मान लीजिए कि ϕ सीमा मान समस्या (BVP) का हल है
\(\rm \left\{\begin{matrix}(xy')'-2y'+\frac{y}{x}=1,&1<x<e^4\\\ y(1)=0, y(e^4)=4e^4\end{matrix}\right.\)

तब ϕ(e) का मान है:

संप्रत्यय:

द्वितीय-कोटि अवकल समीकरण: पहले समघात समीकरण को हल करें, फिर विशेष हल ज्ञात करें।

सीमा मान समस्याएँ: सामान्य हल में स्थिरांक निर्धारित करने के लिए परिसीमा प्रतिबंधों का उपयोग करें।

व्याख्या:
\((xy')' - 2y' + \frac{y}{x} = 1, \quad 1 < x < e^4\)

परिसीमा प्रतिबंधों के साथ \(y(1) = 0, \quad y(e^4) = 4e^4\)

समीकरण को फिर से लिखने पर:

समीकरण को सरलीकृत किया गया है

\(x^2 y'' - xy' + y = x\)

मान लीजिए x = e^z तब यह बन जाता है

⇒ {D'(D' - 1) - D' + 1}y = e^z

⇒ (D'² - 2D' + 1)y = e^z

सहायक समीकरण है,

m² - 2m + 1 = 0

⇒ \((m-1)^2 = 0\)

⇒ \(m = 1,1 \)

CF = C₁e^z + C₂ze^z

अर्थात्, CF = \( C_1 x + C_2 x \ln(x)\)

PI = \({1\over (D'^2-2D'+1)}e^z\)

= \(e^z{1\over ((D'+1)^2-2(D'+1)+1)}.1\)

= \(e^z{1\over D'^2}.1\)

= \({z^2\over 2}e^z\) = \(\frac {x(\ln x)^2}{2}\)

\( y(x) = C_1 x + C_2 x \ln(x) \)+ \(\frac {x(ln x)^2}{2}\)

सीमा शर्तों को लागू करने पर:

y(1) = 0:

\(C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 1 \ln(1) + \frac{1^2}{2}.0 = 0\)

⇒ \(C_1 = 0\)

\(y(e^4) = 4e^4 \):

\(\frac{1}{2} e^4 + C_2 e^4 \ln(e^4) + e^4\frac{(ln e^4)^2}{2} = 4e^4\)

⇒ \( C_2 e^4 \cdot 4 + 8{e^4} = 4e^4\)

⇒ \(c_2 = -1\)

\(y(x) = -x ln x + \)\(\frac {x(ln x)^2}{2}\)

⇒ \(y(e) = -e +\frac{e}{2}\)

⇒ \(y(e) = - \frac{e}{2}\)

इसलिए, विकल्प 1) सही है।