Limit and Continuity MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Limit and Continuity - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

Last updated on Apr 7, 2025

పొందండి Limit and Continuity సమాధానాలు మరియు వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో బహుళ ఎంపిక ప్రశ్నలు (MCQ క్విజ్). వీటిని ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి Limit and Continuity MCQ క్విజ్ Pdf మరియు బ్యాంకింగ్, SSC, రైల్వే, UPSC, స్టేట్ PSC వంటి మీ రాబోయే పరీక్షల కోసం సిద్ధం చేయండి.

Latest Limit and Continuity MCQ Objective Questions

Limit and Continuity Question 1:

f(x)={1coskxx2, if x0x16+x4, if x>0 x = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం అయితే, k విలువ

  1. 4
  2. 2
  3. -1
  4. -3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 4

Limit and Continuity Question 1 Detailed Solution

గణన:

ఇచ్చినది, f(x) x = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం

∴ ఎడమ వైపు పరిమితి = limx01coskxx2

= limx02sin2kx2x2

= 2limx0sin2kx2k2x24×4k2

= 12k2limx0(sinkx2kx2)2

∴ ఎడమ వైపు పరిమితి = 12k2

అలాగే, కుడి వైపు పరిమితి = limx0x16+x4

= limx0(x)(16+x+4)(16+x4)(16+x+4)

= limx0x(16+x+4)16+x16

= 16+0+4

∴ కుడి వైపు పరిమితి = 8

x = 0 వద్ద f(x) అవిచ్ఛిన్నం కాబట్టి

⇒ ఎడమ వైపు పరిమితి = కుడి వైపు పరిమితి.

12k2 = 8

⇒ k2 = 16

⇒ k = 4

∴ k విలువ 4.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

Limit and Continuity Question 2:

limnn4[1n5+1(n2+1)52+1(n2+4)52+1(n2+9)52++142n5]=

  1. 342
  2. 324
  3. 562
  4. 526

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 562

Limit and Continuity Question 2 Detailed Solution

Limit and Continuity Question 3:

f(x)={(2x2ax+1)(ax2+3bx+2)x+1, if x1k, if x=1

ఒక వాస్తవ మూల్యప్రమేయం. a, b, k ∈ R మరియు R పై f అవిచ్చిన్నమైతే k =

  1. 13
  2. 6
  3. a - 2
  4. a - 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : a - 3

Limit and Continuity Question 3 Detailed Solution

Limit and Continuity Question 4:

limx(3x22x+33x2+x2)3x2=

  1. -3
  2. e-1
  3. e-3
  4. -1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : e-3

Limit and Continuity Question 4 Detailed Solution

Limit and Continuity Question 5:

limx01cosxcos2xsin2x=

  1. 114
  2. 52
  3. 3
  4. 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 52

Limit and Continuity Question 5 Detailed Solution

Top Limit and Continuity MCQ Objective Questions

ఫలము f(x) = [x] ఎన్ని పాయింట్ల వద్ద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. అనంతము

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : అనంతము

Limit and Continuity Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

వివరణ:

f(x) = [x] ఫలము యొక్క నిలిపివేత బిందువును కనుగొనడానికి, f(x) = [x] ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి.

గరిష్ట పూర్ణాంకం ఫలము: (ఫ్లోర్ ఫంక్షన్)

f (x) = [x] ఫలముని గరిష్ట  పూర్ణాంకం ఫలము అంటారు మరియు దీని అర్థం x అంటే [x] ≤ x కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గరిష్ట పూర్ణాంకం.

[x] డొమైన్ R మరియు పరిధి I, ఇక్కడ R అనేది వాస్తవ సంఖ్యల సమితి మరియు I అనేది పూర్ణాంకాల సమితి.

F1 A.K 9.4.20 Pallavi D1

గ్రాఫ్ నుండి, ప్రతి పూర్ణాంకం వద్ద ఫలము నిలిపివేయబడుతుందని మనం చెప్పగలం.

