Random Variables Basics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Random Variables Basics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या -

k = लगातार चित की संख्या

$P(k=3)=\frac{5}{32}$ {HHHTH, HHHTT, THHHT, HTHHH, TTHHH}

$P(k=4)=\frac{2}{32}$ {HHHHT, THHHH}

$P(k=5)=\frac{1}{32}$ {HHHHH}

$P(\overline{3}\cap \overline{4}\cap \bar{5})=1-(\frac{5}{32}+\frac{2}{32}+\frac{1}{32})=\frac{24}{32}$

$ƩXP(X)=$ $(-1\times \frac{24}{32})+(3\times \frac{5}{32})+(4\times \frac{2}{32})+(5\times \frac{1}{32})$
$=\frac{1}{8}$
इसलिए विकल्प (1) सही है।

व्याख्या  -

= $\frac{140}{12}$ = $\frac{70}{6}$ = $\frac{35}{3}$

4y̅ = $\frac{40+60+12}{84}$ × 4 = $\frac{112}{21}$ = $\frac{16}{3}$

अवधारणा:

माना PX(x) = P(X = x) फिर एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता मान फलन है, तब

0 ≤ P_X(x) ≤ 1 और ∑ PX(x) = 1 

व्याख्या:

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{x})=\{\begin{array}{ccc}k,& \mathrm{i}\mathrm{f}& x=0\\ 2k,& \mathrm{i}\mathrm{f}& x=1\\ 3k,& \mathrm{i}\mathrm{f}& x=2\\ 0,& & \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}$ यादृच्छिक चर X का प्रायिकता मान फलन है, तब 

k + 2k + 3k = 1

⇒ 6k = 1 ⇒ k = 1/6

अब, P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = k + 2k = 3k = 3 × $\frac{1}{6}$ = 1/2 

विकल्प (4) सत्य है।

संकल्पना:

एक यादृच्छिक चर X की प्रायिकता निम्न द्वारा दी गई है:

$P(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$

एक यादृच्छिक चर |X| की प्रायिकता को निम्न द्वारा दिया गया है:

$P(|X|)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$

गणना:

दिया गया है,  \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2},−1

$P(|X|)>1=0$

The distribution is not present for X > 1.

संकल्पना:

• जब हम घनत्व फलन को एक अंतराल पर समाकलन करते हैं, तो हमें उस अंतराल के लिए प्रायिकता प्राप्त होती है, अर्थात्;
  

P(a ≤ x ≤ b) = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_x\left(x\right)dx$

• साथ ही, x के सभी मानों के लिए,
  

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)=1.$

गणना:

दिया है: यहाँ, 1/(b - a) = 1/3

∴ $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{3},-1\le x\le 2\\ 0,otherwise\end{array}$

$\begin{array}{rl}& P\left(\left|x\right|\le \frac{1}{2}\right)=P\left(\frac{-1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\right)\\ & =\underset{\frac{-1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{\frac{-1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}\end{array}$

दिया गया है:

पॉइसन वितरण में

P(X = 0) = 0.6

सूत्र 

पॉइसन वितरण दिया जाता है 

f(x) = e^-λλ^x/x!

गणना 

P(X = 0) = e^-λλ⁰/0!

⇒ 0.6 = e^-λ

⇒ 1/e^λ = 6/10 = 3/5

⇒ e^λ = 5/3

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

⇒ log_ee^λ = log_e(5/3)

∴ λ = Log_e(5/3)

दिया गया है

f(x) = { ke-3x, x > o

          { 0, elsewhere

प्रयुक्त संकल्पना

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$ + $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 1

गणना

दिए गए भाग के अनुसार 

⇒$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 0

⇒ 0 + $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 0

⇒ ∫ke-3xdx = 1

⇒ k[-e-3x/3]

⇒ -k/3[e-∞- e0] = 1

⇒ -k/3(0 – 1) = 1

⇒ k./3 = 1

∴ PDF के लिए k का मान 3 है

व्याख्या

हम जानते हैं कि Fpr यादृच्छिक चर X के लिए प्रायिकता का योग = 1

⇒ ∑P_i = 1

⇒ k + 2k + 3k + 5k + 5k + 4k + 3k + 2k + k + 1

⇒ 26k = 1

⇒ k = 1/26

∴ xf(x) = 103k = 103 × 1/26

∴ E(x) 103/26 है। 

व्याख्या​:

यदि X, μ माध्य वाला एक अनियमित चर है, तो X का प्रसरण, जिसे Var (X) द्वारा दर्शाया जाता है, द्वारा दिया गया है:

