Limit and Continuity MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Limit and Continuity - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

ఇచ్చినది, f(x) x = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం

∴ ఎడమ వైపు పరిమితి = \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos k x}{x^2}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{k x}{2}}{x^2}\)

= \(2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 \frac{\mathrm{k} x}{2}}{\frac{\mathrm{k}^2 x^2}{4} \times 4} \cdot \mathrm{k}^2\)

= \(\frac{1}{2} \mathrm{k}^2 \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{\mathrm{k} x}{2}}{\frac{\mathrm{kx}}{2}}\right)^2\)

∴ ఎడమ వైపు పరిమితి = \(\frac{1}{2} k^2\)

అలాగే, కుడి వైపు పరిమితి = \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x})(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}\)

= \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16}\)

= \(\sqrt{16+\sqrt{0}}+4\)

∴ కుడి వైపు పరిమితి = 8

x = 0 వద్ద f(x) అవిచ్ఛిన్నం కాబట్టి

⇒ ఎడమ వైపు పరిమితి = కుడి వైపు పరిమితి.

⇒ \(\frac{1}{2} k^2\) = 8

⇒ k² = 16

⇒ k = 4

∴ k విలువ 4.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

వివరణ:

f(x) = [x] ఫలము యొక్క నిలిపివేత బిందువును కనుగొనడానికి, f(x) = [x] ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి.

గరిష్ట పూర్ణాంకం ఫలము: (ఫ్లోర్ ఫంక్షన్)

f (x) = [x] ఫలముని గరిష్ట  పూర్ణాంకం ఫలము అంటారు మరియు దీని అర్థం x అంటే [x] ≤ x కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గరిష్ట పూర్ణాంకం.

[x] డొమైన్ R మరియు పరిధి I, ఇక్కడ R అనేది వాస్తవ సంఖ్యల సమితి మరియు I అనేది పూర్ణాంకాల సమితి.

గ్రాఫ్ నుండి, ప్రతి పూర్ణాంకం వద్ద ఫలము నిలిపివేయబడుతుందని మనం చెప్పగలం.

అందువల్ల, f(x) = [x] నిరంతరాయమైన ఫలము అనంతమైన పాయింట్ల వద్ద 

ఇచ్చినది:

\(\rm \displaystyle \lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-\cos m θ}{1-\cos nθ}\)

భావన:

పరిమితి భావనను ఉపయోగించండి.

\(\rm \lim_{x\rightarrow0}\frac{sinx}{x}=1\)

మరియు సూత్రం \(\rm cos2θ=1-2sin^2θ\)

గణన:

\(\rm \displaystyle \lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-\cos m θ}{1-\cos nθ}\)

\(\rm \displaystyle =\lim_{θ\rightarrow 0}\frac{1-(1-2\sin^2 \frac{m θ}{2})}{1-(1-2\sin^2 \frac{nθ}{2})}\)

\(\rm \displaystyle =\lim_{θ\rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{m θ}{2}}{2\sin^2 \frac{nθ}{2}}\)

\(\rm \displaystyle =\frac{\lim_{θ\rightarrow 0}\sin^2 \frac{m θ}{2}}{\lim_{θ\rightarrow 0}\sin^2 \frac{nθ}{2}}\)

m²θ/n²θ తో గుణించి భాగించండి

\(\rm =\frac{m^2θ}{n^2θ}=\frac{m^2}{n^2}\)

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది.

కాన్సెప్ట్:

ఒక ప్రమేయం కోసం చెప్పండిf, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) ఉంది

\( ⇒ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = l = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\), ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ.

ఏదైనా ప్రమేయం f  అని పిలవబడే బిందువు వద్ద నిరంతరాయంగా చెప్పబడుతుంది,మాత్రమే అని చెప్పండి \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\), ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ.

సాధన:

ఇచ్చినది:: \(\rm f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{ksin(π -x)}{π -x} & if & x \neq π \\ 1 & if & x =π \end{matrix}\right.\) x = π వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

మనకు తెలిసినట్లుగా, ఒక ప్రమేయం f బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉంటే అప్పుడు a అని చెప్పండి \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\)

\(\Rightarrow \rm \lim_{x\rightarrow π}\frac{ksin(π-x)}{π-x} = f(π) = 1\)

∵ \(\rm \lim_{x\rightarrow π}\frac{ksin(π-x)}{π-x} = \frac{0}{0}\), మనము L'హాస్పిటల్స్ నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

⇒ \(\rm \lim_{x\rightarrow π}\frac{-kcos(π-x)}{-1} = 1\)

⇒ \(\rm \frac{kcos(π-π)}{1} = 1\) 

⇒ k cos(0) = 1

⇒ k = 1.