అందువల్ల, f(x) = [x] నిరంతరాయమైన ఫలము అనంతమైన పాయింట్ల వద్ద 

limθ01cosmθ1cosnθ=?

  1. mn
  2. m2n
  3. mn2
  4. m2n2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : m2n2

Limit and Continuity Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

ఇచ్చినది:

limθ01cosmθ1cosnθ

భావన:

పరిమితి భావనను ఉపయోగించండి.

limx0sinxx=1

మరియు సూత్రం cos2θ=12sin2θ

గణన:

limθ01cosmθ1cosnθ

=limθ01(12sin2mθ2)1(12sin2nθ2)

=limθ02sin2mθ22sin2nθ2

=limθ0sin2mθ2limθ0sin2nθ2

m2θ/n2θ తో గుణించి భాగించండి

=m2θn2θ=m2n2

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది.

 

 ప్రమేయం f(x)={ksin(πx)πxifxπ1ifx=π x = π వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది, అయినా k విలువ ఎంత?

  1. π
  2. 1
  3. -1
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Limit and Continuity Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

కాన్సెప్ట్:

ఒక ప్రమేయం కోసం చెప్పండిf, limxaf(x) ఉంది

limxaf(x)=limxa+f(x)=l=limxaf(x), ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ.

ఏదైనా ప్రమేయం f  అని పిలవబడే బిందువు వద్ద నిరంతరాయంగా చెప్పబడుతుంది,మాత్రమే అని చెప్పండి limxaf(x)=l=f(a), ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ.

సాధన:

ఇచ్చినది:: f(x)={ksin(πx)πxifxπ1ifx=π x = π వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

మనకు తెలిసినట్లుగా, ఒక ప్రమేయం f బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉంటే అప్పుడు a అని చెప్పండి limxaf(x)=l=f(a)

limxπksin(πx)πx=f(π)=1

∵ limxπksin(πx)πx=00, మనము L'హాస్పిటల్స్ నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

⇒ limxπkcos(πx)1=1

⇒ kcos(ππ)1=1 

⇒ k cos(0) = 1

⇒ k = 1.

కాబట్టి, ఎంపిక 2 సరైనది.

ప్రమేయం f(x) f(x)={|x|x0,,x0x=0గా నిర్వచించబడింది ,అయినా x = 0 వద్ద అది

  1. నిరంతర
  2. x = 0 వద్ద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉంది
  3. x = 0 వద్ద నిరంతరాయంగా మరియు తొలగించగల నిలిపివేతను కలిగి ఉంది
  4. x = 0 వద్ద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : x = 0 వద్ద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉంది

Limit and Continuity Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

కాన్సెప్ట్:

f(x) x వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది= a, if LHL = RHL = f(a)

 limxaf(x)=limxa+f(x)=limxaf(x)

 f(x) భేదమైనదిif LHD = RHD

LHD=limh0f(ah)f(a)hRHD=limh0+f(a+h)f(a)h

మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేత: ఫంక్షన్ యొక్క కుడి చేయి ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే f(a)కి సమానం కానట్లయితే, f(x) అనేది x = a వద్ద కుడివైపు నుండి మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది.

రెండవ రకం యొక్క నిలిపివేత: f(x) x = a వద్ద f(x) యొక్క ఎడమ చేతి పరిమితి లేదా f(x యొక్క కుడి-చేతి పరిమితి కానట్లయితే, f(x) x = a వద్ద రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది. x = a వద్ద ఉంది.

తొలగించగల నిలిపివేత: ఒక ప్రమేయం f(x) x = a వద్ద తొలగించగల నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుందని చెప్పబడింది, x వద్ద ఎడమ చేతి పరిమితి 'a' పాయింట్‌కి సమానంగా ఉంటే x వద్ద 'a' పాయింట్‌కి కుడివైపు పరిమితి ఉంటుంది. కానీ వాటి సాధారణ విలువ f(a)కి సమానం కాదు.

