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मानें कि y0 > 0, z0 > 0 तथा α > 1

निम्न दो अवकलन समीकरणों पर विचार करें:

\(\begin{aligned} &(*)\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}=y^\alpha \quad \text { for } t>0, \\ y(0)=y_0 \end{array}\right. \\ &(* *)\left\{\begin{array}{l} \frac{d z}{d t}=-z^\alpha \quad \text { for } t>0, \\ z(0)=z_0 \end{array}\right. \end{aligned}\)

हमारा कहना है कि अवकल समीकरण का हल सार्वत्रिक होगा यदि यह सभी t > 0 के लिए अस्तित्व में है।

निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?

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CSIR-UGC (NET) Mathematical Science: Held on (26 Nov 2020)
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  1. (*) तथा (**) दोनों के सार्वत्रिक हल हैं
  2. (*) तथा (**) किसी का भी सार्वत्रिक हल नहीं है
  3. (*) के लिए एक सार्वत्रिक हल है तथा एक T < ∞ इस तरह का है कि \(\lim _{t \rightarrow T}|z(t)|=+∞\)
  4. (**) के लिए एक सार्वत्रिक हल है तथा कोई T < ∞ इस प्रकार का है कि \(\lim _{t \rightarrow T}|y(t)|=+∞\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : (**) के लिए एक सार्वत्रिक हल है तथा कोई T < ∞ इस प्रकार का है कि \(\lim _{t \rightarrow T}|y(t)|=+∞\)
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