Mathematics MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Mathematics - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা:

প্রদত্ত, f(x) = \(\cos x-1+\frac{x^{2}}{2!}, x ∈ \mathbb{R}\)

⇒ f '(x) = - sin x + x

এখন, ∀ x ∈ ℝ, x > sin x

⇒ x - sin x > 0

⇒ f '(x) > 0

⇒ f(x) একটি বর্ধিত অপেক্ষক ।

∴ f(x) একটি বর্ধিত অপেক্ষক ।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

গণনা

\(\dfrac {dy}{dx} = \tan \left (\dfrac {y}{x}\right ) + \left (\dfrac {y}{x}\right )\) ..... \((i)\)

ধরা যাক, \(\dfrac {y}{x} = v\)

\(\implies y = vx\)

\(\implies \dfrac {dy}{dx} = v + x\dfrac {dv}{dx}\)

\(\therefore\) প্রদত্ত সমীকরণ \((i)\) হয়

\(v + x\dfrac {dv}{dx} = \tan v + v\)

\(\implies \dfrac {1}{\tan v}dv = \dfrac {1}{x}dx\)

\(\implies \displaystyle \int \cot v\ dv = \int \dfrac {1}{x}dx\)

\(\implies \log |\sin v| = \log x + \log c=\log|xc|\)

\(\implies \sin v = xc\)

\(\therefore \sin \left (\dfrac {y}{x}\right ) = xc\)

অতএব, বিকল্প 2 সঠিক।

গণনা:

প্রদত্ত, f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে।

∴ [3, 4] ব্যবধানে, f(3) = f(4)

[6, 8] ব্যবধানে, f(6) = f(8)

∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\)

= \(\int_3^4 f'(x) \ dx\) + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + \(\int_6^8 f'(x) \ dx\)

= [f(4) - f(3)] + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + [f(8) - f(6)]

= 0 + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + 0

= \(\int_4^6 f'(x) \ dx\)

∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) এর সমান।

সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1.

গণনা:

প্রদত্ত, \(f(x)=\underbrace{\left(x^2-2 x+7\right)}_{f_1(x)} \underbrace{e^{\left(4 x^3-12 x^2-180 x+31\right)}}_{f_2(x)}\)

∴ f₁(x) = x2 - 2x + 7

⇒ \(f_1^{\prime}(x)=2 x-2\)

⇒ x ∈ [-3, 0] এর জন্য, f₁'(x) < 0

⇒ f(x) [-3, 0] অন্তরালে হ্রাসমান

আবার,\(f_2(x)=e^{4 x^3-12 x^2-180 x+31}\)

⇒ \(f_2^{\prime}(x)=e^{4 x^3-12 x^2-180 x+31} \cdot 12 x^2-24 x-180\)

= \(12(x-5)(x+3) e^{4 x^3-12 x^2-180 x+31}\) < 0 x ∈ [-3, 0] এর জন্য

⇒ f2(x) [-3, 0] অন্তরালে হ্রাসমান এবং ধনাত্মক

∴ f(x) এর পরম সর্বোচ্চ মান x = -3 তে পাওয়া যায়

⇒ α = -3

∴ α এর মান -3।

সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 2

গণনা:

প্রদত্ত, \(\tan \left(\frac{1}{4} \sin ^{-1} \sqrt{63} / 8\right)\)

ধরা যাক \(\sin ^{-1}(\sqrt{ 63} / 8)=\theta\)

⇒ \(\sin \theta=\sqrt{63} / 8\)

⇒ cos θ = 1/8

অনুসৃত ধারণা:

ক্রম: একটি পার্থক্যমুলক সমীকরণের ক্রম হল এতে প্রদর্শিত সর্বোচ্চ অবকলনের ক্রম।

ডিগ্রী: একটি পার্থক্যমুলক সমীকরণের ডিগ্রী হল সর্বোচ্চ অবকলনের শক্তি, যেখানে সমীকরণটি ভিত্তিগত থেকে মুক্ত একটি আকারে প্রকাশ করার পরে যতদূর অবকলন সম্পর্কিত।

গণনা:

প্রদত্ত:

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}}} \right)}\)

\({\rm{y}} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{y}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)} = {\rm{x}}{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^3} + 1\)

প্রদত্ত পার্থক্যমুলক সমীকরণের জন্য সর্বোচ্চ ক্রম অবকলন হল 1

এখন, সর্বোচ্চ ক্রম অবকলনের শক্তি হল 3

আমরা জানি যে পার্থক্যমুলক সমীকরণের ডিগ্রী হল সর্বোচ্চ অবকলনের শক্তি

অতএব, পার্থক্যমুলক সমীকরণের ডিগ্রি হল 3

অনুসৃত সূত্র:

গোষ্ঠীবদ্ধ তথ্যের গড় এইভাবে প্রদত্ত,

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

যেখানে,

Xi = i তম  শ্রেণীর গড়

fi =  i তম শ্রেণীর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ পরিসংখ্যান

প্রদত্ত:

গণনা:

এখন, তথ্যের গড় নির্ণয় করতে নীচে যেভাবে দর্শিত সেইভাবে ∑fiXi এবং ∑fi  খুঁজে বের করতে হবে,

তাহলে,

আমরা জানি যে, গোষ্ঠীবদ্ধ তথ্যের গড় এইভাবে প্রদত্ত,

\(\bar X\ = \frac{∑ f_iX_i}{∑ f_i}\)

