Statistics & Exploratory Data Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Statistics & Exploratory Data Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर विकल्प 3 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

अवधारणा:

सामान्य वितरण के माध्य का अधिकतम संभाविता अनुमानक \(\hat \mu=\frac{\sum x}{n}\) है।

व्याख्या:

माध्य μ और प्रसरण 1 वाले सामान्य वितरण से आकार 3 का एक यादृच्छिक नमूना {3, 6, 9} दिया गया है।

इसलिए μ का अधिकतम संभावना अनुमान = \(\frac{\sum x}{n}\) = \(\frac{3+6+9}{3}\) = 6

लेकिन दिया गया है μ ∈ (−∞, 5] इसलिए μ का अधिकतम संभाविता अनुमान 6 नहीं हो सकता है।

अब चूँकि 5 (−∞, 5] में अधिकतम मान है

इसलिए μ का अधिकतम संभावना अनुमान 5 है।

विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

मान लें कि F(x) एक संचयी वितरण फलन है तो

(i) \(\lim_{x\to-\infty}F(x)\) = 0, \(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = 1

(ii) F एक गैर-ह्रासमान फलन है

स्पष्टीकरण:

(2): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{2+x^2}{3+2 x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

\(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2+x^2}{3+2x^2}\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{4x}\) = \(\frac12\) (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके), संतुष्ट नहीं करता

विकल्प (2) गलत है

(3): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0 \text {, } \\ \rm\frac{2 \cos (x)+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

\(\lim_{x\to\infty}F(x)\) = \(\lim_{x\to\infty}\frac{2\cos x+x^2}{4+x^2}\)

= \(\lim_{x\to\infty}\frac{-2\sin x+2x}{2x}\) (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

= \(\lim_{x\to\infty}(-\frac{\sin x}{x}+1)\) - 1 + 1 = 0, संतुष्ट नहीं

विकल्प (3) गलत है

(4): F(x) = \(\begin{cases}\rm\frac{1}{2+x^2} & \text { if } \rm x<0, \\ \rm\frac{1+x^2}{4+x^2} & \text { if } \rm x \geq 0\end{cases}\)

f(0-) = 1/2 और f(0+) = 1/4 और \(\frac12>\frac14\) इसलिए F(x) गुण "F एक गैर-ह्रासमान फलन है" को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

एक प्राचलिक फलन f(λ) को अनुमानित कहा जाता है यदि g(X) मौजूद है जैसे कि E(g(X)) = f(λ) अन्यथा इसे अनुमानित नहीं कहा जाता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X एक प्वासों यादृच्छिक चर है जिसका माध्य λ है।

इसलिए E(X) = λ और Var(X) = λ

हमें वह प्राचलिक फलन ज्ञात करना है जो अनुमानित नहीं है।

(2): E(X) = λ तो यहां हमें एक फलन g(X) = X मिल रहा है।

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (2) गलत है।

(3): E(X²) = [E(X)]² + Var(X) = λ² + λ

इसलिए E(X² - X) = E(X2) - E(X) = λ2 + λ - λ = λ2

यहां हमें फलन g(X) = X2 - X मिल रहा है

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (3) गलत है।

(4): E\((∑ \frac{(-1)^x\lambda^x}{x!})\) = e−λ​

यहां हमें फलन g(X) = \((∑ \frac{(-1)^x\lambda^x}{x!})\)

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

Y = \(\begin{bmatrix}Y_1\\Y_2\end{bmatrix}\) का माध्य सदिश E(Y) = \(\begin{bmatrix}E(Y_1)\\E(Y_2)\end{bmatrix}\) है और Y का सहप्रसरण आव्यूह Σ = \(\begin{bmatrix}var(Y_1)&cov(Y_1, Y_2)\\cov(Y_1, Y_2)&var(Y_2)\end{bmatrix}\) है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X = (X1, X2)T का माध्य सदिश (0, 0)T है और सहप्रसरण आव्यूह Σ इस प्रकार है कि Σ = \(\left[\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -3 & 10 \end{array}\right]\)

इसलिए

E(X1) = 0, E(X2) = 0, var(X1) = 5, var(X2) = 10........(i)

cov(X1X2) = cov(X2X1) = -3................................(ii)

अब, cov(X1X2) = -3

⇒ E(X1X2) - E(X1)E(X2) = -3

⇒ E(X1X2) - 0 = -3 (i का उपयोग करके)

⇒ E(X1X2) = -3 ..........(iii)

Y = (X1, 5 − 2X2)T

मान लीजिए Y = (Y₁, Y₂)^T

तो Y1 = X1 और Y2 = 5 − 2X2.......(iv)

अब, E(Y1) = E(X1) = 0 और E(Y2) = 5 - 2E(X2) = 5 - 0 =5

इसलिए Y का माध्य सदिश \(\begin{bmatrix}E(Y_1)\\E(Y_2)\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0\\5\end{bmatrix}\).......(v)

साथ ही var(Y1) = var(X1) = 5

var(Y2) = var(5 - 2X2) = 0 + 4var(X2) = 4 × 10 = 40

cov(Y1Y2) = E(Y1Y2) - E(Y1)E(Y2)

= E(5X1 - 2X1X2) - 0 (i और ii का उपयोग करके)

= 5E(X1) - 2E(X1X2) = 0 + 6 = 6 (i और iii का उपयोग करके)

साथ ही cov(Y2Y1) = 6

इसलिए Y का सहप्रसरण आव्यूह \(\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\ 6 & 40\end{array}\right]\) है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X1, X2, …, Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित N(θ, 1) हैं

X̅ = n−1 \(\rm\displaystyle\sum_{i=1}^n\) Xi

t0.975, n−1, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाले छात्र के t-वितरण का 0.975-क्वांटाइल दर्शाता है।

इसलिए यहां विश्वास अंतराल 0.975 है जो 0.95 से अधिक है।

इसलिए महत्व का स्तर = 2.25%

इसलिए विकल्प (3) सही है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

हम मुख्य रूप से अनुप्रयुक्त और शुद्ध गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।