यदि x प्रायिकता घनत्व फलन के साथ एक सतत यादृच्छिक चर है

f(x) = 1/√2πe-x2/2dx , $- \infty < x < \infty$

और y को y = x + 1 के रूप में परिभाषित किया गया है, तो E(y) किसके बराबर है?

Question

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This question was previously asked in

SSC CGL Tier-II ( JSO ) 2016 Official Paper ( Held On : 2 Dec 2016 )

Answer 1

दिया गया है

f(x) = 1/√2πe-x2/2dx

सूत्र

$E (y) = \int_{- \infty}^{\infty} y f (x) d x$

गणना

$E (y) = \int_{- \infty}^{\infty} y f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} (x + 1) 1 / \sqrt 2 π$ (e^-x2/2dx

⇒ (1/√2π) $\int_{- \infty}^{\infty} (x + 1)$ e^-x2/2dx

⇒ E(y) = (1/√2π) $\int_{- \infty}^{\infty}$ x × e^-x2/2dx + (1/√2π)( $\int_{- \infty}^{\infty}$ e^-x2/2dx

⇒ चूंकि, x × e^-x2/2^dx k का विषम फलन है

∴ (1/2√2π)( $\int_{- \infty}^{\infty}$ e^-x2/2dx = 0

⇒ E(y) = (1/2√2π)( $\int_{- \infty}^{\infty}$ e^-x2/2dx

⇒ (1/√2π) × √2π = 1

मानक समाकलन का प्रयोग करने पर हमारे पास है

$\int_{- \infty}^{\infty}$ e^-x2/2dx= √2π

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