Mathematical Science MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Mathematical Science - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ব্যাখ্যা:

f(x) = $\frac{1}{\mathrm{x}}$

1ম বিভক্ত পার্থক্য

f[x₀, x₁] = $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

= $\frac{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_0}}{x_1-x_0}$ = $-\frac{1}{x_0{x}_1}$

2য় বিভক্ত পার্থক্য

f[x0, x1, x₂] = $\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$

= $\frac{\frac{-1}{x_1{x}_2}+\frac{1}{x_0{x}_1}}{x_2-x_0}$ = $\frac{1}{x_0{x}_1{x}_2}$

3য় বিভক্ত পার্থক্য

f[x0, x1, x2, x₃] = $\frac{f[x_1,x_2,x_2]-f[x_0,x_1,x_0]}{x_3-x_0}$

= $\frac{\frac{1}{x_1{x}_2{x}_3}-\frac{1}{x_0{x}_1{x}_2}}{x_3-x_0}$ = $\frac{-1}{{\mathrm{x}}_0{\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2{\mathrm{x}}_3}$

বিকল্প (2) সঠিক।

ব্যাখ্যা:

সিরিজটি হল

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{x+n}$ , যেখানে x > 0

অনুপাত পরীক্ষা (Ratio Test) বলে যে

যদি পরপর পদগুলির অনুপাতের পরম মানের সীমা 1 এর কম হয়, তাহলে শ্রেণীটি অভিসারী হয়।

যদি এটি 1 এর বেশি হয়, তাহলে শ্রেণীটি অপসারী হয়।

অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:

$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{x^{n+1}}{(x+n+1))}\frac{(x+n)}{x^n}|$

$=|x\frac{(x+n)}{(x+n+1)}|$

$li{m}_{n\to \infty }|x\frac{(x+n)}{(x+n+1)}|=li{m}_{n\to \infty }|x\frac{(1+x/n)}{(1+x/n+1/n)}|$

= | x (1 + 0) / (1 + 0 + 0) | = | x |

অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:

যদি |x| < 1 হয়, তাহলে শ্রেণীটি অভিসারী হয়।

⇒ (A) সঠিক

যদি |x| > 1 হয়, তাহলে শ্রেণীটি অপসারী হয়।

⇒ (B) সঠিক

অতএব, সঠিক উত্তর হল (A) এবং (B) শুধুমাত্র।

⇒ বিকল্প (1) সঠিক

যখন |x| = 1 হয় তখন অনুপাত পরীক্ষা অসিদ্ধ হয়।

(C) এবং (D) ভুল।

ব্যাখ্যা:

প্রদত্ত:

V = {(a, b, c, d) : b - 5c + 2d = 0}

W = {(a, b, c, d) : a - d = 0, b - 3c = 0}

W থেকে: a - d = 0 ⇒ a = d

W থেকে: b - 3c = 0 ⇒ b = 3c

V থেকে: b - 5c + 2d ⇒ 0

W এর সমীকরণগুলি থেকে a এবং b এর মান V এর সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

3c - 5c + 2d = 0

⇒ -2c + 2d = 0

⇒ -2c = -2d

⇒ c = d

এখন আমাদের আছে:

a = d , b = 3c এবং c = d

সুতরাং, V ∩ W এর ভেক্টরগুলিকে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

(d, 3d, d, d) = d (1, 3, 1, 1)

ছেদ V ∩ W একটি একক ভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত: (1, 3, 1, 1)

অতএব, এর মাত্রা হল 1

V ∩ W এর মাত্রা হল 1

সুতরাং বিকল্প (1) সঠিক উত্তর।

ধারণা:

1. $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\cdots$

2. $\ln (1-t)=-t-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\cdots$

ব্যাখ্যা:

$f(x)=x+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^3}{3^2}+\cdots +\frac{x^n}{n^2}+\dots$

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2}$

আমরা জানি ${\int }_0^x\frac{\ln (1-t)}{t}dt=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2},for|x|\le 1$

দেওয়া হয়েছে যে f(x) শ্রেণীটির সাথে মিলে যায় $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2}$ ,

এটি এভাবে লেখা যেতে পারে :

$f(x)=-{\int }_0^x\frac{\ln (1-t)}{t}dt$

সুতরাং, f(x) এর একটি অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছে যা $\ln (1-t)$ জড়িত

$x=\frac{1}{2}$ প্রতিস্থাপন করে পাই

$f\left(\frac{1}{2}\right)=-{\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{\ln (1-t)}{t}dt$ = $-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{\ln (1-t)}{t}dt$

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প (2)।