 

సాధన:

f(x)={|x|x0,,x0x=0

x ≠ 0 కొరకు,

f(x) = -x/x = -1,   if x < 0

f(x) = x/x = 1. if x > 0

ఇపుడు,

LHL = limx0f(x)=limx0x/x=1

RHL = limx0+f(x)=limx0+x/x=1

limx0f(x)=0

నుండి,

LHL ≠ RHL

x = 0 వద్ద ప్రమేయం నిరంతరంగా లేదని మనం చెప్పగలం

x = 0 మాత్రమే, నిలిపివేత బిందువు.

నిర్వచనం ఆధారంగా, ప్రమేయం మొదటి రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంది.

కింది వాటిలో ఏ ఫంక్షన్లు  మూలం వద్ద నిరంతరంగా ఉండదు?

  1. sin x
  2. x
  3. x sin x
  4. x sin x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : x sin x

Limit and Continuity Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

Concept:

 

భావన:

  • ఫంక్షన్ ఆ విలువ వద్ద ఆకస్మిక మార్పును కలిగి ఉండకపోతే, ఇచ్చిన విలువ వద్ద ఒక ఫంక్షన్ నిరంతరంగా చెప్పబడుతుంది.
  • రెండు విధులు వ్యక్తిగతంగా నిరంతరంగా ఉంటే, అది సమ్మషన్ వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది.
  • ఒక ఫంక్షన్ x = a వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది
  • ఒకవేళ L.H.L = R.H.L = f(a)
  • అనగా limxaf(x)=limxa+f(x)=f(a)
  • f(x) మరియు g(x) వ్యక్తిగతంగా నిరంతరంగా ఉంటే, అది f(x) ± g(x), f(x) ⋅ g(x) మరియుf(x)g(x);g(x)0 నిరంతరంగా ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

ఎంపిక (A):

f(x) = sin xని  

F1 Shubham.B 20-10-20 Savita D 1

గ్రాఫ్ నుండి, మూలం వద్ద అంటే x = 0, sin x నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (B):

Let g(x) = x అని అనుకుందాం

F1 Shubham.B 20-10-20 Savita D 2

గ్రాఫ్ నుండి మూలం అంటే x = 0

g(x) = x నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (సి):

h(x) = x sin xని అని అనుకుందాం

h(x) = g(x) ⋅ f(x)

మూలం వద్ద f(x) మరియు g(x) వ్యక్తిగతంగా నిరంతరాయంగా ఉన్నందున, h(x) కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (D):

Let h(x)=sinxx=f(x)g(x) 

Sin x మూలం వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు x మూలం వద్ద కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు విలువలు సున్నా.

i.e. h(x)=sinxx 

 మూలం వద్ద

h(x=0)=sin(0)0=00

ఒక అనిశ్చిత రూపం)

కాబట్టి, మనం అలా చెప్పగలం.

x = 0, h(x) నిర్వచించబడనందున h(x) మూలం వద్ద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఎంపిక (D) మూలం sinxxవద్ద నిరంతరాయంగా ఉన్నందున సరైనది.

f(x)={log xx1if x1 Kif x=1    ఉంటే x = 1 వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది, అప్పుడు K విలువ ఎంత ?

  1. 0
  2. -1
  3. 1
  4. e

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

Limit and Continuity Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

భావన:
L-హాస్పిటల్ రూల్ : f(x) మరియు g(x) రెండు విధులుగా ఉండనివ్వండి
L'హాస్పిటల్ నియమం

మనకు ఈ క్రింది కేసుల్లో ఒకటి ఉందని అనుకుందాం,

.I.  limxaf(x)g(x)=00

II. limxaf(x)g(x)=

అప్పుడు మనం ఎల్-హాస్పిటల్ నియమాన్ని ఇలా వర్తింపజేయవచ్చు:

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)

 

లెక్కింపు:

కాబట్టి, ఫంక్షన్ x = 1 వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు, f(1) = limx1f(x)

k =limx1logxx1 = 00(అనిర్దిష్ట రూపంలో ఉంది)

L´హాస్పిటల్ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి,

k = limx11/x1= 1 : x 1కి మొగ్గు చూపుతుంది

∴ k = 1

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 4

Limit and Continuity Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

కాన్సెప్ట్ :

