल्प 1 है।

हम मुख्य रूप से अनुप्रयुक्त और शुद्ध गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

मार्कोव श्रृंखला X0, X1, X2, .... पर विचार करें जिसकी अवस्था समष्ठि S है।

i, j ∈ S दो ऐसी अवस्थायें हैं जो एक दूसरे के साथ संपर्क करती हैं। निम्न में से कौन सा वक्तव्य सत्य नहीं है?

  1. i का 'पीरियड = j का 'पीरियड'
  2. i पुनरावर्ती है यदि और केवल यदि j पुनरावर्ती है
  3. \(\lim _{n \rightarrow \infty}\) P(Xn = i | X= k) = \(\lim _{n \rightarrow \infty}\) P(Xn = j | X= k) सभी k ∈ S के लिए
  4. \(\lim _{n \rightarrow \infty}\) P(Xn = j | X= i) = \(\lim _{n \rightarrow \infty}\) P(Xn = j | X= j)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\lim _{n \rightarrow \infty}\) P(Xn = i | X= k) = \(\lim _{n \rightarrow \infty}\) P(Xn = j | X= k) सभी k ∈ S के लिए

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 12 Detailed Solution

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मानें कि X = (X1, X2)T द्विचर प्रसामान्य बंटन का पालन करता है जबकि माध्य सदिश (0, 0)T तथा सह प्रसरण आव्यूह Σ इस प्रकार है कि

Σ = \(\left[\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -3 & 10 \end{array}\right]\)

Y = (X1, 5 − 2X2)T के माध्य सदिश तथा सह्र-प्रसरण आव्यूह _______ हैं।

  1. \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 5\end{array}\right),\left[\begin{array}{cc}5 & -3 \\ -3 & 40\end{array}\right]\)
  2. \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 5\end{array}\right),\left[\begin{array}{cc}5 & -6 \\ -6 & 20\end{array}\right]\)
  3. \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 5\end{array}\right),\left[\begin{array}{cc}5 & 3 \\ 3 & 20\end{array}\right]\)
  4. \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 5\end{array}\right),\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\ 6 & 40\end{array}\right]\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 5\end{array}\right),\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\ 6 & 40\end{array}\right]\)

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 13 Detailed Solution

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अवधारणा:

Y = \(\begin{bmatrix}Y_1\\Y_2\end{bmatrix}\) का माध्य सदिश E(Y) = \(\begin{bmatrix}E(Y_1)\\E(Y_2)\end{bmatrix}\) है और Y का सहप्रसरण आव्यूह Σ = \(\begin{bmatrix}var(Y_1)&cov(Y_1, Y_2)\\cov(Y_1, Y_2)&var(Y_2)\end{bmatrix}\) है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X = (X1, X2)T का माध्य सदिश (0, 0)T है और सहप्रसरण आव्यूह Σ इस प्रकार है कि Σ = \(\left[\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -3 & 10 \end{array}\right]\)

इसलिए

E(X1) = 0, E(X2) = 0, var(X1) = 5, var(X2) = 10........(i)

cov(X1X2) = cov(X2X1) = -3................................(ii)

अब, cov(X1X2) = -3

⇒ E(X1X2) - E(X1)E(X2) = -3

⇒ E(X1X2) - 0 = -3 (i का उपयोग करके)

⇒ E(X1X2) = -3 ..........(iii)

Y = (X1, 5 − 2X2)T

मान लीजिए Y = (Y1, Y2)T

तो Y1 = X1 और Y2 = 5 − 2X2.......(iv)

अब, E(Y1) = E(X1) = 0 और E(Y2) = 5 - 2E(X2) = 5 - 0 =5

इसलिए Y का माध्य सदिश \(\begin{bmatrix}E(Y_1)\\E(Y_2)\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0\\5\end{bmatrix}\).......(v)

साथ ही var(Y1) = var(X1) = 5

var(Y2) = var(5 - 2X2) = 0 + 4var(X2) = 4 × 10 = 40

cov(Y1Y2) = E(Y1Y2) - E(Y1)E(Y2)

= E(5X1 - 2X1X2) - 0 (i और ii का उपयोग करके)

= 5E(X1) - 2E(X1X2) = 0 + 6 = 6 (i और iii का उपयोग करके)

साथ ही cov(Y2Y1) = 6

इसलिए Y का सहप्रसरण आव्यूह \(\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\ 6 & 40\end{array}\right]\) है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

मानें कि X1, …, X7 तथा Y1, …, Y9 क्रमशः संतत CDFs वाली दो समष्टियां F तथा G से स्वतंत्र रूप से निकाले गए दो यादृच्छिक प्रतिदर्श हैं। निम्न दो प्रतिदर्श परीक्षण समस्या के संदर्भ में वाल्ड-बुल्फोवित्स रन परीक्षण पर विचार करें: H0: F(x) = G(x) ∀ x vs. H1: F(x) ≠ G(x), किसी x के लिए। यदि याद्छिक चर R दिये गये दो प्रतिदर्शों के संयुक्त क्रमिक विन्यास के कुल रन (runs) की संख्या हो तो निम्न में से कौन सा सत्य है?

  1. PH0(R = 6) = \(\frac{28}{286}\), PH0(R = 9) = \(\frac{28}{143}\)
  2. PH0(R = 6) = \(\frac{21}{286}\), PH0(R = 9) = \(\frac{15}{280}\)
  3. PH0(R = 6) = \(\frac{21}{286}\), PH0(R = 9) = \(\frac{28}{143}\)
  4. PH0(R = 6) = \(\frac{21}{286}\), PH0(R = 9) = \(\frac{15}{286}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : PH0(R = 6) = \(\frac{21}{286}\), PH0(R = 9) = \(\frac{28}{143}\)

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 14 Detailed Solution

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सही उत्तर विकल्प 3 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

मानें कि {ϵn ∶ n ≥ 1}, पासे को स्वतंत्र रूप से फेंके जाने पर, सतह i के ऊपर आने की प्रायिकता pi > 0 होने पर जहां i = 1, 2, …, 6 तथा \(\rm\displaystyle\sum_{i = 1}^6\) pi = 1 है, मिलने वाला परिणाम बताता है। मानें कि {Xn ∶ n ≥ 0} अवस्था समष्टि {1, 2, …, 6} पर मार्कोव श्रृंखला है जहां Xn = max {ϵ1, ϵ2, …, ϵn+1} है, तब \(\rm\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\) P(Xn = 4∣X0 = 3) निम्न के बराबर है-

  1. p4
  2. 1
  3. 1 − p3
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Statistics & Exploratory Data Analysis Question 15 Detailed Solution

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सही उत्तर विकल्प 4 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

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