Limit and Continuity MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Limit and Continuity - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

ఇచ్చినది, f(x) x = 0 వద్ద అవిచ్ఛిన్నం

∴ ఎడమ వైపు పరిమితి = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos kx}{x^2}$

= $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2{\sin }^2\frac{kx}{2}}{x^2}$

= $2\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^2\frac{\mathrm{k}x}{2}}{\frac{{\mathrm{k}}^2{x}^2}{4}\times 4}\cdot {\mathrm{k}}^2$

= $\frac{1}{2}{\mathrm{k}}^2\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{\sin \frac{\mathrm{k}x}{2}}{\frac{\mathrm{kx}}{2}}\right)}^2$

∴ ఎడమ వైపు పరిమితి = $\frac{1}{2}{k}^2$

అలాగే, కుడి వైపు పరిమితి = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$

= $\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sqrt{x})(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}$

= $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16}$

= $\sqrt{16+\sqrt{0}}+4$

∴ కుడి వైపు పరిమితి = 8

x = 0 వద్ద f(x) అవిచ్ఛిన్నం కాబట్టి

⇒ ఎడమ వైపు పరిమితి = కుడి వైపు పరిమితి.

⇒ $\frac{1}{2}{k}^2$ = 8

⇒ k² = 16

⇒ k = 4

∴ k విలువ 4.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

వివరణ:

f(x) = [x] ఫలము యొక్క నిలిపివేత బిందువును కనుగొనడానికి, f(x) = [x] ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి.

గరిష్ట పూర్ణాంకం ఫలము: (ఫ్లోర్ ఫంక్షన్)

f (x) = [x] ఫలముని గరిష్ట  పూర్ణాంకం ఫలము అంటారు మరియు దీని అర్థం x అంటే [x] ≤ x కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన గరిష్ట పూర్ణాంకం.

[x] డొమైన్ R మరియు పరిధి I, ఇక్కడ R అనేది వాస్తవ సంఖ్యల సమితి మరియు I అనేది పూర్ణాంకాల సమితి.

గ్రాఫ్ నుండి, ప్రతి పూర్ణాంకం వద్ద ఫలము నిలిపివేయబడుతుందని మనం చెప్పగలం.

అందువల్ల, f(x) = [x] నిరంతరాయమైన ఫలము అనంతమైన పాయింట్ల వద్ద 

ఇచ్చినది:

${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{1-\cos \mathrm{m}\theta }{1-\cos \mathrm{n}\theta }}$

భావన:

పరిమితి భావనను ఉపయోగించండి.

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1$

మరియు సూత్రం $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\theta =1-2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta$

గణన:

${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{1-\cos \mathrm{m}\theta }{1-\cos \mathrm{n}\theta }}$

${\displaystyle =\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{1-(1-2{\sin }^2\frac{\mathrm{m}\theta }{2})}{1-(1-2{\sin }^2\frac{\mathrm{n}\theta }{2})}}$

${\displaystyle =\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{2{\sin }^2\frac{\mathrm{m}\theta }{2}}{2{\sin }^2\frac{\mathrm{n}\theta }{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\underset{\theta \to 0}{lim}{\sin }^2\frac{\mathrm{m}\theta }{2}}{\underset{\theta \to 0}{lim}{\sin }^2\frac{\mathrm{n}\theta }{2}}}$

m²θ/n²θ తో గుణించి భాగించండి

$=\frac{{\mathrm{m}}^2\theta }{{\mathrm{n}}^2\theta }=\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{n}}^2}$

కాబట్టి 4వ ఎంపిక సరైనది.

కాన్సెప్ట్:

ఒక ప్రమేయం కోసం చెప్పండిf, $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ ఉంది

$\Rightarrow \underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=l=\underset{x\to a}{lim}f(x)$, ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ.

ఏదైనా ప్రమేయం f  అని పిలవబడే బిందువు వద్ద నిరంతరాయంగా చెప్పబడుతుంది,మాత్రమే అని చెప్పండి $\underset{x\to a}{lim}f(x)=l=f\left(a\right)$, ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ.