L' హాస్పిటల్ నియమం:

  • ఈ పద్ధతిలో, ముందుగా, మనం పరిమితిని భర్తీ చేసిన తర్వాత ఫంక్షన్ యొక్క రూపం 00or అని చెక్ చేయాలి.
  • limxaf(x)=00or అప్పుడు limxaf(x)=l00 ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ
  • f(x) అనేది హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అయితే, లవం మరియు హారంను కారకం చేయండి, సాధారణ కారకాలను రద్దు చేయండి మరియు x = aని భర్తీ చేయడం ద్వారా f(x) ఫంక్షన్ పరిమితిని అంచనా వేయండి.

 

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

ddxxn=nxn1

ddxx=12x

లెక్కింపు:

y = limx1x1x+32

x = 1 వద్ద, ఫంక్షన్ 0/0 నుండి ఇవ్వడాన్ని మనం చూడవచ్చు. అందుకే,

L' హాస్పిటల్ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి

⇒ y = limx1ddx(x1)ddx(x+32)

పైన చర్చించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా

⇒ y = limx1112(x+3)0

పరిమితిని తీసుకోవడం ద్వారా

⇒ y = 114 = 4

limx1x1x+32 = 4

f(x)కి సంబంధించి కింది స్టేట్మెంట్లను పరిగణించండి:

1. f(x) నిరంతరంగా x = a వద్ద  limxaf(x) .

2. f(x) నిరంతరం 1f(x) అయిన 

పై స్టేట్మెంట్లలో ఏది సరైనది / సరైనది?

  1. 1 మాత్రమే
  2. 2 మాత్రమే
  3. 1 మరియు 2 రెండూ
  4. 1 లేదా 2 కాదు

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1 లేదా 2 కాదు

Limit and Continuity Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

పద్ధతి:

limxaf(x) exists if limxaf(x)=limxa+f(x)

f(x)వద్ద నిరంతరంగా ఉందిx = a ⇔limxaf(x)=limxa+f(x)=limxaf(x)

f(x) అనేది ఒక బిందువు వద్ద నిరంతర చర్య అయితే, దాని విలోమం కూడా అదే బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.

సాధన:

1. ఈ ప్రకటన తప్పు, ఎందుకంటే ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద పరిమితి పరిమితి ఉనికితో సమానంగా ఉండాలి.

2.f(x) అనేది ఒక బిందువు వద్ద నిరంతర చర్య అయితే, దాని విలోమం కూడా అదే బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.

కాబట్టి, ఈ ప్రకటన కూడా తప్పు

కాబట్టి, ఎంపిక (4) సరైనది.

log2 = 0.3010 మరియు log 3 = 0.4771 అయితే, log 6 విలువ

  1. 0.8177
  2. 0.7781
  3. 0.6781
  4. 0.7681

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 0.7781

Limit and Continuity Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

ఇవ్వబడినవి:

log 2 = 0.3010

log 3 = 0.4771

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

log (x × y) = log x + log y

లెక్కింపు:

log 6 = log (2.3)

⇒ log (2.3) = log 2 + log 3

⇒ log (2.3) = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

∴ log 6 = 0.7781.

Limit and Continuity Question 15:

If log10 (x - 9) + log10 x = 1 then the value of x is

  1. 0
  2. 1
  3. 5
  4. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 10

Limit and Continuity Question 15 Detailed Solution

Given:

log10 (x - 9) + log10 x = 1

Concept Used:

logb (M) + logb (N) = logb(MN)

Calculations:

log10 (x - 9) + log10 x = 1

⇒ log10 (x - 9)(x) = 1

⇒ log10 (x - 9)(x) = log1010

⇒ x2 - 9x - 10 = 0 

⇒ x2 - 10x + x - 10 = 0

⇒ x(x - 10) + 1(x - 10) = 0 

⇒ (x + 1)(x - 10) = 0 

⇒ x = -1 and x = 10 

∴ option 4 is correct 

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti list teen patti real teen patti game real teen patti