కాబట్టి, ఎంపిక 2 సరైనది.

కాన్సెప్ట్:

f(x) x వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది= a, if LHL = RHL = f(a)

 \(\rm\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow a} f(x)\)

 f(x) భేదమైనదిif LHD = RHD

\(\begin{array}{l} \rm L H D=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \\ \rm R H D=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{array}\)

మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేత: ఫంక్షన్ యొక్క కుడి చేయి ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే f(a)కి సమానం కానట్లయితే, f(x) అనేది x = a వద్ద కుడివైపు నుండి మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది.

రెండవ రకం యొక్క నిలిపివేత: f(x) x = a వద్ద f(x) యొక్క ఎడమ చేతి పరిమితి లేదా f(x యొక్క కుడి-చేతి పరిమితి కానట్లయితే, f(x) x = a వద్ద రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది. x = a వద్ద ఉంది.

తొలగించగల నిలిపివేత: ఒక ప్రమేయం f(x) x = a వద్ద తొలగించగల నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుందని చెప్పబడింది, x వద్ద ఎడమ చేతి పరిమితి 'a' పాయింట్‌కి సమానంగా ఉంటే x వద్ద 'a' పాయింట్‌కి కుడివైపు పరిమితి ఉంటుంది. కానీ వాటి సాధారణ విలువ f(a)కి సమానం కాదు.

సాధన:

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\left| x \right|}}{x}}\\ {0,} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {,x ≠ 0}\\ {x = 0} \end{array}} \right.\)

x ≠ 0 కొరకు,

f(x) = -x/x = -1,   if x < 0

f(x) = x/x = 1. if x > 0

ఇపుడు,

LHL = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^- }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^- }-x/x=-1\)

RHL = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+ }f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+}x/x=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 }f(x) = 0\)

నుండి,

LHL ≠ RHL

x = 0 వద్ద ప్రమేయం నిరంతరంగా లేదని మనం చెప్పగలం

x = 0 మాత్రమే, నిలిపివేత బిందువు.

నిర్వచనం ఆధారంగా, ప్రమేయం మొదటి రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంది.

Concept:

భావన:

• ఫంక్షన్ ఆ విలువ వద్ద ఆకస్మిక మార్పును కలిగి ఉండకపోతే, ఇచ్చిన విలువ వద్ద ఒక ఫంక్షన్ నిరంతరంగా చెప్పబడుతుంది.
• రెండు విధులు వ్యక్తిగతంగా నిరంతరంగా ఉంటే, అది సమ్మషన్ వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది.
• ఒక ఫంక్షన్ x = a వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది
• ఒకవేళ L.H.L = R.H.L = f(a)
• అనగా \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\)
• f(x) మరియు g(x) వ్యక్తిగతంగా నిరంతరంగా ఉంటే, అది f(x) ± g(x), f(x) ⋅ g(x) మరియు\(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\;;g\left( x \right) \ne 0\) నిరంతరంగా ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

ఎంపిక (A):

f(x) = sin xని  

​

గ్రాఫ్ నుండి, మూలం వద్ద అంటే x = 0, sin x నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (B):

Let g(x) = x అని అనుకుందాం

గ్రాఫ్ నుండి మూలం అంటే x = 0

g(x) = x నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (సి):

h(x) = x sin xని అని అనుకుందాం

h(x) = g(x) ⋅ f(x)

మూలం వద్ద f(x) మరియు g(x) వ్యక్తిగతంగా నిరంతరాయంగా ఉన్నందున, h(x) కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (D):

Let \(h\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{x} = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) 

Sin x మూలం వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు x మూలం వద్ద కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు విలువలు సున్నా.

i.e. \(h\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{x}\) 

 మూలం వద్ద

\(h\left( {x = 0} \right) = \frac{{\sin \left( 0 \right)}}{0} = \frac{0}{0}\)

ఒక అనిశ్చిత రూపం)

కాబట్టి, మనం అలా చెప్పగలం.

x = 0, h(x) నిర్వచించబడనందున h(x) మూలం వద్ద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఎంపిక (D) మూలం \(\frac{{\sin x}}{x}\)వద్ద నిరంతరాయంగా ఉన్నందున సరైనది.