Var (X) = E[(X - μ)]², जहाँ μ = E(X)

एक असतत अनियमित चर X के लिए, X का प्रसरण निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है:

$Var(X)=\sum (x-\mu {)}^{2}pX(x)$

जहाँ योग x के सभी मानों पर लिया जाता है जिसके लिए pX(x) > 0. तो X का प्रसरण माध्य μ से वर्ग विचलन का भारित औसत है, जहाँ X का भार प्रायिकता फलन pX(x) द्वारा दिया जाता है।

Important Points

• X के मानक विचलन को विचरण के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है।
• विचरण ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि यह वर्ग मात्राओं का औसत है।

• Var (X) को अक्सर σ² के रूप में दर्शाया जाता है।

इसलिए, यदि X, μ माध्य वाला एक अनियमित चर है, तो X का प्रसरण, जिसे Var (X) द्वारा दर्शाया जाता है, Var (X) = E[(X - μ)]2 द्वारा दिया गया है।

संकल्पना:

$Var[aX+b]=a^{2}Var(X)$

$V(ax)=a^{2}V(x)$ , जहां a स्थिरांक है,

$V(a)=0$, अर्थात स्थिरांक का प्रसरण शून्य है; जहां a स्थिरांक है

हिसाब:

दिया गया है:
$Var(x)=1$, हमें $Var(3x+4)$ ज्ञात करना है

मान लीजिए $y=3x+4$

$V(y)=V(3x+4)$

$V(y)=3^2[V(x)]$

$V(y)=9[1]$

$V(y)=V(3x+4)=9$

दिया गया है

PMF(x) = 1/2^x, x = 1, 2, 3 -----

सूत्र

P(X > 4) = 1 – P(X ≤ 4)

गणना

P(X > 4) = 1 – P(X ≤ 4)

⇒ 1 – [P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)]

⇒ 1 – [1/2¹ + ½²  + ½³ + ½⁴]

⇒ 1 – [1/2 + ¼ + 1/8 + 1/16]

⇒ 1 – [(8 + 4 + 2 + 1)/16]

⇒ 1 – [15/16]

⇒ (16 – 15)/16

∴ P(X > 4) का मान 1/16 है। 

प्रायिकता द्रव्यमान फलन या PMF को क्रमित युग्म [x, f(x)] के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि प्रत्येक संभावित परिणाम x के लिए f(x) निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है

F(x) ≥ 0

∑ f(x) = 1

दिया गया है

P(3) = P(4)

अवधारणा

प्वासों वितरण में = यह एक असतत विभाजन भी है। प्वासों वितरण सामान्य वितरण की सीमा को पूरा करता है

प्वासों वितरण दिया जाता है f(x) = (e^-λ × λ^x)/x!

जहाँ x = 0, 1, 2, 3---- और λ = माध्य

गणना

यहाँ x = 3 और 4

⇒ (e^-λ × λ³)/3! = (e^-λ × λ⁴)/4!

⇒ λ  = 4!/3!

⇒ λ = 4

∴ प्वासों वितरण में x का माध्य 4 है। 

दिया गया है:

X और Y स्वतंत्र सामान्य चर हैं जिनके

माध्य (X) = 50

माध्य (Y) = 80

SD (σ_x) = 4

SD(σ_y) = 3

अवधारणा:

सामान्य बंटन N(μ, √(σ²_x+ σ²₂)) द्वारा दर्शाया जाता है

गणना

चूंकि X और Y स्वतंत्र हैं तो

⇒ Z = X + Y ~ N(X + Y, (σ²_x + σ²_y)

⇒ P(Z) = P(X + Y)  ~ N(130, (4² + 3²)

⇒ N(130, 25)

∴ N(μ, √(σ²_x+ σ²₂), N(130, 5) है।

संकल्पना:

यदि f(x) यादृच्छिक चर x के लिए प्रायिकता घनत्व फलन है तब,

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=1$

गणना:

हमें एक प्रायिकता घनत्व फलन दिया गया है

$f\left(x\right)=K\cdot \frac{1}{1+x^2}forx\in \left(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\right)$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{K}{1+x^2}dx$

$=K{\left[{\tan }^{-1}x\right]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}=1$

$=K\left[\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right]=\mathrm{\infty }=1$

⇒ K(π) = 1

दिया गया है

प्वासों वितरण का माध्य = 9

गणना

प्वासों वितरण का माध्य, प्रसरण के बराबर होता है। 

∴ प्रसरण 9 है।