= \(\frac{1535}{43}\)

= 35.7

অতএব, গোষ্ঠীবদ্ধ তথ্যের গড় হল 35.7

অনুসৃত ধারণা:

• মূলদ সংখ্যা হল সেই সংখ্যাগুলি যেগুলি সংখ্যার অনুপাত বা সেই সংখ্যার অনুপাত দেখায় যা আমরা যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করার পরে পাই।
• অমূলদ সংখ্যা হল সেই সংখ্যাগুলি যেগুলিকে আমরা সরল ভগ্নাংশ a/b আকারে উপস্থাপন করতে পারি না এবং b শূন্যের সমান নয়।
• যখন আমরা যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যা যোগ করি তখন তাদের যোগফল সর্বদা মূলদ সংখ্যা হবে।
• কিন্তু যদি আমরা একটি মূলদ সংখ্যার সাথে একটি অমূলদ সংখ্যা যোগ করি তাহলে যোগফল সর্বদা একটি অমূলদ সংখ্যা হবে।

ব্যাখ্যা:

ঘটনা :1 দুটি অমূলদ সংখ্যা π এবং 1 - π নিয়ে পাই 

⇒ যোগফল = π +1 - π = 1

যা একটি মূলদ সংখ্যা।

ঘটনা :2 দুটি অমূলদ সংখ্যা π এবং √2 নিয়ে পাই 

⇒ যোগফল = π + √2

যা একটি অমূলদ সংখ্যা।

অতএব, দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল একটি মূলদ বা একটি অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

ধারণা:

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

sec x = 1/cos x এবং cosec x = 1/sin x

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab)

গণনা :

 \(\frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left( {{\rm{secA}} - {\rm{cosecA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}{\rm{A}}} \right)}}\) 

⇒ \( \frac{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{1}{{{\rm{cosA}}}} - \frac{1}{{{\rm{sinA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{A}} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{A}} - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \( \frac{{\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}} \right)}}{{{\rm{cosA}}\left[ {\frac{{{\rm{sinA}} - {\rm{cosA}}}}{{{\rm{sinA}}.{\rm{cosA}}}}} \right]\left( {{\rm{sinA}} + {\rm{cosA}}} \right)\left( {1 - {\rm{sinAcosA}}} \right)}}\)

⇒ \(\frac{sinA - cosA}{cosA[\frac{sinA - cosA}{sinA.cosA}]}\)

⇒ \(\frac{(sinA - cosA)\times sinA.cosA}{cosA[sinA - cosA]}\)

⇒ \(\frac{ sinA.cosA}{cosA}\)

⇒ sin A

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (1)

প্রদত্ত:

tan0° tan1° tan2° tan3° tan4° …… tan89°

সূত্র:

tan0° = 0

গণনা:

tan0° × tan1° × tan2° × ……. × tan89°

⇒ 0 × tan1° × tan2° × ……. × tan89°

⇒ 0

অনুসৃত ধারণা:

cos (2nπ + θ) = cos θ

cos (π - θ) = -cos θ

গণনা:

cos (1230°)

= cos (3 × 360° + 150°)

= cos (150°)

= cos (180° - 30°)

= - cos (30°)

\(= - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

ধারণা:

দুটি স্বতন্ত্র বাস্তব সমাধানের জন্য, D > 0,

যেখানে D = b2 - 4ac

গণনা:

⇒ k2 - 4k > 0

⇒ k(k - 4) > 0

⇒ (k - 0) (k - 4) > 0

⇒ k > 4, k < 0

তাহলে,

⇒ k < 0 অথবা k > 4

দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য, ax2 + bx + c = 0, α + β = -b/a এবং αβ = c/a

⇒ এখানে, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) এবং α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

⇒ সুতরাং, 2αβ/ (α + β)

⇒ 2[(8 + 2√5) / (5 + √2)] / [(4 + √5) / (5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5) / (4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

ধারণা:

গড়: একটি তথ্য গুচ্ছের গড় বা গড় পাওয়া যায় তথ্য গুচ্ছের সমস্ত সংখ্যাকে যোগ করে এবং তারপর সেটিকে গুচ্ছের মানের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে।

প্রচুরক: প্রচুরক হল সেই মান যা একটি তথ্য গুচ্ছের মধ্যে প্রায়শই প্রদর্শিত হয়।

মধ্যমা: মধ্যমা হল একটি সংখ্যাসূচক মান যা একটি তথ্য গুচ্ছের উচ্চতর অর্ধকে নিম্নতর অর্ধের থেকে পৃথক করে।

গড়, প্রচুরক এবং মধ্যমার মধ্যে সম্পর্ক:

প্রচুরক = 3(মধ্যমা) - 2(গড়)

গণনা:

প্রদত্ত যে,

তথ্যের গড় = 4 এবং তথ্যের প্রচুরক = 10

আমরা জানি যে

প্রচুরক = 3(মধ্যমা) - 2(গড়)

⇒ 10 = 3 (মধ্যমা) - 2(4)

⇒ 3 (মধ্যমা) = 18

⇒ মধ্যমা = 6

সুতরাং, তথ্যের মধ্যমা হবে 6

 সূত্র∶ σ2 = ∑(xi – x)2/n