Multiple Angle MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiple Angle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

A = 15°

व्यंजक = (11√2 cos(3A) + 10 sin(2A)) / (7√3 sin(4A))

प्रयुक्त सूत्र:

A = 15° पर cos(3A), sin(2A), और sin(4A) के त्रिकोणमितीय मानों का प्रयोग कीजिए।

गणनाएँ:

व्यंजक में A = 15° प्रतिस्थापित कीजिए:

cos(3A) = cos(45°) = √2 / 2

sin(2A) = sin(30°) = 1/2

sin(4A) = sin(60°) = √3 / 2

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए:

(11√2 × (√2 / 2) + 10 × (1/2)) / (7√3 × (√3 / 2))

⇒ (11 × 1 + 5) / (7 × 3 / 2)

⇒ (16) / (21 / 2)

⇒ (16 × 2) / 21

⇒ 32 / 21

व्यंजक का मान 32/21 है।

दिया गया है:

यदि 4tanθ - 3 = 0 है, तो (1 - cos2θ)/(1 + cos2θ) का मान ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

4tanθ - 3 = 0

tanθ = 3/4

हम जानते हैं, tan²θ = (1 - cos2θ) / (1 + cos2θ)

गणना:

4tanθ - 3 = 0

⇒ 4tanθ = 3

⇒ tanθ = 3/4

हम जानते हैं, tan²θ = (1 - cos2θ) / (1 + cos2θ)

⇒ tan²θ = (3/4)²

⇒ (1 - cos2θ) / (1 + cos2θ) = 9/16

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

\(\frac{1 - sin(2t)}{1 + sin(2t)} \times \frac{cos(t) + sin(t)}{cos(t) - sin(t)}\)

प्रयुक्त सूत्र:

sin 2t = 2 sint cost, 

cos 2t = 1 - 2 sin²t 

गणना:

\(\frac{1 - sin(2t)}{1 + sin(2t)} \times \frac{cos(t) + sin(t)}{cos(t) - sin(t)}\)

दूसरे पद से गुणा करने पर:

\(\frac{cos(t) + sin(t) - sin(2t)[cos(t) + sin(t)]}{cos(t) - sin(t) + sin(2t)[cos(t) - sin(t)]} \)

सूत्र sin 2t = 2 sint cost का उपयोग करने पर:

\(\frac{cos(t) + sin(t) - 2sin(t)cos^2(t) -2 sin^2(t)cos(t)]}{cos(t) - sin(t) + 2sin(t)cos^2(t) -2 sin^2(t)cos(t)]} \)

\(\frac{cos(t)[1 -2 sin^2(t)] - sin(t)[2cos^2(t) - 1]}{cos(t)[1 -2 sin^2(t)] + sin(t)[2cos^2(t) - 1]]} \)

\(\frac{cos(t) . cos(2t) - sin(t) . cos(2t)}{cos(t) . cos(2t) + sin(t) . cos(2t)} \)

cos(2t) को उभयनिष्ठ लीजिए और अंश और हर में निरस्त कीजिए:

\(\frac{cos(t) - sin(t) }{cos(t) + sin(t)} \)

cos(t) से विभाजित कीजिए:

\(\frac{1 - \tan(t)}{1 + \tan(t)}\)

सही उत्तर विकल्प 2 है। 

दिया गया:

यदि tan 4θ × tan 6θ = 1, जहाँ 6θ एक न्यून कोण है, हमें cot 5θ का मान ज्ञात करना है।

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

यदि tan(A) × tan(B) = 1, तो A + B = 90° (कोण पूरक हैं)।

cot(θ) = 1/tan(θ).

समाधान:

दी गई शर्त का उपयोग करें:

tan 4θ × tan 6θ = 1

यह संकेत करता है:

4θ + 6θ = 90°

10θ = 90°

θ = 9°

cot 5θ ज्ञात करें:

cot 5θ = cot(5 × 9°)

cot 5θ = cot 45°

हम जानते हैं कि cot 45° = 1.

cot 5θ का मान = 1.