సాధన:

ఇచ్చినది:: $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\{\begin{array}{ccc}\frac{ksin(\pi -x)}{\pi -x}& if& x\ne \pi \\ 1& if& x=\pi \end{array}$ x = π వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

మనకు తెలిసినట్లుగా, ఒక ప్రమేయం f బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉంటే అప్పుడు a అని చెప్పండి $\underset{x\to a}{lim}f(x)=l=f\left(a\right)$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to \pi }{lim}\frac{\mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi -\mathrm{x})}{\pi -\mathrm{x}}=\mathrm{f}(\pi )=1$

∵ $\underset{\mathrm{x}\to \pi }{lim}\frac{\mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi -\mathrm{x})}{\pi -\mathrm{x}}=\frac{0}{0}$, మనము L'హాస్పిటల్స్ నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

⇒ $\underset{\mathrm{x}\to \pi }{lim}\frac{-\mathrm{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\pi -\mathrm{x})}{-1}=1$

⇒ $\frac{\mathrm{k}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\pi -\pi )}{1}=1$ 

⇒ k cos(0) = 1

⇒ k = 1.

కాబట్టి, ఎంపిక 2 సరైనది.

కాన్సెప్ట్:

f(x) x వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది= a, if LHL = RHL = f(a)

 $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{l}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})$

 f(x) భేదమైనదిif LHD = RHD

$\begin{array}{l}\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{D}=\underset{\mathrm{h}\to 0^{-}}{lim}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{a}-\mathrm{h})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{-\mathrm{h}}\\ \mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{D}=\underset{\mathrm{h}\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{h})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{h}}\end{array}$

మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేత: ఫంక్షన్ యొక్క కుడి చేయి ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే f(a)కి సమానం కానట్లయితే, f(x) అనేది x = a వద్ద కుడివైపు నుండి మొదటి రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది.

రెండవ రకం యొక్క నిలిపివేత: f(x) x = a వద్ద f(x) యొక్క ఎడమ చేతి పరిమితి లేదా f(x యొక్క కుడి-చేతి పరిమితి కానట్లయితే, f(x) x = a వద్ద రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది. x = a వద్ద ఉంది.

తొలగించగల నిలిపివేత: ఒక ప్రమేయం f(x) x = a వద్ద తొలగించగల నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుందని చెప్పబడింది, x వద్ద ఎడమ చేతి పరిమితి 'a' పాయింట్‌కి సమానంగా ఉంటే x వద్ద 'a' పాయింట్‌కి కుడివైపు పరిమితి ఉంటుంది. కానీ వాటి సాధారణ విలువ f(a)కి సమానం కాదు.

సాధన:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{\left|x\right|}{x}\\ 0,\end{array}\begin{array}{c},x\ne 0\\ x=0\end{array}$

x ≠ 0 కొరకు,

f(x) = -x/x = -1,   if x < 0

f(x) = x/x = 1. if x > 0

ఇపుడు,

LHL = $\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}-x/x=-1$

RHL = $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}x/x=1$

$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$

నుండి,

LHL ≠ RHL

x = 0 వద్ద ప్రమేయం నిరంతరంగా లేదని మనం చెప్పగలం

x = 0 మాత్రమే, నిలిపివేత బిందువు.

నిర్వచనం ఆధారంగా, ప్రమేయం మొదటి రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంది.

Concept:

భావన:

• ఫంక్షన్ ఆ విలువ వద్ద ఆకస్మిక మార్పును కలిగి ఉండకపోతే, ఇచ్చిన విలువ వద్ద ఒక ఫంక్షన్ నిరంతరంగా చెప్పబడుతుంది.
• రెండు విధులు వ్యక్తిగతంగా నిరంతరంగా ఉంటే, అది సమ్మషన్ వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది.
• ఒక ఫంక్షన్ x = a వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది
• ఒకవేళ L.H.L = R.H.L = f(a)
• అనగా $\underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)$
• f(x) మరియు g(x) వ్యక్తిగతంగా నిరంతరంగా ఉంటే, అది f(x) ± g(x), f(x) ⋅ g(x) మరియు$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)};g\left(x\right)\ne 0$ నిరంతరంగా ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

ఎంపిక (A):

f(x) = sin xని  

​

గ్రాఫ్ నుండి, మూలం వద్ద అంటే x = 0, sin x నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (B):

Let g(x) = x అని అనుకుందాం

గ్రాఫ్ నుండి మూలం అంటే x = 0

g(x) = x నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (సి):

h(x) = x sin xని అని అనుకుందాం

h(x) = g(x) ⋅ f(x)

మూలం వద్ద f(x) మరియు g(x) వ్యక్తిగతంగా నిరంతరాయంగా ఉన్నందున, h(x) కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది.

ఎంపిక (D):

Let $h\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 

Sin x మూలం వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు x మూలం వద్ద కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు విలువలు సున్నా.

i.e. $h\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$ 

 మూలం వద్ద

$h\left(x=0\right)=\frac{\sin \left(0\right)}{0}=\frac{0}{0}$

ఒక అనిశ్చిత రూపం)

కాబట్టి, మనం అలా చెప్పగలం.

x = 0, h(x) నిర్వచించబడనందున h(x) మూలం వద్ద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఎంపిక (D) మూలం $\frac{\sin x}{x}$వద్ద నిరంతరాయంగా ఉన్నందున సరైనది.