భావన:
L-హాస్పిటల్ రూల్ : f(x) మరియు g(x) రెండు విధులుగా ఉండనివ్వండి
L'హాస్పిటల్ నియమం

మనకు ఈ క్రింది కేసుల్లో ఒకటి ఉందని అనుకుందాం,

.I.  \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = \frac{0}{0}\)

II. \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = \frac{\infty }{\infty }\)

అప్పుడు మనం ఎల్-హాస్పిటల్ నియమాన్ని ఇలా వర్తింపజేయవచ్చు:

\(\mathop {\lim }\limits_{{\bf{x}} \to {\bf{a}}} \frac{{{\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)}}{{{\bf{g}}\left( {\bf{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\bf{x}} \to {\bf{a}}} \frac{{{\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)}}{{{\bf{g}}'\left( {\bf{x}} \right)}}\)

లెక్కింపు:

కాబట్టి, ఫంక్షన్ x = 1 వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు, f(1) = \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}{f(x)}\)

k =\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{log x}{x-1}\) = \(\frac{0}{0}\)(అనిర్దిష్ట రూపంలో ఉంది)

L´హాస్పిటల్ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి,

k = \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{1/ x}{1}\)= 1 : x 1కి మొగ్గు చూపుతుంది

∴ k = 1

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 3

కాన్సెప్ట్ :

L' హాస్పిటల్ నియమం:

• ఈ పద్ధతిలో, ముందుగా, మనం పరిమితిని భర్తీ చేసిన తర్వాత ఫంక్షన్ యొక్క రూపం \(\frac{0}{0}\;or\frac{\infty }{\infty }\) అని చెక్ చేయాలి.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \frac{0}{0}\;or\frac{\infty }{\infty }\) అప్పుడు \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = l \ne \frac{0}{0}\) ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ
• f(x) అనేది హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అయితే, లవం మరియు హారంను కారకం చేయండి, సాధారణ కారకాలను రద్దు చేయండి మరియు x = aని భర్తీ చేయడం ద్వారా f(x) ఫంక్షన్ పరిమితిని అంచనా వేయండి.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

\(\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)

\(\frac{d}{dx}\sqrt x=\frac{1}{2\sqrt x}\)

లెక్కింపు:

y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}\)

x = 1 వద్ద, ఫంక్షన్ 0/0 నుండి ఇవ్వడాన్ని మనం చూడవచ్చు. అందుకే,

L' హాస్పిటల్ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి

⇒ y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{\frac{d}{dx}(x-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+3}-2)}\)

పైన చర్చించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా

⇒ y = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\frac{1}{2\sqrt{(x+3)}}}-0}\)

పరిమితిని తీసుకోవడం ద్వారా

⇒ y = \(\frac{1}{\frac{1}{4}}\) = 4

∴ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}\) = 4

పద్ధతి:

\( \displaystyle\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\rm\,f\left( x \right)\) exists if \(\rm\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)\)

f(x)వద్ద నిరంతరంగా ఉందిx = a ⇔\(\rm\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=lim _{x \rightarrow a} f(x)\)

f(x) అనేది ఒక బిందువు వద్ద నిరంతర చర్య అయితే, దాని విలోమం కూడా అదే బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.

సాధన:

1. ఈ ప్రకటన తప్పు, ఎందుకంటే ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద పరిమితి పరిమితి ఉనికితో సమానంగా ఉండాలి.

2.f(x) అనేది ఒక బిందువు వద్ద నిరంతర చర్య అయితే, దాని విలోమం కూడా అదే బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.

కాబట్టి, ఈ ప్రకటన కూడా తప్పు

కాబట్టి, ఎంపిక (4) సరైనది.

ఇవ్వబడినవి:

log 2 = 0.3010

log 3 = 0.4771

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

log (x × y) = log x + log y

లెక్కింపు:

log 6 = log (2.3)

⇒ log (2.3) = log 2 + log 3

⇒ log (2.3) = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

∴ log 6 = 0.7781.

Given:

log10 (x - 9) + log10 x = 1

Concept Used:

log_b (M) + log_b (N) = log_b(MN)

Calculations:

log10 (x - 9) + log10 x = 1

⇒ log10 (x - 9)(x) = 1

⇒ log10 (x - 9)(x) = log₁₀10

⇒ x² - 9x - 10 = 0 

⇒ x² - 10x + x - 10 = 0

⇒ x(x - 10) + 1(x - 10) = 0 

⇒ (x + 1)(x - 10) = 0 

⇒ x = -1 and x = 10 

∴ option 4 is correct