गणना:

\(\rm \sqrt{\frac{1-\sin 3\theta}{1+\sin 3\theta}} \)

⇒ θ = 15° रखने पर,

\(\rm \sqrt{\frac{1-\sin 3\theta}{1+\sin 3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{1-\sin 45}{1+\sin 45}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{1-\ (1/\sqrt2)}{1+\ (1/\sqrt2)}} \) = \(\rm \sqrt{\frac{\sqrt2 \ - \ 1}{\sqrt2\ + \ 1}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{\sqrt2 \ - \ 1}{\sqrt2\ + \ 1} \times\frac{\sqrt2 \ - \ 1}{\sqrt2\ - \ 1}}\)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{(\sqrt2 \ - \ 1)^2}{2-1}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{(\sqrt2 \ - \ 1)^2}\)

⇒ √2 - 1

पुनः, विकल्प 1 में, θ = 15° रखने पर हमें प्राप्त होता है:

sec 3θ - tan 3θ = sec 45° - tan 45°

⇒ √2 - 1

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है। 

Alternate Method

\(\rm \sqrt{\frac{1-\sin 3\theta}{1+\sin 3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{{\frac{1-\sin 3\theta}{1+\sin 3\theta}} \times\frac{1-sin3\theta}{1-sin3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{(1-\sin 3\theta)^2}{1^2-\sin^2 3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{(1-\sin 3\theta)^2}{cos^2 3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{(\frac{1-\sin 3\theta}{cos 3\theta}})^2 \)

⇒ \(\frac{1 - sin3\theta}{cos3\theta}\)

⇒ \(\frac{1}{cos3\theta}-\frac{sin3\theta}{cos3\theta}\)

⇒ sec 3θ - tan 3θ

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है। 

दिया गया है:

sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x 

प्रयुक्त सूत्र:

sin C + sin D = 2 × sin (C + D)/2 × cos (C - D)/2

cos 2θ = (2 × cos2 θ  - 1)

गणना:

sin 6x + sin 2x + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin (6x + 2x)/2 × cos (6x - 2x)/2 + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin 4x × cos 2x + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin 4x (cos 2x + 1)

⇒ 2 × sin 4x {(2 × cos2x - 1) + 1) }

⇒ (2 × sin 4x) × (2 × cos2 x) 

⇒ 4 cos2 ×  sin 4x

∴ सही उत्तर 4 cos2 × sin 4x है।

गणना:

\(\rm \sqrt{\frac{1-\sin 3\theta}{1+\sin 3\theta}} \)

⇒ θ = 15° रखने पर,

\(\rm \sqrt{\frac{1-\sin 3\theta}{1+\sin 3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{1-\sin 45}{1+\sin 45}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{1-\ (1/\sqrt2)}{1+\ (1/\sqrt2)}} \) = \(\rm \sqrt{\frac{\sqrt2 \ - \ 1}{\sqrt2\ + \ 1}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{\sqrt2 \ - \ 1}{\sqrt2\ + \ 1} \times\frac{\sqrt2 \ - \ 1}{\sqrt2\ - \ 1}}\)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{(\sqrt2 \ - \ 1)^2}{2-1}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{(\sqrt2 \ - \ 1)^2}\)

⇒ √2 - 1

पुनः, विकल्प 1 में, θ = 15° रखने पर हमें प्राप्त होता है:

sec 3θ - tan 3θ = sec 45° - tan 45°

⇒ √2 - 1

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है। 

Alternate Method

\(\rm \sqrt{\frac{1-\sin 3\theta}{1+\sin 3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{{\frac{1-\sin 3\theta}{1+\sin 3\theta}} \times\frac{1-sin3\theta}{1-sin3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{(1-\sin 3\theta)^2}{1^2-\sin^2 3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{\frac{(1-\sin 3\theta)^2}{cos^2 3\theta}} \)

⇒ \(\rm \sqrt{(\frac{1-\sin 3\theta}{cos 3\theta}})^2 \)

⇒ \(\frac{1 - sin3\theta}{cos3\theta}\)

⇒ \(\frac{1}{cos3\theta}-\frac{sin3\theta}{cos3\theta}\)

⇒ sec 3θ - tan 3θ

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है। 

दिया गया है:

tan (A/2) = x

प्रयुक्त सूत्र:

tan (A/2) = ± \(\rm \frac{\sqrt{1-\cos A}}{\sqrt{1+\cos A}}\)

गणना:

tan (A/2) = x

⇒ \(\rm \frac{\sqrt{1-\cos A}}{\sqrt{1+\cos A}}\) = x

⇒ x = \(\rm \frac{\sqrt{1-\cos A}}{\sqrt{1+\cos A}}\)