భావన:
L-హాస్పిటల్ రూల్ : f(x) మరియు g(x) రెండు విధులుగా ఉండనివ్వండి
L'హాస్పిటల్ నియమం

మనకు ఈ క్రింది కేసుల్లో ఒకటి ఉందని అనుకుందాం,

.I.  $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{0}{0}$

II. $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

అప్పుడు మనం ఎల్-హాస్పిటల్ నియమాన్ని ఇలా వర్తింపజేయవచ్చు:

$\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}{lim}\frac{\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)}{\mathbf{g}\left(\mathbf{x}\right)}=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}{lim}\frac{{\mathbf{f}}^{\prime }\left(\mathbf{x}\right)}{{\mathbf{g}}^{\prime }\left(\mathbf{x}\right)}$

లెక్కింపు:

కాబట్టి, ఫంక్షన్ x = 1 వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు, f(1) = ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)}$

k =${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{logx}{x-1}}$ = $\frac{0}{0}$(అనిర్దిష్ట రూపంలో ఉంది)

L´హాస్పిటల్ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి,

k = ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{1/x}{1}}$= 1 : x 1కి మొగ్గు చూపుతుంది

∴ k = 1

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 3

కాన్సెప్ట్ :

L' హాస్పిటల్ నియమం:

• ఈ పద్ధతిలో, ముందుగా, మనం పరిమితిని భర్తీ చేసిన తర్వాత ఫంక్షన్ యొక్క రూపం $\frac{0}{0}or\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ అని చెక్ చేయాలి.
• $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\frac{0}{0}or\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ అప్పుడు $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=l\ne \frac{0}{0}$ ఇక్కడ l అనేది పరిమిత విలువ
• f(x) అనేది హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అయితే, లవం మరియు హారంను కారకం చేయండి, సాధారణ కారకాలను రద్దు చేయండి మరియు x = aని భర్తీ చేయడం ద్వారా f(x) ఫంక్షన్ పరిమితిని అంచనా వేయండి.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

లెక్కింపు:

y = $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}}$

x = 1 వద్ద, ఫంక్షన్ 0/0 నుండి ఇవ్వడాన్ని మనం చూడవచ్చు. అందుకే,

L' హాస్పిటల్ నియమాన్ని వర్తింపజేయండి

⇒ y = $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\frac{d}{dx}(x-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+3}-2)}}$

పైన చర్చించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా

⇒ y = $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{(x+3)}}-0}}$

పరిమితిని తీసుకోవడం ద్వారా

⇒ y = $\frac{1}{\frac{1}{4}}$ = 4

∴ $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}}$ = 4

పద్ధతి:

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}$ exists if $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})$

f(x)వద్ద నిరంతరంగా ఉందిx = a ⇔$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{l}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})$

f(x) అనేది ఒక బిందువు వద్ద నిరంతర చర్య అయితే, దాని విలోమం కూడా అదే బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.

సాధన:

1. ఈ ప్రకటన తప్పు, ఎందుకంటే ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద పరిమితి పరిమితి ఉనికితో సమానంగా ఉండాలి.

2.f(x) అనేది ఒక బిందువు వద్ద నిరంతర చర్య అయితే, దాని విలోమం కూడా అదే బిందువు వద్ద నిరంతరంగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.

కాబట్టి, ఈ ప్రకటన కూడా తప్పు

కాబట్టి, ఎంపిక (4) సరైనది.

ఇవ్వబడినవి:

log 2 = 0.3010

log 3 = 0.4771

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

log (x × y) = log x + log y

లెక్కింపు:

log 6 = log (2.3)

⇒ log (2.3) = log 2 + log 3

⇒ log (2.3) = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

∴ log 6 = 0.7781.

Given:

log10 (x - 9) + log10 x = 1

Concept Used:

log_b (M) + log_b (N) = log_b(MN)

Calculations:

log10 (x - 9) + log10 x = 1

⇒ log10 (x - 9)(x) = 1

⇒ log10 (x - 9)(x) = log₁₀10

⇒ x² - 9x - 10 = 0 

⇒ x² - 10x + x - 10 = 0

⇒ x(x - 10) + 1(x - 10) = 0 

⇒ (x + 1)(x - 10) = 0 

⇒ x = -1 and x = 10 

∴ option 4 is correct