∴ सही विकल्प 3 है।

Alternate Method

दिया गया है:

tan3θ⋅tan7θ = 1

प्रयुक्त अवधारणा:

गणना:

tan3θ⋅tan7θ = 1

⇒  tan3θ = 1/tan7θ

⇒  tan3θ = cot7θ

⇒  tan3θ = tan(90° - 7θ)

⇒ 3θ = 90° - 7θ

⇒ 10θ = 90°

⇒ θ = 9°

इसलिए, cot15θ = cot135° = - tan45°

⇒ - 1

∴ अभीष्ट उत्तर -1 है।

दिया गया है:

sec 2θ = cosec (θ – 36°)

प्रयुक्त अवधारणा:

गणना:

sec 2θ = cosec (θ – 36°)

⇒ sec 2θ = sec (90° – θ + 36°)

⇒ sec 2θ = sec (126° – θ)

⇒ 2θ = 126° – θ

⇒ 3θ = 126°

⇒ θ = 42°

∴ अभीष्ट उत्तर 42° है। 

दिया गया:

sin Y = x

प्रयुक्त सूत्र:

cos 2Y = 1 - 2sin2 Y

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

⇒ cos 2Y = 1 - 2sin2 Y

⇒ cos 2Y = 1 - 2(sin Y)2

⇒ cos 2Y = 1 - 2(x)2

∴ cos 2Y का मान 1 - 2(x)2 है।

दिया गया है:

cot A = 15/8

प्रयुक्त अवधारणा:

1. tan 2α = \(\frac {2 \times tan α}{(1 - tan^2 α)}\)

2. tan α = 1/cot α 

गणना:

cot A = 15/8

⇒ tan A = 8/15

अब, tan 2 A

⇒ \(\frac {2 \times tan A}{(1 - tan^2 A)}\)

⇒ \(\frac {2 \times \frac {8}{15}}{(1 - (\frac {8}{15})^2)}\)

⇒ \(\frac {\frac {16}{15}}{\frac {161}{225}}\)

⇒ \({\frac {16 \times 225}{15 \times 161}}\)

⇒ 240/161

∴ tan 2A का मान 240/161 है।

दिया गया:

sec 3θ = cosec (4θ - 15°)

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

sec 3θ = cosec (4θ - 15)

⇒ cosec (90° - 3θ) = cosec (4θ – 15°)

⇒ 90° - 3θ = 4θ - 15°

⇒ 7θ = 90° + 15°

⇒ θ = 105°/7 = 15°

इसीलिए, tan3θ

= tan(3 × 15°)

= tan45°

= 1

अतः, आवश्यक मान 1 है।

दिया गया है:

व्यंजक = \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2cos8θ}}}\)

प्रयुक्त सूत्र:

1 + cosθ = 2cos2(θ/2)

गणना:

प्रश्न के अनुसार

⇒ \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2cos8θ}}}\)

⇒ \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2({1+cos8θ})}}}\)

⇒ \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2({2cos^24θ})}}}\)

⇒ \(\sqrt{2+\sqrt{2+2cos4θ}}\)

⇒ \(\sqrt{2+\sqrt{2(1+cos4θ)}}\)

⇒ \(\sqrt{2+\sqrt{2(2cos^22θ)}}\)

⇒ \(\sqrt{2+2\cos2θ}\)

⇒ \(\sqrt{2\ (1+\cos2θ)}\)

⇒ \(\sqrt{2\ (2\cos^2θ)}\)

⇒ 2cosθ 

∴ अभीष्ट परिणाम 2cosθ होगा।

दिया गया है:

sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x 

प्रयुक्त सूत्र:

sin C + sin D = 2 × sin (C + D)/2 × cos (C - D)/2

cos 2θ = (2 × cos2 θ  - 1)

गणना:

sin 6x + sin 2x + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin (6x + 2x)/2 × cos (6x - 2x)/2 + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin 4x × cos 2x + 2 sin 4x

⇒ 2 × sin 4x (cos 2x + 1)

⇒ 2 × sin 4x {(2 × cos2x - 1) + 1) }

⇒ (2 × sin 4x) × (2 × cos2 x) 

⇒ 4 cos2 ×  sin 4x

∴ सही उत्तर 4 cos2 × sin 4x है।